专题08 曲线与方程（点的轨迹问题）（竞赛培优专项训练）高二数学人教A版2019全国通用

专题08曲线与方程（点的轨迹问题） 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 曲线方程的概念 3 考点二 由方程求曲线的图形 3 考点三 由方程研究曲线的性质 4 考点四 两曲线的交点问题 6 考点五 直接法求轨迹方程 7 考点六 定义法求轨迹方程 8 考点七 代入法求轨迹方程 8 考点八 参数法求轨迹方程 9 考点九 交轨法求轨迹方程 10 考点十 与立体几何有关的轨迹问题 11 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道） 【归纳重点知识】 知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 1．曲线上的点的坐标都是方程的解； 2．以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． 知识点02 两曲线的交点 己知两条曲线和的方程分别为，求两条曲线和的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到． 知识点0 3：点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 知识点 04 求曲线的方程的一般步骤 1.设：建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标； 2.找：找出适合条件的点的集合； 3.列：用坐标表示条件，列出方程； 4.化：化方程为最简形式； 5.证：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【熟记重要结论(二级结论)】 一、求动点轨迹方程的基本方法 1．直接法．若动点运动过程中量的关系简明，那么直接将此量的关系建系转化为方程即可．多见于距离的和、差、积、商(比)的关系． 2．定义法．若动点运动的几何条件符合某方程为已知的曲线的定义，那么便可先设其标准方程形式，然后运用待定系数法解之．多见于直线和圆锥曲线，它是高考命题热点． 3．几何法．即运用平几中的基本轨迹命题或平面规则图形的某些性质． 4．代入法（相关点法）.常用于解多动点轨迹问题．已知点在已知曲线上，动点随的变化而变化，形成轨迹，把称作主动点，点称作被动点．求动点轨迹方程的＂相关点法（代入法）＂步骤： （1）设点：的坐标为，点的坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系，用表示； （3）代入（换）：将代入已知曲线方程，便可得到所求轨迹方程． 5．参数法．动点的流动坐标间不便直接联系时，可考虑选取参数!作桥，先建立参数方程，然后消参得普通方程． 6．交轨法．若动点尸是由两动曲线相交所得，那么可用求两曲线交点的方法解尸的轨迹方程． 二、几种常见曲线的参数方程（拓展） 1.圆的参数方程 若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为(θ为参数)． 2.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)． 3.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为(θ为参数)． 4.抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)． 5.直线的参数方程：经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)． 若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t0＝； (2)|PM|＝|t0|＝； (3)|AB|＝|t2－t1|； (4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|. 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|. 考点一 曲线方程的概念 1．已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（    ） A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标不满足的点都不在曲线上 C．不在曲线上的点的坐标必不满足 D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 2．条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程的解”；条件乙：“曲线C是的图形”，则甲是乙的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3．下列各组两个方程表示相同曲线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点二 由方程求曲线的图形 4．方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 5．方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 6．在平面直角坐标系中，点满足则P的轨迹为（    ） A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．已知方程所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的个数是（   ） （1）当时，曲线表示一条直线 （2）当时，曲线表示椭圆 （3）存在实数，使得曲线为等轴双曲线 （4）存在实数，使得曲线为抛物线 A． B． C． D． 8．方程表示的图形是 . 9．方程表示的曲线的形状是 ． 考点三 由方程研究曲线的性质 10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A． B． C．2 D． 11．如图，心形曲线与y轴交于A，B两点，点P是上的一个动点，则（ ） A．点和点均不在上 B．的最大值与最小值之和为22 C．点P的纵坐标的最大值为 D． 12．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） A． B． C． D． 13．（多选）如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线就是其中之一，下列结论正确的是（   ） A．曲线上的点的横坐标取值范围是 B．曲线上的点到原点的距离最大值为 C．曲线恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D．曲线所围成的“心形”区域面积大于3 14．（多选）已知曲线C的方程为，则关于曲线C，下列说法正确的是（   ） A．曲线C关于x轴对称 B．若曲线C上的任意一点P的横坐标的取值集合为A，则 C．曲线C经过第一、二、三和四象限，且与坐标轴只有一个公共点 D．曲线C与直线有3个交点 15．（多选）设曲线C：，则下列说法正确的是（   ） A．曲线C的图象仅在第一、第三象限内 B．曲线C关于直线对称 C．若点在曲线C上，则 D．若直线l与曲线C没有交点，则直线l的斜率为1 16．（多选）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．曲线经过的整数点个数为3个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 考点四 两曲线的交点问题 17．已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 18．直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19曲线和公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 20．方程有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是 ． 21．曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是 ． 考点五 直接法求轨迹方程 22．已知定点，（），动点满足（），则动点的轨迹是（    ） A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支 C．抛物线的一部分 D．直线 23．在平面直角坐标系中，动点到轴、轴、坐标原点的距离分别为，，，这3个距离均大于0，且，则动点的轨迹对应的图形大致为（    ） A．   B．   C．   D．   24．中，为边上的高且，动点P满足，则点P的轨迹一定过的 25．平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记动点的轨迹为曲线.过点作两条直线，分别与曲线交于点，和，四点（其中点、在上方）. (1)求曲线的方程； (2)若，求四边形面积的取值范围； (3)设交轴于点，交轴于点，证明：. 考点六 定义法求轨迹方程 26．已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 27．一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 28．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 29．已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 30．舒腾尺是荷兰数学家舒腾(162015·1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为 . 考点七 代入法求轨迹方程 31．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 32．（多选）已知点，点是曲线上任意一点，直线与直线的斜率之和为常数，则（    ） A．曲线经过点 B．曲线关于原点对称 C．直线与曲线无交点 D．点到原点的距离有最小值 33．在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 34．在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 35．已知抛物线C：，过点的直线l交抛物线于P､Q两点，以OP､OQ为邻边作平行四边形OPRQ. (1)求点R的轨迹方程. (2)是否存在l，使四边形OPRQ为正方形？证明你的结论. 考点八 参数法求轨迹方程 36．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是 A． B． C． D． 37．已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程． 38．当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹． 39.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长半径的圆与直线相切． （1）求与； （2）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交与点..求线段的垂直平分线与的交点的轨迹方程，并指明曲线类型． 考点九 交轨法求轨迹方程 40．已知正方形的四个顶点分别为，，，，点，分别在线段，上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（    ）. A． B． C． D． 41．如图，已知抛物线，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．求△APB的重心G的轨迹方程． 42．（25-26高三上·湖北·阶段练习）设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. (2)过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由.    考点十 与立体几何有关的轨迹问题 43．已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 44．在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 45．在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 46．在长方体中，，球是以为球心，以1为半径的球.动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 47．已知正方体的棱长为2，为正方体内一点，若，，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 48．已知正方体的棱长为，点平面，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 49．（2025高三·全国·专题练习）如图已知动点在正方体的表面上，且，则动点的轨迹为（    ） A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．一条线段 1．（第九届高二“枫叶希望杯”竞赛）已知正四面体，若平面内有一动点到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（    ） A．一条线段 B．一个点 C．一段圆弧 D．抛物线的一段 2．（2023·湖南岳阳高二上竞赛）已知二次方程表示两条直线，则为（    ）． A．94 B．95 C．96 D．98 3．（2024·山东泰安冬季竞赛）设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论： ①当时，点M的轨迹方程为； ②当时，点M的轨迹方程为 ③当时，点M的轨迹方程为. 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（第二届“枫叶新希望杯”全国竞赛）和y轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．（第四届“枫叶新希望杯”全国竞赛）如图所示，正方体的一个表面即正方形内有一个动点，点到和的距离之和为，正方体棱长为2，则点对张角最大时，（    ）. A． B． C． D． 6．（第八届“枫叶新希望杯”全国竞赛）已知两点，给出下列曲线方程： ①；②；③；④． 在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 7.（多选）（2023·“加速杯”全国竞赛）设直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线分别交轴，轴于点，，并记点．下列命题中正确的是（    ） A． B．是与的等比中项 C．存在定点，使得为定值 D．存在定点，使得为定值 8．（多选）（2024·山东泰安冬季竞赛）如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（    ） A．点的轨迹是一个圆 B．点的轨迹是一个圆 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 9．（第二届“枫叶希望杯”全国竞赛）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 . 10．（第七届“枫叶希望杯”全国竞赛）如图，是平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹的形状是 ．      11．（2023·全国高中数学联赛一试）平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 12．（2023·河南驻马店高二上竞赛）已知点为双曲线上任一点，为双曲线的右焦点，过作直线的垂线，垂足为A，连接并延长交y轴于． (1)求线段的中点的轨迹的方程； (2)已知，过点的直线l与轨迹E交于不同的两点M、N，设直线DM和直线DN的斜率分别为和，求证：为定值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08曲线与方程（点的轨迹问题） 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 曲线方程的概念 3 考点二 由方程求曲线的图形 4 考点三 由方程研究曲线的性质 6 考点四 两曲线的交点问题 12 考点五 直接法求轨迹方程 15 考点六 定义法求轨迹方程 18 考点七 代入法求轨迹方程 21 考点八 参数法求轨迹方程 25 考点九 交轨法求轨迹方程 26 考点十 与立体几何有关的轨迹问题 29 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题12道） 【归纳重点知识】 知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 1．曲线上的点的坐标都是方程的解； 2．以方程的解为坐标的点都在曲线上． 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程． 知识点02 两曲线的交点 己知两条曲线和的方程分别为，求两条曲线和的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到． 知识点0 3：点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 知识点 04 求曲线的方程的一般步骤 1.设：建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点的坐标； 2.找：找出适合条件的点的集合； 3.列：用坐标表示条件，列出方程； 4.化：化方程为最简形式； 5.证：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【熟记重要结论(二级结论)】 一、求动点轨迹方程的基本方法 1．直接法．若动点运动过程中量的关系简明，那么直接将此量的关系建系转化为方程即可．多见于距离的和、差、积、商(比)的关系． 2．定义法．若动点运动的几何条件符合某方程为已知的曲线的定义，那么便可先设其标准方程形式，然后运用待定系数法解之．多见于直线和圆锥曲线，它是高考命题热点． 3．几何法．即运用平几中的基本轨迹命题或平面规则图形的某些性质． 4．代入法（相关点法）.常用于解多动点轨迹问题．已知点在已知曲线上，动点随的变化而变化，形成轨迹，把称作主动点，点称作被动点．求动点轨迹方程的＂相关点法（代入法）＂步骤： （1）设点：的坐标为，点的坐标为； （2）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系，用表示； （3）代入（换）：将代入已知曲线方程，便可得到所求轨迹方程． 5．参数法．动点的流动坐标间不便直接联系时，可考虑选取参数!作桥，先建立参数方程，然后消参得普通方程． 6．交轨法．若动点尸是由两动曲线相交所得，那么可用求两曲线交点的方法解尸的轨迹方程． 二、几种常见曲线的参数方程（拓展） 1.圆的参数方程 若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为(θ为参数)． 2.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)． 3.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为(θ为参数)． 4.抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)． 5.直线的参数方程：经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)． 若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t0＝； (2)|PM|＝|t0|＝； (3)|AB|＝|t2－t1|； (4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|. 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|. 考点一 曲线方程的概念 1．已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（    ） A．曲线上的点的坐标都满足方程 B．坐标不满足的点都不在曲线上 C．不在曲线上的点的坐标必不满足 D．不在曲线上的点的坐标有些满足，有些不满足 【答案】C 【详解】对ABD，根据题意可以举例方程为， 曲线为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线的一部分， 则曲线上的点的坐标不是都满足方程，故A错误；坐标不满足的点可以在曲线上，故B错误； 不在曲线上的点的坐标都不满足，故D错误； 对C，而不在曲线上的点的坐标必不满足，故C正确． 故选：C. 2．条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程的解”；条件乙：“曲线C是的图形”，则甲是乙的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】解：若曲线是的图形， 则曲线上的点的坐标都是方程的解， 甲是乙的必要条件； 而曲线上的点的坐标都是方程的解， 则还有可能出现符合方程的点不在曲线上， 如曲线上的点的坐标都是方程的解，而方程对应的曲线为直线， 则甲是乙的必要不充分条件， 故选：D． 3．下列各组两个方程表示相同曲线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A：过原点，而不过原点，不是同一曲线； B：，显然与不是同一曲线； C：由，即有，故为同一曲线； D：由，而中，故不是同一曲线. 故选：C 考点二 由方程求曲线的图形 4．方程所表示的图形是（    ） A．一个圆 B．一个半圆 C．两个圆 D．两个半圆 【答案】D 【详解】由于，故或， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的右半圆， 当时，则，平方可得，表示圆心为半径为2的左半圆， 故选：D 5．方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 【答案】C 【详解】由方程， 得:或且满足， 即或且满足， 所以方程表示半个圆和一条线段， 故选：C 6．在平面直角坐标系中，点满足则P的轨迹为（    ） A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】由，则两边平方可得， 整理可得，即， 解得或. 故选：A. 7．已知方程所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的个数是（   ） （1）当时，曲线表示一条直线 （2）当时，曲线表示椭圆 （3）存在实数，使得曲线为等轴双曲线 （4）存在实数，使得曲线为抛物线 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于（1），当时，曲线方程为，即或，此时曲线表示两条直线，（1）错； 对于（2），当时，曲线的方程可化为， 若曲线表示圆，则，解得且，（2）错； 对于（3），当时，曲线的方程可化为，曲线表示双曲线， 若曲线为等轴双曲线，则，解得，（3）对； 对于（4），由上可知，当时，曲线表示两条直线， 当时，曲线表示椭圆或圆， 当时，曲线表示双曲线， 综上所述，不存在实数，使得曲线为抛物线，（4）错. 因此，正确的命题个数为. 故选：A. 8．方程表示的图形是 . 【答案】直线或单位圆 【详解】由方程即可求解. 由方程可得：或， 所以方程表示的曲线是直线或单位圆， 故答案为：直线或单位圆. 9．方程表示的曲线的形状是 ． 【答案】两条线段 【详解】由已知方程两边平方得， 结合. ∴方程表示的曲线是两条线段． 考点三 由方程研究曲线的性质 10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】 ，， ， 令，则， ，即， ， ， ， 解得， 故选：D 11．如图，心形曲线与y轴交于A，B两点，点P是上的一个动点，则（ ） A．点和点均不在上 B．的最大值与最小值之和为22 C．点P的纵坐标的最大值为 D． 【答案】D 【详解】对于A，代入曲线方程可得， 即点在上，故A错误； 对于B，根据对称性不妨设，， ， 由正弦函数的值域可得最大值与最小值的差为24，故B错误； 对于C，由B可得， 点P的纵坐标的最大值为，故C错误； 对于D，当时，可得， 所以 ，故D正确. 故选：D 12．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设曲线C上任意一点为， 由题意知，曲线C方程为：，其中， 将点代入曲线方程，得：，则. 故曲线C方程为：，其中. 可得， 当时，. 因此C在第一象限的点的纵坐标的最大值. 故选：D. 13．（多选）如图，数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，爱心曲线就是其中之一，下列结论正确的是（   ） A．曲线上的点的横坐标取值范围是 B．曲线上的点到原点的距离最大值为 C．曲线恰好经过6个整数点（即横坐标、纵坐标均为整数） D．曲线所围成的“心形”区域面积大于3 【答案】BCD 【详解】对于A，根据题意，曲线， 当时，曲线的方程为， 移项可得， 关于的一元二次方程的判别式， 解得，又因为，所以， 当时，曲线的方程为， 则曲线关于轴对称， 所以曲线上的点的横坐标取值范围是，故A错误； 对于B，当时，曲线的方程为， 则有，变形可得，当且仅当时等号成立， 又由曲线关于轴对称，则曲线上任意一点都满足， 曲线上的点到原点的距离最大值为，故B正确； 对于C，曲线， 当时，，所以，即曲线经过，； 当时，方程为，有， 解得，所以只能取整数1， 当时，有，解得或，即曲线经过，， 根据对称性可得曲线还经过，，所以曲线一共经过6个整点，C正确； 对于D，因为在轴上方，曲线围成图形的面积大于四点，， ，围成的矩形面积， 在轴下方，图形面积大于三点，， 围成的等腰直角三角形的面积， 故曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，D正确； 故选：BCD 14．（多选）已知曲线C的方程为，则关于曲线C，下列说法正确的是（   ） A．曲线C关于x轴对称 B．若曲线C上的任意一点P的横坐标的取值集合为A，则 C．曲线C经过第一、二、三和四象限，且与坐标轴只有一个公共点 D．曲线C与直线有3个交点 【答案】BD 【详解】若点在曲线C上，将代入曲线方程得，与原方程不等，故A错误； 因为，所以，即，所以，B正确； 或时方程仅成立，所以曲线C与坐标轴只有原点一个公共点，且不属于第一、二、三和四象限，C错误； 代入得，令，方程为， 令，， 因为在上单调递增，且，所以存在使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为，所以有且仅有一个使得，对应， 所以曲线C与直线有3个交点：，D正确. 故选：BD 15．（多选）设曲线C：，则下列说法正确的是（   ） A．曲线C的图象仅在第一、第三象限内 B．曲线C关于直线对称 C．若点在曲线C上，则 D．若直线l与曲线C没有交点，则直线l的斜率为1 【答案】BCD 【详解】对于A，显然曲线C经过坐标原点O，而坐标原点不在任一象限内，A错误； 对于B，对曲线上任意一点，则也满足， 也满足，即均在曲线上，曲线关于直线对称，B正确； 对于C，依题意，得， 若，则，，此时，满足；若， 则，，当时，，有，矛盾，因此，C正确； 对于D，由选项C知，曲线有两条渐近线，分别为及， 若直线与曲线没有交点，则与渐近线平行或重合，则的斜率为1，D正确. 故选：BCD 16．（多选）经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．曲线经过的整数点个数为3个 C．的取值范围均为 D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为 【答案】CD 【详解】对于A，将，代入方程，可得，故A错误； 对于B，由A可知曲线，当时，，解得； 当时，，解得或0或1；同理可得当时，或0或1； 当，，时，，即， 由，则方程无解， 综上可得曲线经过的整数点有，，，，，， ，，共个，故B错误； 对于C，将曲线的方程等价转化为关于的一元二次方程， 则，解得， 同理可得，故C正确； 对于D，，当且仅当时，等号成立， 由，则，即的最大值为，所以圆的面积最大值为，故D正确. 故选：CD. 考点四 两曲线的交点问题 17．已知曲线，直线，若与有三个交点，且一个交点平分另两个交点连成的线段，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】显然与交于点，由，得，得或，设另外两个点为，则，不妨设，已知一个交点平分另两个交点连成的线段， 当时，，此时，则，不合题意； 当时，，得，解得. 又，所以不成立， 故选：A. 18．直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记曲线， 由题意，， ∴曲线表示以为圆心，半径为的圆的上半部分， 记直线，即，∴直线过定点. 如图所示： ， 当直线与曲线相切时，. 由图可知，当直线与曲线有两个相异的交点时，. 故选：B. 19曲线和公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，曲线表示圆的上半圆， 如下图所示： 因为原点到直线的距离为， 所以，曲线与直线相切，且切点在第一象限. 故选：C. 20．方程有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得， 所以，曲线与曲线有两个公共点，它们关于y轴对称， 对于曲线，，可得， 整理可得，由可得， 即曲线为圆的下半圆， 由可得，其中， 联立可得， 若方程在时有唯一根，则， 此时方程只有唯一的实根，不合乎题意， 所以，方程在只有唯一的根， 因为二次函数在时单调递减， 只需，解得. 故答案为：. 21．曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可得与有两个不同的交点， 联立，可得. 易知，故， 要与有两个不同的交点，可得,解得. 考点五 直接法求轨迹方程 22．已知定点，（），动点满足（），则动点的轨迹是（    ） A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支 C．抛物线的一部分 D．直线 【答案】A 【详解】设，因为（）， 所以，即（）， 因为，则， 所以动点的轨迹是椭圆的一部分. 故选：A 23．在平面直角坐标系中，动点到轴、轴、坐标原点的距离分别为，，，这3个距离均大于0，且，则动点的轨迹对应的图形大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】设，根据点到坐标轴和原点的距离公式，结合已知条件列出方程，再对轨迹方程进行分析，判断其对应的图形即可. 【详解】设，则，，. 因为，所以， 则，则， 所以动点的轨迹为两条直线与（除去坐标原点），其图形大致为选项A中的图象. 故选：A. 24．中，为边上的高且，动点P满足，则点P的轨迹一定过的 【答案】外心 【详解】设以H为原点，、方向为轴正方向如图建立平面直角坐标系， 因为，所以 则则， 设，则，∵，∴，即， 即点P的轨迹方程为，而直线，平分线段， 即点P的轨迹为线段的垂直平分线， 根据三角形外心的性质可得点P的轨迹一定过的外心. 故答案为：外心. 25．平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记动点的轨迹为曲线.过点作两条直线，分别与曲线交于点，和，四点（其中点、在上方）. (1)求曲线的方程； (2)若，求四边形面积的取值范围； (3)设交轴于点，交轴于点，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设，则 故，化简可得， 故曲线方程为 （2）由题意可知直线均有斜率，且不为0，由于， 设直线， 曲线为圆心为，半径的圆， 则到的距离为，同理可得到的距离为， 故， 故当时，，当且仅当时取到等号，当时，，当且仅当时取到等号， 因此，当且仅当时取到等号， 故，即，因此， 故， 故， （3）设直线，其中均不为0， 联立直线与可得, 设则， 同理设则， 则直线， 令，则,故， 同理可得, 则 ， 因此，故， 因此，得证.    考点六 定义法求轨迹方程 26．已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 27．一动圆过定点，且与圆B：相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动圆圆心为点，连接PB，PA，则，则， 所以点P的轨迹是以，为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支． 设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，则，． 所以动圆圆心的轨迹方程为． 故选：A 28．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 29．已知点满足，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 30．舒腾尺是荷兰数学家舒腾(162015·1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为 . 【答案】 【详解】如图，以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系， 因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 则其方程为. 故答案为：. 考点七 代入法求轨迹方程 31．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆，可得标准方程为， 所以圆心，半径为， 若圆上恰有三个点到直线的距离为， 则满足圆心到直线的距离恰好为，即，即， 设，则， 代入，可得， 整理得，即点的轨迹方程为. 故选：A. 32．（多选）已知点，点是曲线上任意一点，直线与直线的斜率之和为常数，则（    ） A．曲线经过点 B．曲线关于原点对称 C．直线与曲线无交点 D．点到原点的距离有最小值 【答案】BCD 【详解】由题意可得，因为，所以，则可化简为，， 对于，把代入， 得 ，故曲线经过点， 故错误； 对于，设是曲线上的点，代入可得化为， 则也在曲线上，故曲线 关于原点对称，故 正确； 对于 ，联立 ，得 ，无解， 故直线 与曲线无交点，故 正确； 对于 ， ， 当时等号成立； 故 的最小值为 ，故 正确. 故选： . 33．在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设线段的中点为，点的坐标为. 因为是的中点，所以可得，即. 因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得： 故答案为：. 34．在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆：上，且直线，的斜率之积为，则中点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】因为点，在椭圆：上，所以， 两式相加可得，即， 又因为直线，的斜率之积为，所以，可得， 所以， 设中点为，则，， 所以，即， 即中点的轨迹方程为， 故答案为： 35．已知抛物线C：，过点的直线l交抛物线于P､Q两点，以OP､OQ为邻边作平行四边形OPRQ. (1)求点R的轨迹方程. (2)是否存在l，使四边形OPRQ为正方形？证明你的结论. 【答案】(1)或 (2)不存在，证明见解析 【详解】（1）显然直线的斜率存在，且，设直线，， 联立直线与抛物线的方程得，. 计算可得，，所以，且. 由韦达定理可得，， 则. 因为，POQR为平行四边形， 所以，PQ与OR相互平分，则， 所以，. 消元可得，. 因为，且，， 所以或. 所以，点R的轨迹方程是或. （2）假设存在l，使四边形OPRQ为正方形. 根据正方形的性质，应满足，. 由可得，， 所以，， 即， 由韦达定理得， 解得，满足； 由得，， 所以， 所以，，即. 又， 所以有， 解得或（舍去）， 这与或矛盾. 所以，假设不正确，所以，不存在这样的直线. 考点八 参数法求轨迹方程 36．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，过点的直线为， 由得，直线代入得 则， 即，，所以 故选B 37．已知抛物线，定点为抛物线上任意一点，点在线段上，且有，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程． 【答案】 【详解】设、，则， ①，② 在抛物线上， ，把①②代入得，化简得， 即，轨迹为抛物线. 38．当在内变动时，求抛物线顶点的轨迹． 【答案】 【详解】将原式配方得，， 设点的坐标为，则， 消去参数，得，即． 由于原参数方程中的取值范围是，而普通方程中的取值范围是，两者范围不一致，所以对于原参数方程的普通方程应为． 39.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长半径的圆与直线相切． （1）求与； （2）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交与点..求线段的垂直平分线与的交点的轨迹方程，并指明曲线类型． 【详解】（1）由于， ∴， ∴， 又， ∴，因此. （2）方法1.（直接法）由（1）知两点分别为，设，则，由，得，化简得． 方法2.（定义法）因为点在线段的垂直平分线上，故，即点到点的距离与到直线的距离相等，所以点的轨迹为以点为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为． 方法3.（参数法、交轨法）由（1）知两点分别为，由题意可设.那么线段中点为，设是所求轨迹上的任意点.由于则消去参数得，其轨迹为抛物线． 考点九 交轨法求轨迹方程 40．已知正方形的四个顶点分别为，，，，点，分别在线段，上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 所以直线的方程为， 直线的方程为：，设， 则由，可得， 消去可得． 41．如图，已知抛物线，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点．求△APB的重心G的轨迹方程． 【答案】 【详解】设切点，坐标分别为和， 易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程消去可得：， 因为与抛物线相切， 所以即，所以， 所以， 所以直线的方程为即， 同理可得直线的方程为：， 由于既在又在上，所以，解得即， 所以的重心的坐标为①， ②， 由①②可得，由点在直线上运动， 所以即， 从而得到重心的轨迹方程为：，即. 42．（25-26高三上·湖北·阶段练习）设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. (2)过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，. 【详解】（1）设，，由题意可得， 共线，故，① 又共线，故，② 由①②两式相乘，得，（*） 因在双曲线上，则，即， 将其代入（*）式，得，即， 即的轨迹方程为.    （2）由题意可设直线的方程为， 联立，得. 设，则，即， 则 ，为定值.    考点十 与立体几何有关的轨迹问题 43．已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以平面， 如图1所示，设为的交点，所以， 又平面平面， 所以， 又，平面，所以平面， 因为点平面，故平面， 所以，则， 因为正方体的棱长为，所以，即， 在平面内建立平面直角坐标系，如图2所示， 则， 设， 则，， 所以， 又，故，即， 整理得，即， 故点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度为． 故选：C． 44．在棱长为的正方体中，E，F分别是棱的中点，点在上底面内运动，若，则点P的轨迹的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】 以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设， ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 因为平面， 所以，所以， 所以点P的轨迹长度为. 故选：. 45．在正四棱柱中，，为棱的中点，点为侧面内一动点，且平面，则线段的长度的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】在正四棱柱中，取中点，连接， 由四边形是矩形，为棱的中点，得，平面即平面， 取中点，连接，则，平面， 平面，则平面，而，， 于是四边形是平行四边形，，又平面， 平面，则平面，而平面， 因此平面平面，而平面，则平面，即平面， 又点为侧面内一动点，则点的轨迹为线段， 由，得，， ，因此等腰的腰上的高等于， 故线段的长度的最小值为. 故选：D 46．在长方体中，，球是以为球心，以1为半径的球.动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则动点一定在以为球心，以3为半径的球面上， 再由动点在矩形的内部及其边界上运动，则矩形面截以为球心，以3为半径的球面可得圆弧，如图，    因为，结合勾股定理可得：， 所以圆弧， 故选：D. 47．已知正方体的棱长为2，为正方体内一点，若，，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，判断点在四边形内，设的中点为，结合线面垂直判定定理证明平面，由此证明，再由勾股定理求，由此确定点的轨迹及长度. 【详解】由，知点在四边形内， 设的中点为，则． 因为平面平面，所以． 又因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 则， 所以点在以为圆心，的半圆上运动，点的轨迹长度为． 故选：A． 48．已知正方体的棱长为，点平面，且，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图1所示，设为的交点，所以．又平面平面， 所以．又，平面，所以平面． 因为点平面，故平面，所以，则． 因为正方体的棱长为，所以，即， 在平面内建立平面直角坐标系，如图2所示，则． 设，则，， 所以． 又，故，即， 整理得，即， 故点的轨迹是半径为的圆，所以点的轨迹长度为． 故选：C． 49．（2025高三·全国·专题练习）如图已知动点在正方体的表面上，且，则动点的轨迹为（    ） A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．一条线段 【答案】C 【分析】由题可知点在以为轴，然后根据圆锥曲线及正方体的性质即得. 【详解】因为，所以点在以为轴，为母线的圆锥面上， 由正方体的性质可知，， 平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面，又动点在正方体的表面上， 根据圆锥曲线的性质可知动点的轨迹为抛物线的一部分. 故C 1．（第九届高二“枫叶希望杯”竞赛）已知正四面体，若平面内有一动点到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（    ） A．一条线段 B．一个点 C．一段圆弧 D．抛物线的一段 【答案】A 【分析】推导出，进而可得出，设点到边、、的距离分别为、、，设等边的边长为，可得出以及，求出的值，即可得出结论. 【详解】设点到平面、平面、平面的距离依次为、、，如下图所示： 由题意可知，，则， 即，即， 所以，， 不妨设点到边、、的距离分别为、、， 设等边的边长为，则， 又因为，即， 所以，，① 由，可得，可得，② 联立①②可得， 所以，点的轨迹是一条与平行且与之间的距离为的线段. 故选：A. 2．（2023·湖南岳阳高二上竞赛）已知二次方程表示两条直线，则为（    ）． A．94 B．95 C．96 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，设二次方程为，利用对应系数相等，得到方程组，求得的值，即可求解. 【详解】因为表示两条直线，即方程可分解为两个一次式的乘积， 由，可得， 设二次方程为， 整理得到， 可得，解得，所以. 故选：C. 3．（2024·山东泰安冬季竞赛）设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论： ①当时，点M的轨迹方程为； ②当时，点M的轨迹方程为 ③当时，点M的轨迹方程为. 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设,直线，的斜率之积，由直线，的斜率均存在，则，对三个命题进行逐一判断，即可得到答案. 【详解】设,由直线，的斜率均存在，则. 直线，的斜率之积. 当时，有 所以点M的轨迹方程为，所以①不正确. 当时,有，即. 所以点M的轨迹方程为，所以②正确. 当时,即，所以点M的轨迹方程为，所以③不正确. 故选：B 4．（第二届“枫叶新希望杯”全国竞赛）和y轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设动圆圆心为，根据已知条件，列出方程，整理化简即可求得结果. 【详解】设动圆圆心为，显然，依题意有：， 即，；又，解得； 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是. 故选：A. 5．（第四届“枫叶新希望杯”全国竞赛）如图所示，正方体的一个表面即正方形内有一个动点，点到和的距离之和为，正方体棱长为2，则点对张角最大时，（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求得点P的轨迹，然后根据椭圆的对称性即可. 【详解】在正方形内，因为点到和的距离之和为， 所以根据椭圆的定义知，点的轨迹为以的中点为中心，、为焦点的椭圆的一部分（落在正方形内）. 则椭圆的，所以，所以， 根据椭圆的对称性知，要使点对张角最大时，点位于中垂线上， 即点为椭圆的短轴端点，所以，故. 故选：D 6．（第八届“枫叶新希望杯”全国竞赛）已知两点，给出下列曲线方程： ①；②；③；④． 在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】先求线段MN的垂直平分线的方程，再分别与四个曲线方程联立，由判别式来判断直线与曲线是否有交点，若有则存在，若无则不存在. 【详解】∵ ∴MN的中点坐标为 ， ∴MN的垂直平分线的方程为： ，即： ①    ∵直线与直线平行 ∴曲线上不存在点P使得|MP|=|NP|. ②    联立 得： ∴直线与曲线有交点 ∴曲线上存在点P使得|MP|=|NP|. ③    联立得： ∴直线与曲线有交点 ∴曲线上存在点P使得|MP|=|NP|. ④    联立得： ∴直线与曲线有交点 ∴曲线上存在点P使得|MP|=|NP|. 综述：曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是：②③④ 故选：D. 7.（多选）（2023·“加速杯”全国竞赛）设直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线分别交轴，轴于点，，并记点．下列命题中正确的是（    ） A． B．是与的等比中项 C．存在定点，使得为定值 D．存在定点，使得为定值 【答案】ABC 【分析】联立方程组，得到，即可根据已知得出，化简为，而时不满足题意，则，即可证明选项A； 由，，求出切点横坐标，即可得出切点坐标，再根据已知设出过且垂直于的直线为：，即可代入得出，再通过已知，，得出，即可得出，即可求出、与，即可验证选项B； 得出，，即可代入曲线化简，得出的轨迹为双曲线的一只，即可根据双曲线的定义验证选项C与D. 【详解】对于选项A： 联立方程组，消去得：， 直线与曲线相切于点， ， 即， 则， 若时，即，直线与曲线无法相切， ，则， 故选项A正确； 对于选项B： 设切点， ，， 解得：， 则， 即， 过且垂直于的直线为：，即， 代入点得：， 则，解得：， 过且垂直于的直线分别交轴，轴于点，， ，即， 则， 则，，， 则， ， ， 则， 故是与的等比中项， 故选项B正确； 对于选项C与选项D： ，，则， ，，则， 在曲线上，代入化简得：， 则当为双曲线的焦点时，为定值4，无法确定， 故选项C正确，选项D错误， 综上所述：选项ABC正确， 故选：ABC. 8．（多选）（2024·山东泰安冬季竞赛）如图，已知正方体的棱长为2，点，在平面内，若，，则下述结论正确的是（    ） A．点的轨迹是一个圆 B．点的轨迹是一个圆 C．的最小值为 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【分析】选项A：由，得，分析得E的轨迹为圆； 选项B：由平面，而点在上，即的轨迹为线段，； 选项C：由E的轨迹为圆，的轨迹为线段，可分析得； 选项D：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】对于A:，即，所以，即点E为在面内，以为圆心、半径为1 的圆上；故A正确； 对于B: 正方体中，，又，且，所以平面，所以点F在上，即的轨迹为线段，故B错误； 对于C:在平面内， 到直线的距离为当点，落在上时，；故C正确； 对于D: 建立如图示的坐标系，则, 由B选项的证明过程可知：的轨迹为线段， 所以设，则，则， 而 设平面的法向量，则有 不妨令，则， 设与平面所成角为，则： 当时，有最大值，故D正确； 故选：ACD 9．（第二届“枫叶希望杯”全国竞赛）射线OA的方程是，射线OB的方程是，长为的动线段MN的端点M在OA上移动，端点N在OB上移动，则MN的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，，由中点坐标公式得，，根据段MN的长为得，代入化简即可求得轨迹方程. 【详解】设，，则，， 由题意，， 又，则， 即，所以， 整理得. 故答案为： 10．（第七届“枫叶希望杯”全国竞赛）如图，是平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹的形状是 ．      【答案】椭圆 【分析】由题意点到直线的距离为定值，由平面与圆柱面的截面性质的判断即可得解. 【详解】依题意知点到直线的距离为定值， 若忽略平面的限制，则点的轨迹为一个以为轴的圆柱面， 即点的轨迹为一个以为轴的圆柱面与平面的交线， 且平面与圆柱的轴斜交， 由平面与圆柱面的截面性质的判断可得，平面截圆柱面所得的曲线即点的轨迹形状为椭圆． 故答案为：椭圆. 11．（2023·全国高中数学联赛一试）平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】设，，由三等分点关系可得，根据的位置特征可设，，从而可得的坐标（用表示），故可求点的轨迹方程. 【详解】 解：设，.不妨设，则. 易知.由于点位于线段上，故，. 可设，，则，.此时有， 且由，不重合知，所以. 设，则，，有. 注意到，故点的轨迹方程为. 12．（2023·河南驻马店高二上竞赛）已知点为双曲线上任一点，为双曲线的右焦点，过作直线的垂线，垂足为A，连接并延长交y轴于． (1)求线段的中点的轨迹的方程； (2)已知，过点的直线l与轨迹E交于不同的两点M、N，设直线DM和直线DN的斜率分别为和，求证：为定值． 【答案】(1)． (2)证明见解析 【分析】（1）首先求出，设，利用中点公式得到方程组，最后代入回双曲线方程，最后化简得到轨迹方程； （2）设直线方程为，与双曲线联立得到方程组，利用韦达定理整体代入即可得到定值. 【详解】（1）由已知得，， 则直线的方程为：， 令得，即，又，且为线段中点， 设，则 即代入得：， 即P的轨迹E的方程为． （2）由题意可知直线的斜率一定存在,设直线的方程为,,得, 由于直线与双曲线交于不同的两点,,则,解得, 设,则, , 故 ， 即为定值. 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $