整除问题 专题八 余数问题（专题精析+基础提炼+巩固训练）-五年级奥数精编提优讲义（通用版）

专题八 余数问题 专题精析 两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数.在除法中余数必须比除数小，并且有如下的关系：被除数=除数×商+余数. 学科网（北京）股份有限公司 基础提炼 例1 一个三位数被37除余1，被36除余19.问：这个三位数是多少? 解题指引 ●步骤一：设所求三位数为 n.由第一个条件可知n=37a+1=36a+(a+1),n除以36的余数等于(a+1)除以36的余数. ●步骤二:再令(a+1)被36除的商为b,则a+1=36b+19,a=36b+18.代入,得n=37×(36b+18)+1=1332b+667.由于n是三位数,故b=0,即 n=667. 答：这个三位数是667. 例2 有一个整数除 300、242、155,得到的余数相同.问：这个整数是多少? 解题指引 ●步骤一:分别求 300 和 242、242 和155、300和155的差，求三个差的公约数，就是要求的整数. ●步骤二:300-242=58,242-155=87,300-155=145,(58,87,145)=29,所求数应是29 的约数.但29 只有1与 29 两个约数，而1不可能作除数，所以这个整数是29. 技巧总结 如果两个数或三个数除以某数，余数相同，则它们的差一定能被某数整除. 模仿训练 习题1 474除以一个两位数的余数是6.求适合这个条件的所有两位数. 习题 2 哪些数除以 7 能使商与余数相同? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 巩固训练 习题1 一个自然数除以 11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍.问：这个自然数是多少? 习题 2 号码分别是 83、126、77、67 的四名运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们号码之和被3除所得的余数.那么，打球盘数最多的是几号?他打了多少盘? 拓展训练 习题1 有一列数:1,3,9,25,69,189,517…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1.那么这列数中的第2013个数除以6，得到的余数是多少? 习题2有一个自然数，用它分别去除63、90、130,都有余数,三个余数之和为 25.这三个余数中最小的一个是几? (提示：先确定除数) 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 专题八 余数问题 模仿训练 习题1 12,13,18,26,36,39,52,78. 习题2 0,8,16,24,32,40,48. 巩固训练 习题1 设这个数为11a+a.这个数是84. 习题2 126号,5 盘.(提示:列举) 拓展训练 习题1 3(提示：每个数都除以6，余数有规律) 习题2 除数是43，最小的余数是 1. $