整除问题 专题六 公因数（专题精析+基础提炼+巩固训练）-五年级奥数精编提优讲义（通用版）

专题六 公因数 专题精析 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数；其中最大的一个叫作这几个数的最大公因数.如果知道了几个数的最大公因数，最大公因数的因数，就是这几个数的公因数.自然数a和b的最大公因数可以记作(a，b).如果(a，b)=1，那么a与b是互素数. 学科网（北京）股份有限公司 基础提炼 例1 有 336 个苹果、252个橘子、210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼品?在每份礼品中，苹果、橘子、梨各有多少个? 解题指引 ●步骤一：份数应该是苹果总数、橘子总数和梨总数的因数. 步骤二：因为要使份数最多，也就要使份数最大，所以份数应是苹果、橘子、梨总数的最大公因数.(336,252,210)=42. ●步骤三：每份礼品中，苹果有 336÷42=8(个),橘子有 252÷42=6(个),梨有 210÷42=5(个). 答：最多可以分成42份礼品.每份礼品中，苹果有8个，橘子有6个，梨有5个. 例2 某数除142得余数7，某数可能是哪些值? 解题指引 ●步骤一：把题目转化为算式就是： 142÷□=□……7. 步骤二：要求除数可能是哪些，也就是求142-7=135的约数中哪些可以做除数，除数应大于7； ●步骤三:135 的约数从小到大有 1、3、5、9、15、27、45、135.这些约数中,只有 9、15、27、45、135可以做除数，所以这个数可能是 9、15、27、45、135. 模仿训练 习题1 一个数除158余8，这个数可能是哪些值? 习题2 1800、2160、2400这三个数共有多少个公约数? 学科网（北京）股份有限公司 技巧总结可以用短除法和分解素因数的方法求几个数的最大公因数. 学科网（北京）股份有限公司 巩固训练 习题1 有三根钢管，其中第一根长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米.现在把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段.问：共可以截成多少段? 习题 2 如果把 110 块糖平均发给五(1)班同学，则多5块；如果把210块糖平均发给这个班同学正好发完；如果把240块糖平均发给这个班同学，还少5块.问：五(1)班最多有多少名同学? 拓展训练 习题1 徐老师用一张长 112 厘米、宽80厘米的长方形彩纸做教具.要把它剪成若干个同样大小的正方形，使边长是整厘米数，且不能有剩余，最少能剪多少个? 习题2有4个不同的自然数，它们的和是1339.如果要使这4个自然数的公因数尽可能大，那么这4个自然数的公因数最大是多少? 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 专题六 公因数 模仿训练 习题1 158-8=150,150=2×3×5²,这个数可以是10、15、25、30、50、75、150,共7个. 习题2 (1800,2160,2400)=120,120=2³×3×5.(3+1)×(1+1)×(1+1)=16,1800、2160、2400的公约数有16个. 巩固训练 习题1 由题意知，第三根长度是第二根长度的1.2÷0.5=2.4倍,280÷(2.4-1)=200,200×1.2=240,240×2=480.因为(200,240,480)=40,故共可截成:(200+240+480)÷40=23(段). 习题2 110-5=105(块),240+5=245(块),(105,210,245)=35,故最多有35名同学. 拓展训练 习题1 (112,80)=16,(112÷16)×(80÷16)=35(个). 习题2 1339=103×13,13=1+2+4+6,这四个数是103×1=103,103×2=206,103×4=412,103×6=618.(103,206,412,618)=103,公因数最大是103. $