福建省漳州第一中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（10月）

2025-2026学年上学期10月份练习九年级数学习题 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 邻边相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 已知二次函数的变量，的部分对应值如表： x … 0 1 … y … 1 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、的位置．若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，以点D为圆心，的长为半径作弧交于点G，分别以点C，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，交于点O，若，则的长为（ ） A. 10 B. 5 C. 12 D. 15 9. 如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的长为（　　） A. B. 1.5 C. D. 2 10. 已知点，为抛物线上的两点，当，时，下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若时，都有 D. 若，存在 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 如图，在中，是边上的中线，则的长度为___________． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为_______． 14. 若三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程x2﹣7x+10＝0的一个根，则这个三角形的周长是_____． 15. 已知函数的图象与x轴只有一个交点，则这个交点的坐标为________． 16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为__． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解下列一元二次方程． （1） （2） 18. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若．求证：四边形是矩形． 19. 已知关于的方程． （1）若方程有两个实数根，求实数的取值范围； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 20. 证明：对角线相等的菱形是正方形． 21. 已知：点在的平分线上． （1）尺规作图：求作菱形，使为菱形的一个内角，且点为它的对称中心（不写作法，但要保留作图痕迹）； （2）已知，，求菱形的面积． 22. 阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（ ）=1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程_______，解得原方程的一个正根为_____； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形而积为4，那么此方程的系数=______，=______，求得方程的正根为______． 23. 已知二次函数． （1）当时， ①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式； ②若方程有两个相等的实数根，求证：； （2）若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围． 24. 综合与实践：数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据如下表格内容完成任务． 课题 设计与优化某综合建筑体的楼栋间的连廊顶部结构 材料1 如图是某综合建筑体的楼栋间的连廊，其顶部为抛物线段，抛物线最高点离地面的距离为．两边是与地面垂直且高度相等的支撑柱，支撑柱的高度为，连廊的宽度为． 材料2 半圆形的顶部设计在跨度小（不超过）时比抛物线更稳定，尤其适合砖石或者传统砌体结构，而且相比较抛物线，其模板简单（固定半径），施工简捷，成本较低． 任务1 确定连廊形状 如图为连廊的横截面示意图，其中为连廊顶部的抛物线段，点E为最高点，，为两边的支撑柱，以所在的直线为x轴，以过点E且垂直于的直线为y轴，单位长度为建立平面直角坐标系，则的函数解析式为 ． 任务2 探索最优方案 如图，为了进一步固定连廊，准备在顶部支撑柱上架横梁，利用某种材料搭建成一个矩形脚手架（其中，，用到材料），所用材料单价为100元/m．为了做好充分的预算，请你计算搭建这个脚手架最多需要花费多少元？ 任务3 优化连廊结构 工程师决定将顶部抛物线改为半圆弧，其中圆弧顶端E到地面的距离仍为，宽为．现有一巨型货架要通过连廊，且沿着连廊中心线方向居中通过，货架的宽度为，求货架顶部到地面的最大允许高度． 25. （1）如图1，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、，，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，易证：，从而得到、与之间的数量关系______． 【实践探究】 （2）如图2，在正方形中，点E，F在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展】 （3）如图3，正方形的边长为，点P为边上一点，于E，Q为中点，连接并延长交于点F，且，请求出的长． 2025-2026学年上学期10月份练习九年级数学习题 一、单选题（每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（每小题4分，共24分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】1 【14题答案】 【答案】15 【15题答案】 【答案】或 【16题答案】 【答案】 三、解答题（本题共9小题，共86分） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）， 【18题答案】 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】 已知：如图，四边形ABCD是菱形，且对角线AC=BD， 求证：四边形ABCD是正方形． 证明：连接AC、BD相交于O ∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD ∵AC=BD ∴OA=OB ∵OA⊥OB（菱形的对角线互相垂直） ∴∠OAB=∠OBA=45° 同理∠OBC=∠OCB=45° ∴∠OBA+∠OBC=90° ∴∠ABC=90° ∴ABCD是正方形． 【21题答案】 【答案】（1） 如图，菱形为所作． （2） 【22题答案】 【答案】[类比迁移]；，；拓展应用；3；1或3 【23题答案】 【答案】（1）① ②证明：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）或 【24题答案】 【答案】任务1：；任务2： 元；任务3： 【25题答案】 【答案】（1）; （2）；（3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $