精品解析：广东省茂名市高州市十三校联考2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期学科素养展评一 八年级数学试卷 （范围：1~2.2章 时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的为（ ） A. 4，5，6 B. 1，2，3 C. ，2， D. 8，15，17 3. 下列实数中，是无理数的为（ ） A. B. C. D. 1.3 4. 实数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 5. 16的算术平方根是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 6. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（ ） A. ，， B. 3，5，4 C. 1，2， D. 5，12，13 8. 已知，则的平方根是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的立方根为______，的平方根为______。 12. 一个正数的两个平方根是和，则这个正数是______． 13. 比较大小（填“＞”“＜”或“=”）： （1）________； （2）3_______． 14. 王叔叔家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是______．（结果保留根号） 15. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 解方程： （1） ； （2） 18. 如图，圆柱的高为16cm，底面半径为4cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，问：蚂蚁至少要爬行多少路程才能食到食物？ （的值取3） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． （1）的整数部分是_____，小数部分是_____； （2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 20. 已知：某校有一块四边形空地，如图现计划在该空地上种草皮，经测量，，若每平方米草皮需元，问需投入多少元? 21. 项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． （2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； （2）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ （3）求的值：． 23. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式，化简便得结论．这里用 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学科素养展评一 八年级数学试卷 （范围：1~2.2章 时间：120分钟 满分：120分） 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积．其中的值恰好等于10的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可知，以两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 2. 下列各组数中，是勾股数的为（ ） A. 4，5，6 B. 1，2，3 C. ，2， D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数，勾股数首先必须是整数，再分别计算两个较小的整数的平方与最大整数的平方，再判断是否相等，从而可得答案，掌握如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数是解本题的关键． 【详解】解：A．，故不是勾股数； B．，故不是勾股数； C．存在小数，故不是勾股数； D．，故是勾股数； 故选：D． 3. 下列实数中，是无理数的为（ ） A. B. C. D. 1.3 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、正确； B、是分数、是有理数，选项错误； C、=4是整数，是有理数，选项错误； D、是有限小数，是有理数，选项错误． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 4. 实数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是实数的绝对值，根据绝对值的含义求解即可． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：. 5. 16的算术平方根是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，理解算术平方根的定义是解决问题的关键．根据算术平方根的定义进行判断即可． 【详解】， 的算术平方根为4． 故选：C． 6. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根和立方根，根据平方根和立方根进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 7. 下列各组数中，不能构成直角三角形三边的一组是（ ） A. ，， B. 3，5，4 C. 1，2， D. 5，12，13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键 ． 根据勾股定理的逆定理，若三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则为直角三角形，否则不能构成，由此判断即可 ． 【详解】解：选项A：三边为，最大边为， 计算得：，故不能构成直角三角形； 选项B：三边为3，5，4，最大边为5， 计算得：，能构成直角三角形； 选项C：三边为，最大边为， 计算得：，能构成直角三角形； 选项D：三边为，最大边为13， 计算得：，能构成直角三角形． 故选：A． 8. 已知，则的平方根是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，平方根，有理数的加法，正确计算是解题的关键．两数相加得零则两数互为相反数，而两个加数皆为非负数，则两个加数都为零，据此解答即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 的平方根是， 的平方根是． 故选：A． 9. 如图，长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据勾股定理算出AC的长度，进而得到AE的长度，再根据A点表示的数是-1，可得E点表示的数． 【详解】∵ ∴ ∴ = ∵点表示的数是 ∴ 点表示的数是 【点睛】掌握勾股定理；熟悉圆弧中半径不变性． 10. 如图，在四边形中，于点，若，则的值为（　　） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理：在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由勾股定理得，，，，则，结合，，即得． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∵，则， ∴， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 的立方根为______，的平方根为______。 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据立方根和平方根的定义，即可求解. 【详解】∵， ∴的立方根为-3， ∵=4，， ∴的平方根为：±2. 故答案为：-3，±2. 【点睛】本题主要考查平方根和立方根的定义，理解开平方运算和开立方运算与平方运算和立方运算的关系是解题的关键. 12. 一个正数的两个平方根是和，则这个正数是______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查的是平方根的概念，根据题意得到，求出，进而求解即可．掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 所以， ∴这个正数是36． 故答案为：36． 13. 比较大小（填“＞”“＜”或“=”）： （1）________； （2）3_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查实数的比较大小，运用作差法和把两个数分别进行立方是解题的关键． （1）先计算两数之差，再判断差的正负性，进而确定原数的大小关系； （2）先将两个数分别立方，再根据实数的大小比较方法，从而得出原数的大小关系． 【详解】（1） ， ， ， ， 即； （2）， ； 故答案为，． 14. 王叔叔家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是______．（结果保留根号） 【答案】##米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求解即可，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∴电梯内能放入这些木条的最大长度是， 故答案为：． 15. 如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 本题考查了勾股定理，由勾股定理得出 是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得， , 即， ∵, 由图形可知，阴影部分的面积， ∴阴影部分的面积为：4 故答案为：4． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算开方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再算加减． 【详解】解：原式． 17. 解方程： （1） ； （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用开平方解方程； （2）利用开立方解方程． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 开平方，得， 即，； 【小问2详解】 ， 移项，得， 即， 开立方，得， 解得：． 18. 如图，圆柱的高为16cm，底面半径为4cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，问：蚂蚁至少要爬行多少路程才能食到食物？ （的值取3） 【答案】蚂蚁至少要爬行20cm路程才能食到食物． 【解析】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短及勾股定理即可得到结果． 【详解】解：如图，将圆柱体展开，连接A、B， 根据题意可得：AD是圆柱底面圆的周长的一半，BD即为圆柱的高，AD⊥BD ∴， ， ∴蚂蚁至少要爬行20cm路程才能食到食物， 答：蚂蚁至少要爬行20cm路程才能食到食物． 【点睛】本题主要考查了圆柱的展开图，勾股定理的应用，解题的关键在于能够根据题意把圆柱展开，构造直角三角形利用勾股定理求解． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． （1）的整数部分是_____，小数部分是_____； （2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】（1）3， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，求平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，求出a，b的值，然后代入求值，再根据平方根定义解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴ ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 20. 已知：某校有一块四边形空地，如图现计划在该空地上种草皮，经测量，，若每平方米草皮需元，问需投入多少元? 【答案】3600元． 【解析】 【分析】根据勾股定理得出BD的长，再利用勾股定理的逆定理得出△DBC是直角三角形，进而求出总的面积求出答案即可． 【详解】解：连接BD ∵∠A=90° ∴DB2=AB2+AD2=25 ∵BD2+BC2=25+122=169=132= CD2 ∴∠DBC=90° ∴S四边形 = ， ∴36×100=3600 答：需投入3600元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△DBC是直角三角形是解题关键． 21. 项目化学习 项目主题：测量风筝离地面的垂直高度． 项目背景：风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．某校综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开项目化学习． 研究步骤： 1．抽象模型．该小组画出了如图1所示的示意图，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 2．测量数据．小组成员测量了相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米． 问题解决：根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）在图1中，根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． （2）如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】（1）此时风筝离地面的垂直高度为8.5米 （2）他应该朝射线方向前进4米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【小问1详解】 解：中， 米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为8.5米． 【小问2详解】 解：米 由题意可得：米 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； （2）若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ （3）求的值：． 【答案】（1） （2）为任意实数 （3）或 【解析】 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 或， 或． 23. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式，化简便得结论．这里用 两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，则面积为______． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】（1） 证明：∵，，， ， ∴， ∴， ∴； （2）6 （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）利用割补法即可求解； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴ 在中，由勾股定理得 ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $