精品解析：广西壮族自治区“贵百河”2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2024级“贵百河”10月高二年级新高考月考测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 设为虚数单位，则复数的虚部为 A. －4 B. －4i C. 4 D. 4i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算得到，进而可得虚部. 【详解】∵，其虚部为-4， 故选：A 3. 图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到倾斜角，根据斜率和倾斜角的关系，结合正切函数单调性，得到. 【详解】由图象可得，倾斜角， 故， 又在上单调递增， 故. 故选：A. 4. 函数的定义域是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 所以 故选A. 5. 已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用两点式求线段AB的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程. 【详解】由题设，，故线段AB的垂直平分线的斜率为2，又中点为， 所以线段AB的垂直平分线方程为，整理得：. 故选：B 6. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 【解析】 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 7. 已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解. 【详解】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：， 由得点，由得点，而，， 于是得， 而表示动点到定点与的距离的和， 显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，， 当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0， 从而得取最小值， 所以，当直线l3方程为：时，取最小值. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 数据2，4，6，8，10，12，14，16的第25百分位数是5 C. 在上的最小值为0 D. 若单位向量，，满足，则与的夹角为0 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对勾函数性质判断A；求出第25百分位数判断B；求出最小值判断C；利用数量积的运算律，结合向量夹角公式求解判断D. 【详解】对于A，由对勾函数的性质，知在上单调递增，A正确； 对于B，由，得数据2，4，6，8，10，12，14，16的第25百分位数是，B正确； 对于C，函数的图象的对称轴为直线，开口向上，最小值为，C错误； 对于D，由单位向量满足，得，解得， 又，则，即与的夹角为0，D正确. 故选：ABD 9. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ）. A. 异面直线与所成的角为 B. C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据线面角求出底边边长后可判断B的正误，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦公式进行求解判断A，利用线面角的向量求解公式进行求解判断C；利用点到平面的距离公式求出答案判断D. 【详解】对于B，平面，直线与平面所成角, ，故B正确， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，，设直线与所成的角大小为， 则， 故，A正确； 对于C，可取为平面的法向量， 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角为，C错误；    因为四边形为正方形，所以⊥， 又平面，平面，故， 因为，平面， 所以⊥平面，故可取为平面的法向量， 故点到面的距离，D正确. 故选：ABD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过定点 B. 若两直线与平行，则实数的值为1 C. 经过三点，，的圆的方程为 D. 点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线一般式方程求解定点坐标即可判断A；根据一般方程直线平行的系数关系得的值，并检验直线是否重合，从而可判断B；设圆的标准方程，将点的坐标代入解方程即可判断C；确定直线过的定点，数形结合判断直线与线段相交时斜率关系，解不等式得实数的取值范围即可判断D. 【详解】A选项，，无论取何值，当时，，故直线恒过定点，故A正确； B选项，两直线与平行，则，解得或， .当时，两直线为与，平行且不重合；当时，两直线为（即）与，平行且不重合， 综上，或，故B错误； C选项，点，，在圆上，设圆的方程为， 代入三点坐标可得，解得， 则圆的方程为，故C正确； D选项，直线，直线经过定点， 画出坐标系，如下： 其中，， 则要想直线与线段相交，则直线斜率或，解得或，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系计算齐次式即可. 【详解】，分子分母同时除以得， 已知，则， 故答案：. 12. 为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】圆心到直线距离 ， 圆上动点到直线距离最小值为 ． 点睛：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题． 13. 在四面体中，所有梭长都是2，、分别为棱、的中点，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】用向量，表示出，利用数量积的运算即可求解. 【详解】 如图，由题意有， ，又因为两两的夹角为，且模长为2， 所以， 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）若，，，，求两条异面直线和所成的角. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直得出，再应用线面垂直判定定理得出； （2）应用线线平行得出是异面直线和所成的角或其补角，再应用边长得出角即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以. 因为，， 所以. 又，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取中点，连接和. 因为，，所以为等腰直角三角形. 由，可知，，. 故为等腰直角三角形. 于是有，则， 所以是异面直线和所成的角或其补角， 由勾股定理易知，所以， 即异面直线和所成的角为. 15. 已知直线：和直线：，其中m为实数． （1）若，求m的值； （2）若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 【答案】（1）或0 （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据垂直得到方程，求出m的值； （2）将代入中，解得，设直线l的方程，根据两截距相等得到方程，求出或，得到直线l的方程. 【小问1详解】 由题意得，解得或0； 【小问2详解】 由在直线上，得，解得，可得， 显然直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为， 令，可得，再令，可得， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或， 即或． 16. 已知直线，，. （1）直线经过两条直线和的交点，且平行于直线，求直线的方程； （2）圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由联立得交点，根据两条直线平行可设的方程为：，点代入即可求解. （2）设圆心 ，由解得，根据两点间的距离公式求出半径即可求解. 【小问1详解】 由得，所以直线和的交点为， 由可设的方程为：， 过点，所以，解得， 故直线的方程为. 【小问2详解】 因为圆心在直线上，所以设 ， 由得 解得. 所以圆心，半径为， 故圆的标准方程为. 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 【答案】（1）0.006；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求； （2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为； （3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率. 【详解】（1）因为， 所以 （2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为 （3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)， 即为； 受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即， 故所求的概率为 【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况. 18. 如图，正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2.为棱上一动点，平面截正四棱柱所得截面交棱于点. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）写出当的长为何值时，四边形的周长最小，并求此时平面与平面的夹角的正切值. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】根据正四棱柱性质得出对面平行及面面平行的性质推出线线平行． 通过转换顶点，将四棱锥转换成两个三棱锥之和求解即． 将侧面展开，根据两点之间线段最短求出的值，然后建立空间直角坐标系求出面面夹角正切值． 小问1详解】 证明：在正四棱柱中，平面∥平面． 且平面平面，且平面平面． ． 【小问2详解】 连接． 正四棱柱中，底面边长为1． ． ． ． ；． ． 【小问3详解】 将平面与面展开在同一平面上，如图所示． 且．四边形为平行四边形． 四边形的周长. 若使四边形的周长最小，即三点共线时有最小值． 即当为中点时，，四边形的周长最小． 以为原点，分别以所在直线为轴，如图所示建立空间直角坐标系． 则． . 设面的法向量． ． 令，则；面的法向量． 平面的法向量为． 设平面与平面的夹角为，则． .． 即平面与平面的夹角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级“贵百河”10月高二年级新高考月考测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，则复数的虚部为 A. －4 B. －4i C. 4 D. 4i 3. 图中的直线，，的斜率分别为，，，则有（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是 A. B. C. D. 5. 已知点，，则线段AB的垂直平分线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数．若g（x）存在2个零点，则a取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 7. 已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列命题正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 数据2，4，6，8，10，12，14，16的第25百分位数是5 C. 在上的最小值为0 D. 若单位向量，，满足，则与的夹角为0 9. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ）. A. 异面直线与所成的角为 B. C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为 10. 下列说法正确有（ ） A. 直线恒过定点 B. 若两直线与平行，则实数的值为1 C. 经过三点，，圆的方程为 D. 点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知，则__________. 12. 为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为__________． 13. 在四面体中，所有梭长都是2，、分别为棱、的中点，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）若，，，，求两条异面直线和所成的角. 15. 已知直线：和直线：，其中m为实数． （1）若，求m值； （2）若点在直线上，直线l过P点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程． 16. 已知直线，，. （1）直线经过两条直线和的交点，且平行于直线，求直线的方程； （2）圆经过，两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 18. 如图，正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2.为棱上一动点，平面截正四棱柱所得截面交棱于点. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积； （3）写出当的长为何值时，四边形的周长最小，并求此时平面与平面的夹角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $