专题27.1 圆的确定（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题27.1 圆的确定 教学目标 1. 了解圆的定义及有关概念； 2. 掌握点与圆的位置关系； 3. 会画圆，解圆的有关概念的几何应用． 教学重难点 1.重点 （1）圆的有关概念辨析及其应用； （2）确定圆的条件；圆的外心，圆的内接三角形 （3）点与圆的位置关系及其应用。 2.难点 （1）概念辨析； （2）点与圆的位置关系综合应用。 知识点1 圆的确定 一、圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　 ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 二、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 三、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 考点四、确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 【即学即练】 1．下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 2．下列说法正确的是（   ） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 3．说法错误的有（   ） ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，为半径的圆有无数个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 5．下列四个命题中，正确的有（   ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 7．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 8．如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 9．如图，在中，于点D，O为的中点． （1）以点C为圆心，6为半径作圆，则点A在 ，点B在 ．（均填“内”“外”或“上”） （2）当的半径为 时，点O在上． 题型01 概念辨析 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．直径是弦 B．弦是直径 C．半圆包括直径 D．弧是半圆 【变式1】．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．圆有（　　）条对称轴． A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式3】．下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 题型02 概念的应用 【典例1】．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm． A．2 B．4 C．8 D．16 【变式1】．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式2】．如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【变式3】．过圆上一点可以作圆的最长弦（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型03 求弦的条数 【典例1】．如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【变式1】．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型04 不在同一直线上的三个点确定一个圆 【典例1】．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【变式1】．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【变式2】．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【变式3】．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 题型05 确定圆心 【典例1】．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为 ． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．    题型06 圆的周长、面积 【典例1】．车轮转动一周所行的路程是车轮的（    ）． A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【变式1】．若一个圆的半径为，那么该圆的面积等于（　　　） A． B． C． D． 【变式2】．如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型07 点与圆的位置关系 【典例1】．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【变式1】．已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【变式2】．在平面直角坐标系中，O为原点，点M的坐标为，的半径为4，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在内 C．点P在上 D．无法判断 【变式3】．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 题型08 根据点与圆的位置关系求半径 【典例1】．一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（   ）   A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm 【变式1】．两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为，小圆的半径为．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】．矩形中，，以点为圆心画，使点在内，点在外，则的半径的取值范围是 ． 【变式3】．在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 题型09 点与圆的位置关系的综合应用 【典例1】．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，8为半径作，则下列各点在外的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．如图，在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在内，点B在外时，r的取值范围是 ． 【变式2】．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 题型10 作图题 【典例1】．已知点，和线段（如图）．求作，使过点，，且半径为．这样的圆能作几个？ 【变式1】．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点C是的边上的一点，求作，使它经过O、C两点，且圆心在的平分线上． 结论： 【变式2】．在下面的正方形中画一个最大的圆形，请用字母标明圆的圆心、半径，再在所画的圆形中画一个最大的正方形． 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（    ） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称 2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧． A． B． C． D． 3．已知中，最长的弦长为16cm，则的半径是（    ） A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm 4．下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半圆是圆中最长的弧 5．下列说法，其中正确的有（    ） ①过圆心的线段是直径 ②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形 ③大于半圆的弧叫做劣弧 ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．一个圆形茶几面的直径是，它的面积是（ ）（结果保留）． A． B． C． D． 7．在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 8．的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在外，则（    ） A． B． C． D． 9．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．判断： （1）直径是弦，弦是直径( ) （2）半圆是圆弧( ) （3）长度相等的弧是等弧( ) （4）能够重合的弧是等弧( ) （5）圆弧分为优弧和劣弧( ) （6）优弧一定大于劣弧 ( ) （7）半径相等的圆是等圆 ( ) 12．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有 ，以点A为一个端点的优弧有 ． 13．以为半径可以画 个圆；以点为圆心可以画 个圆；以点为圆心，以为半径可以画 个圆． 14．在中，半径为5，、为上的点，为，则弦长 ． 15．如图，在中，半径有 ，直径有 ，弦有 ，劣弧有 ，优弧有 ． 16．已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 17．已知的半径为，若点在内，写出一个长的可能值 ． 18．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 19．如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 20．已知直角三角形的斜边长为，则该三角形的外接圆半径为 ． 21． ，是半径为3的上两个不同的点，则弦的取值范围是 ． 22．已知矩形中， ，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围是 ． 三、解答题 23．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 24．已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P． （1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？ （2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？ 25．已知，画半径为的圆，使它经过两点．这样的圆能画出多少个？如果半径为呢？ 26．求证：直径是圆中最长的弦． 27．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：． 28．如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，． (1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标； (2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系． 29．如图，在中，，点为的中点．    （1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？ （2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围． 30．在平面直角坐标系中，的半径为1，点是外一点，给出如下定义：若在上存在点，使得点关于某条过点的直线对称后的点在上，则称点为点关于的“关联对称点”． (1)若点在直线上； ①若点的坐标为，则，，中，是点关于的“关联对称点”的是_____； ②若存在点关于的“关联对称点”，求点的横坐标的取值范围； (2)已知点，动点满足，若点关于的“关联对称点”存在，直接写出的取值范围． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1 圆的确定 教学目标 1. 了解圆的定义及有关概念； 2. 掌握点与圆的位置关系； 3. 会画圆，解圆的有关概念的几何应用． 教学重难点 1.重点 （1）圆的有关概念辨析及其应用； （2）确定圆的条件；圆的外心，圆的内接三角形 （3）点与圆的位置关系及其应用。 2.难点 （1）概念辨析； （2）点与圆的位置关系综合应用。 知识点1 圆的确定 一、圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　 ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 二、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 三、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 考点四、确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 【即学即练】 1．下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，运用直径的定义与性质即可判断①③⑤是否正确；运用“比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧” 即可判断②④是否正确；运用“在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧”即可判断⑥⑧是否正确；运用“圆上两点间的部分叫做圆弧”即可判断⑦是否正确．解题的关键是理解命题有题设和结论两部分组成． 【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 2．下列说法正确的是（   ） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断． 【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意； B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意； C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意； D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意； 故选∶C 3．说法错误的有（   ） ①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，为半径的圆有无数个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： ① 经过一个点P的圆有无数个，正确； ②以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； ③半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； ④以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误； 综上，错误的为④，即1个． 故选：A． 4．下列说法错误的是（   ） A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形 C．任意一个三角形都有无数个外接圆 D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上 【答案】C 【分析】本题考查圆的确定，根据不在同一直线上的三个点确定一个圆求解即可． 【详解】解：A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故说法正确； B、任意一个圆都有无数个内接三角形，故说法正确； C、根据不在同一直线上的三个点确定一个圆得到任意一个三角形都有一个外接圆，故说法错误； D、同一圆的内接三角形的外心都在这个圆的圆心上，故说法正确． 故选：C． 5．下列四个命题中，正确的有（   ） ①圆的对称轴是直径；②经过三个点确定一个圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】此题考查了圆中的有关概念和性质．根据相关知识进行解答即可． 【详解】解：①圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误； ②当三点共线的时候，不能作圆，故原说法错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故原说法错误； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故原说法正确． 故选：D． 6．如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（    ） A．经过点，，，只能作一个圆 B．经过点，，，只能作一个圆 C．经过点，以的长为半径只能作一个圆 D．经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 7．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 8．如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 【答案】 1 3 4 4 【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为1，3，4，4． 9．如图，在中，于点D，O为的中点． （1）以点C为圆心，6为半径作圆，则点A在 ，点B在 ．（均填“内”“外”或“上”） （2）当的半径为 时，点O在上． 【答案】 上 外 5 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解决问题的关键是掌握点与圆的位置关系的判断方法． （1）求出长，根据三角形面积求出，根据点和圆的位置关系判断即可； （2）结合直角三角形的性质求出的长度，进而得出的半径；根据点和圆的位置关系得出半径，即可得出答案． 【详解】解：在中， 由勾股定理得： ∴ （1）在上，在外 ； （2）即的半径为时，O点在上； 故答案为：①上；②外；③． 题型01 概念辨析 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．直径是弦 B．弦是直径 C．半圆包括直径 D．弧是半圆 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念进行分析，即可解答． 【详解】解：直径是弦，但弦不一定是直径，半圆不包括直径，弧不一定是半圆， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的基本概念——弦和弧的概念，半圆与弧的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式1】．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 综上所述，四个说法中正确的只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键． 【变式2】．圆有（　　）条对称轴． A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】D 【分析】根据圆的基本特征即可直接得出答案． 【详解】解：圆的对称轴是经过圆心的直线，经过一点的直线有无数条， 所以，圆有无数条对称轴． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的基本特征，掌握圆是轴对称图形是关键． 【变式3】．下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（    ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【详解】圆周上的各点是组成圆的要素，故①正确； 以圆心为端点，另一个端点在圆上的线段是圆的半径，故②错误； 同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故③正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键． 题型02 概念的应用 【典例1】．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长． 【详解】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm， ∴⊙O的半径为4cm． 故选：B. 【点睛】本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键． 【变式1】．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 【变式2】．如图，、、所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【答案】r2＜r1＜r3 【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可. 【详解】解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径 ∴r2＜r1＜r3 故答案为：r2＜r1＜r3 【点睛】本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键. 【变式3】．过圆上一点可以作圆的最长弦（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【详解】圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条. 故选：A. 题型03 求弦的条数 【典例1】．如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 【变式1】．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 【变式2】．如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据弦的定义即可求解． 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是一个圆里最长的弦． 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【点睛】本题考查了弦的定义，理解弦的定义是解题的关键． 题型04 不在同一直线上的三个点确定一个圆 【典例1】．在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【变式1】．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【变式2】．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 【变式3】．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 题型05 确定圆心 【典例1】．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是 【答案】（﹣2，﹣1） 【分析】根据外心的定义作图即可． 【详解】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O， 则点O即是该圆弧所在圆的圆心． ∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）． 【点睛】本题考查了三角形外心，熟练掌握外心的定义，准确求作线段的垂直平分线是解题的关键． 【变式1】．如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为 ． 【答案】（2，0） 【分析】连接AC，作AC的垂直平分线，交坐标轴于D，D即为圆心，根据图形即可得出点的坐标． 【详解】解：如图所示：D（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题主要考查垂径定理、坐标与图形性质，关键是根据题意确定出圆心D的位置． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．    【答案】(5，5) 【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案． 【详解】∵B(0，3)，C(3，0)， ∴在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线， 根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，    ∵A(0，7)，B(0，3)， ∴点E纵坐标为5， ∴由图可得，E(5，5)． 故答案为：(5，5)． 【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键． 题型06 圆的周长、面积 【典例1】．车轮转动一周所行的路程是车轮的（    ）． A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【答案】C 【分析】根据车轮的形状是圆可直接得出结果． 【详解】车轮转动一周所行路程是求车轮的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的认识，能够知道车轮的形状是圆是解决本题的关键． 【变式1】．若一个圆的半径为，那么该圆的面积等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的面积公式解答． 【详解】解：根据题意，得：S=π（r-8）2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是掌握圆的面积公式：S=πR2（R是半径）． 【变式2】．如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式可以得到解答 ． 【详解】解：由题意可得： 外圆周长=，内圆周长=， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握圆周长的计算公式是解题关键． 题型07 点与圆的位置关系 【典例1】．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据的半径为，点P到圆心O的距离为，即可判定点P和的位置关系． 【详解】解：的半径为，点P到圆心O的距离为，， ∴点P在外． 故选：C． 【点睛】本题考查了判断点与圆的位置关系，熟练掌握和运用判断点与圆的位置关系的方法是解决本题的关键． 【变式1】．已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有 ①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 【详解】解：的半径为3，， 点A到圆心的距离大于半径， 点在圆外， 故选：B． 【变式2】．在平面直角坐标系中，O为原点，点M的坐标为，的半径为4，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在内 C．点P在上 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系、勾股定理求两点之间的距离等知识．结合题意，首先求出的长度，然后分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的半径为4， ∴点P在外． 故选：A． 【变式3】．已知的半径为，若，则点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较进行判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，， 由可知，点在的内部， 故选：A． 题型08 根据点与圆的位置关系求半径 【典例1】．一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（   ）   A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm 【答案】D 【详解】圆内的点到圆上的最近距离和最远距离之和为此圆的直径，故半径为cm. 故选D. 【变式1】．两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为，小圆的半径为．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①当点P在圆外时，，②当点P在圆上时，，③当点P在圆内时，，据此即可解答． 【详解】解：∵P在大圆内部， ∴， ∵P在小圆外部， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】．矩形中，，以点为圆心画，使点在内，点在外，则的半径的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质等知识，关键是掌握点在圆内，到圆心的距离小于半径；点在圆外，到圆心的距离大于半径． 先根据勾股定理求出，再根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵点在内，点在外， ∴． 故答案为：． 【变式3】．在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】由点在以为圆心，2为半径的圆内知，据此可得答案． 【详解】解：∵点在以为圆心，2为半径的圆内， ∴， 则， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内． 题型09 点与圆的位置关系的综合应用 【典例1】．如图，在矩形中，，，若以点为圆心，8为半径作，则下列各点在外的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系即可判断得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∴ ， ∴点A在圆上，B在圆外，C在园内，D是圆心， 故选B． 【点睛】本题考查矩形性质及点与圆的位置关系：在圆上，在园内，在圆外． 【变式1】．如图，在中，，，，以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在内，点B在外时，r的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系，先根据勾股定理算出，再结合点与圆的位置关系进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点C为圆心，r为半径作圆，当点A在内，点B在外时， ∴， 即， 故答案为：． 【变式2】．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，理解点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由图可知三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是， 故答案为：． 题型10 作图题 【典例1】．已知点，和线段（如图）．求作，使过点，，且半径为．这样的圆能作几个？ 【答案】作图见解析，这样的圆能作1个或2个 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，解答本题的关键是熟练掌握五种基本作图方法，分，当，三种情况，连接，作的垂直平分线，以点A为圆心线段a为半径画弧交的垂直平分线于点O，再以点O为圆心线段为半径作圆即为所求． 【详解】解：当时，则为的弦，如图所示，为所求： 故这样的圆能作2个； 当时，则为的直径，如图所示，为所求： 故这样的圆能作1个； 当时，点，不能同时在上； 则不能作出这样的； 综上，这样的圆能作1个或2个． 【变式1】．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点C是的边上的一点，求作，使它经过O、C两点，且圆心在的平分线上． 结论： 【答案】见解析 【分析】本题考查基本作图，首先作出的角平分线，再作出的垂直平分线，两线的交点就是圆心，再以为圆心，长为半径画圆即可．掌握垂直平分线及角平分线的做法是本题的解题关键． 【详解】解：如图所示： 【变式2】．在下面的正方形中画一个最大的圆形，请用字母标明圆的圆心、半径，再在所画的圆形中画一个最大的正方形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形和圆的中心对称性，正方形对角线交点即为圆心，圆心到正方形边垂线段长即为最大圆半径，顺次连接圆与对角线的四个交点即为圆内最大正方形． 【详解】记正方形为， 连接对角线，交于点O， 分别以A，B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点N， 作射线交于点M，记， 以O为圆心，以r为半径画圆，即为正方形中最大的圆， 顺次连接与对角线的四个交点，即得中最大的正方形，如图． 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（    ） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称 【答案】C 【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【详解】A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意； B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意； D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了圆的认识，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键． 2．下列说法中，正确的个数是（    ） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做圆弧． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆和弦的定义进行判断即可． 【详解】半圆是弧，故①错误，②正确； 弧不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的线段叫做弦，故④错误． ∴正确的有1个． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的认识．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键． 3．已知中，最长的弦长为16cm，则的半径是（    ） A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm 【答案】B 【分析】根据直径是圆中最长的弦即可得到答案． 【详解】解：∵中，最长的弦长为16cm，即直径为16cm， ∴的半径是8cm， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆的弦的定义及理解圆中最长的弦，正确理解直径是圆中最长的弦是解题的关键． 4．下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．面积相等的两个圆是等圆 D．半圆是圆中最长的弧 【答案】D 【分析】利用圆的有关定义和性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意； B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意； C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意； D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大． 5．下列说法，其中正确的有（    ） ①过圆心的线段是直径 ②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形 ③大于半圆的弧叫做劣弧 ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的有关概念进项分析即可． 【详解】解：①过圆心的弦是直径，故该项错误； ②由一条弧和经过这条弧的两个端点的两条半径组成的图形叫做扇形，故该项正确； ③小于半圆的弧叫做劣弧，故该项错误； ④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆，故该项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键． 6．一个圆形茶几面的直径是，它的面积是（ ）（结果保留）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：圆的面积公式为， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆的面积的计算，掌握圆的面积公式的计算方法是解题的关键． 7．在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（    ） A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据在平面内到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆进行求解即可． 【详解】解：∵在平面内与点的距离为1cm的点在以P为圆心，以1cm长为半径的圆上， ∴在平面内与点的距离为1cm的点的个数为无数个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的定义，熟知圆的定义是解题的关键． 8．的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在外，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于半径；点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆上，点到圆心的距离等于半径进行求解即可 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为2，点P在外， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟知点在圆内，点到圆心的距离小于半径；点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆上，点到圆心的距离等于半径是解题的关键． 9．在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识． 点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解． 【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b， ∴圆的直径是，因而半径是， 故选：B． 10．如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． 二、填空题 11．判断： （1）直径是弦，弦是直径( ) （2）半圆是圆弧( ) （3）长度相等的弧是等弧( ) （4）能够重合的弧是等弧( ) （5）圆弧分为优弧和劣弧( ) （6）优弧一定大于劣弧 ( ) （7）半径相等的圆是等圆 ( ) 【答案】 × √ × × × × √ 【分析】根据直径，弧，等弧，优弧，劣弧等圆等概念进行分析. 【详解】（1）直径是弦，弦不一定是是直径，故错误； （2）半圆是圆弧，正确； （3）能完全重合的弧是等弧，故错误； （4）能够完全重合的弧是等弧，故错误； （5）圆弧分为优弧和劣弧和半圆，故错误； （6）同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故错误； （7）半径相等的圆是等圆，正确. 故答案为(1). ×    (2). √    (3). ×    (4). ×    (5). ×    (6). ×    (7). √ 【点睛】本题考核知识点：直径，弧，等弧，优弧，劣弧等圆等概念. 解题关键点：理解直径，弧，等弧，优弧，劣弧等圆等概念. 12．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有 ，以点A为一个端点的优弧有 ． 【答案】 【分析】根据小于半圆的弧为劣弧，大于半圆的弧为优弧即可求解． 【详解】解：点C在圆上，则以点A为一个端点的劣弧有， 以点A为一个端点的优弧有， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，掌握优弧与劣弧的定义是解题的关键． 13．以为半径可以画 个圆；以点为圆心可以画 个圆；以点为圆心，以为半径可以画 个圆． 【答案】 无数 无数 1 【分析】根据圆的概念和性质分析即可． 【详解】以为半径，没有确定圆心，所以可以画无数个圆； 以点为圆心，没有确定半径，所以可以画无数个圆； 以点为圆心，以为半径可以画1个圆． 故答案为：无数，无数，1 【点睛】本题考查了圆的基本概念，掌握圆的基本概念是解题的关键． 14．在中，半径为5，、为上的点，为，则弦长 ． 【答案】5 【分析】由ОA=OB，△OAB为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵OA=OB=5，∠AOB=60°， ∴△OAB为等边三角形， ∴AB=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握同圆或等圆的半径相等是解题的关键． 15．如图，在中，半径有 ，直径有 ，弦有 ，劣弧有 ，优弧有 ． 【答案】 ，，， ， ，，，， ，，，， 【分析】根据圆的基本概念，即可求解． 【详解】解：在中，半径有，，，；直径有；弦有，；劣弧有，，，，；优弧有，，，，； 故答案为：，，，；；，；，，，，；，，，，． 【点睛】本题主要考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的半径、直径、弦、弧的概念是解题的关键． 16．已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 故答案为：可以 17．已知的半径为，若点在内，写出一个长的可能值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：的半径为，点在内， ， 故答案是：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系，比如：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内． 18．如图，在每个小正方形边长为1 的网格图中，经过格点、、，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，确定圆心，作的垂直平分线交于点，连接，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线交于点，连接， ∴， 故答案为：． 19．如图所示，的三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆半径的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，勾股定理，能够根据三角形外心的性质来判断出外心的位置是解答此题的关键． 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B、C的坐标知：圆心M（设的外心为M）必在直线上，由图知：的垂直平分线正好经过，由此可得到，连接，过M作作于点，由勾股定理即可求得M的半径长． 【详解】解：设的外心为， ∵，， ∴在直线上， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由图可知的垂直平分线经过点， ∴， 过点作于点，连接， ∵在中，， ∴由勾股定理得：， ∴外接圆半径的长为， 故答案为：． 20．已知直角三角形的斜边长为，则该三角形的外接圆半径为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的斜边长为， ∴直角三角形的外接圆半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径成为解答本题的关键． 21． ，是半径为3的上两个不同的点，则弦的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直径是圆的最长的弦，即可求解． 【详解】解：∵的半径为3， ∴的直径为6， ∴的最长弦为6， ∵ ，是上两个不同的点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，理解直径是圆的最长的弦是解题的关键． 22．已知矩形中， ，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】连接，，利用勾股定理求出的长，抓住已知以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，就可求出的半径r的取值范围． 【详解】解：连接，， ∵矩形中，，， ∴，，， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：； 故答案为：． 【点睛】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 三、解答题 23．若☉O的半径是12cm，OP=8cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离． 【答案】4cm，20cm 【分析】依据题意画出图形，则到圆上点的最短距离和最长距离即可确定． 【详解】解：如图，∵点P到圆心的距离OP＜r， ∴点P在圆内， 点P到圆上各点的距离中最短距离为：12-8=4(cm)； 最长距离为：12+8=20(cm)． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，正确进行讨论是关键． 24．已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P． （1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？ （2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？ 【答案】（1）点P在外；（2）点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上． 【分析】（1）点和圆的位置关系有：①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可； （2）点和圆的位置关系有①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可． 【详解】解：（1），的直径为2 点的位置只有一种情况在圆外， 即点与的位置关系是点在圆外． （2），的直径为2 点的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内． 即点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上． 【点睛】本题考查了圆的认识的应用，解题的关键是做注意多种情况的考虑，注意：点和圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内． 25．已知，画半径为的圆，使它经过两点．这样的圆能画出多少个？如果半径为呢？ 【答案】半径为4cm的圆能作出2个，半径为3cm的圆能作出1个，不存在同时经过A，B两点，且半径为2cm的圆． 【分析】半径为时，先作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，4cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以4cm为半径作圆即可； 半径为3cm时，先作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以3cm为半径作圆即可； 半径为2cm时，由于点A到AB的垂直平分线的距离为3，所以以2cm为半径，以点A为圆心作弧，此弧与AB的垂直平分线无交点，所以没有满足条件的圆． 【详解】解：半径为4cm时，这样的圆能画2个．如图1： 作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，4cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以4cm为半径作圆， 则⊙O1和⊙O2为所求； 半径为3cm时，这样的圆能画1个．如图2： 作AB的垂直平分线l，交AB于O点，然后以O为圆心，以3cm为半径作圆， 则⊙O为所求； 半径为2cm时，这样的圆不能画． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 26．求证：直径是圆中最长的弦． 【答案】证明见解析 【详解】试题分析： 首先根据题意画出符合要求的图形，改写出“已知”和“求证”，然后利用三角形三边间的关系即可完成证明； 试题解析： 已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的任意一条弦， 求证：ABCD. ， 证明：如图，连接OC、OD， ∵ AB是⊙O的直径，OC、OD是⊙O的半径， ∴OA=OB=OC=OD， ∴AB=OA+OB=OC+OD， 又∵在△OCD中，OC+OD＞CD， ∴AB=OA+OB=OC+OD>CD，即AB＞CD． 当CD经过圆心时，CD是⊙O的直径，此时AB=CD． 综上可得ABCD． 27．已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC＝BD．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据等边对等角可以证得∠A=∠B，然后根据SAS即可证得两个三角形全等． 【详解】证明：∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， ∵在△OAC和△OBD中： ， ∴△OAC≌△OBD（SAS）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，同圆半径相等．正确理解三角形的判定定理是关键． 28．如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，． (1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标； (2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系． 【答案】(1)半径为5，圆心 (2)在圆上 【分析】（1）根据题目所给的“在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆”即可直接得出答案； （2）将原点的坐标代入，即可判断出点与圆的位置关系． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆， 将化成， 表示的圆的半径为5，圆心的坐标为； （2）解：将原点代入， 左边右边， 原点在表示的圆上． 【点睛】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型，读懂题意，根据新定义解决问题是本题的关键． 29．如图，在中，，点为的中点．    （1）以点为圆心，4为半径作，则点分别与有怎样的位置关系？ （2）若以点为圆心作，使三点中至少有一点在内，且至少有一点在外，求的半径的取值范围． 【答案】（1）在圆上，点在圆外，点在圆内  （2） 【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案； （2）利用分界点当A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，以及当至少有一点在⊙C外时，分别求出即可． 【详解】（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M， ， ， ∵以点C为圆心，4为半径作⊙C， ∴AC=4，则A在圆上， ∵， 则M在圆内， BC=5＞4，则B在圆外； （2）以点为圆心作，使三点中至少有一点在内时，； 当至少有一点在外时，， 故的半径的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键． 30．在平面直角坐标系中，的半径为1，点是外一点，给出如下定义：若在上存在点，使得点关于某条过点的直线对称后的点在上，则称点为点关于的“关联对称点”． (1)若点在直线上； ①若点的坐标为，则，，中，是点关于的“关联对称点”的是_____； ②若存在点关于的“关联对称点”，求点的横坐标的取值范围； (2)已知点，动点满足，若点关于的“关联对称点”存在，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解； ②设与交于点，，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据勾股定理得出，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线段成比例得出，同理可得的最小值为，即可求解； （2）依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得的最值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 连线的中点在的内部，的中点的纵坐标为1，则点，关于y=1对称点关于的关联点是， 故答案为：，． ② 如图所示，点在线段和上， 设， 在中，， 解得（舍）， ； 同理，，， 或； （2）解：依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，如图所示， ， 则在半径为1的上以及圆内，关于的关联点， ∴的最大值为， 如图所示，当在线段上时，取最小值， ， 四边形是矩形，则， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $