专题01 二次函数 压轴题（高效培优专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题01 二次函数 压轴题 题型一：存在性问题 题型二：角度问题 题型三：最值、取值范围问题 题型四：动态问题 题型五：定点、定值问题 题型六：新定义题 题型一：存在性问题 1．在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 3．如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 4．在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 题型二：角度问题 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 6．如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 题型三：最值、取值范围问题 7．如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于A，D两点． (1)求该抛物线的表达式及点D的坐标； (2)抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点、是对称轴上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值． 8．已知直线经过定点M，以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右）．    (1)点M的坐标是 ， ， （直接写出结果）； (2)如图1，若直线l与抛物线交于另一点C，且恰好平分，求k的值； (3)如图2，将抛物线沿直线l平移得到抛物线，且抛物线恒经过点A．N是抛物线的顶点（不与M重合），是坐标平面内一点，求N，P两点之间距离的最小值． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，点在第一象限的拋物线上，连接，与轴交于点． AI (1)求拋物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 10．已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 题型四：动态问题 11．如图，在中，已知，点P是边上的一个动点，联结，过点B作，垂足为D． (1)如图1，当经过的重心时，求证：； (2)如图2，若，点P从点A向点B运动（不与点A，B重合），点P的速度是，设点P运动的时间为，的面积为，求出y关于t的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如图3，在第（2）小题的条件下，若是以为腰的等腰三角形，求的面积． 12．如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 13．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． (1)求该抛物线的表达式： (2)点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边的直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 14．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)已知点P是坐标平面内一点，若线段关于点P的对称线段（点，分别是点O，A的对称点）的两个端点恰好都落在该抛物线上，求点P的坐标； (3)若点M为x轴上一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，试探究是否存在点M，使点D恰好落在该抛物线上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 题型五：定点、定值问题 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是抛物线的顶点，连接．    (1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标； (2)设直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧且点在第四象限），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标； (3)如图2，作直线，分别交轴正、负半轴于点、，交抛物线于点、，设点、的纵坐标分别为、，且，求证：直线经过一个定点． 17．已知抛物线．      (1)若抛物线的对称轴为，求该抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，抛物线与x轴交于O，A两点，顶点为B，已知点，连，若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线过两个定点，其中一个定点为第一象限内的点E，另一个定点为x轴上的点F，过点F作直线与抛物线有且只有一个交点（不与x轴垂直），直线与直线交于点M．直线ME交抛物线于另一点P．过点P作线段轴于点Q，求证；线段的长为定值． 题型六：新定义题 18．定义：把抛物线上任意点的横坐标和纵坐标乘以k后变为点，若点都在抛物线上，则称抛物线为抛物线的“k倍抛物线”．例如：抛物线的任意一点，乘以后变为，点都在抛物线上，所以抛物线是抛物线的“倍抛物线”．已知抛物线，根据所给条件完成下列问题： (1)当，时，求的“2倍抛物线”的解析式； (2)如图1，当，且时，与x轴交于点A、B，的“倍抛物线”与x轴交于点C、D，与交于点E、F，是否存在合适的m值，使得四边形是矩形，如果存在求出m的值；如果不存在请说明理由； (3)如图2，当，时，抛物线的顶点记为M，与x轴的正半轴交于点A，抛物线的“k倍抛物线”顶点为N，点P在抛物线上，满足，且．当时，求k的值． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数 压轴题 题型一：存在性问题 题型二：角度问题 题型三：最值、取值范围问题 题型四：动态问题 题型五：定点、定值问题 题型六：新定义题 题型一：存在性问题 1．在平面直角坐标系中点A、B的坐标分别是和． (1)求出直线的解析式． (2)过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q． （i）向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A，求平移的距离和的表达式． （ii）延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段．当和相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)（i）2，；（ii） 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）根据题意可知，抛物线的开口向下，平移的距离为，从而知道顶点的横坐标，将其代入直线，求得点，然后利用待定系数法可求得抛物线的表达式，然后再根据平移，求得抛物线的解析式； （3）设，那么，，求得直线为：，从而知道点坐标以及坐标，然后根据抛物线的性质，可知，那么，从而推出，结合，那么当和相似时，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，代入和， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：（i）过原点的抛物线W的顶点P在线段上，与x轴正半轴交于点Q， 抛物线W开口向下， 设，那么， 向右平移抛物线得到抛物线，若同时过点Q和点A， ， ， ， ， 如图所示： 不妨设抛物线W为，代入原点，得到 ， ， 抛物线W为， 由题意可知，抛物线W向右平移了个距离， 那么抛物线的解析式为：，即； 综上，抛物线W向右平移了2个单位，抛物线的解析式为； （ii）设，那么，， 设直线为：，代入，， 那么有， ，， 直线为：， 当时，， 延长交y轴于点C，将线段绕原点逆时针旋转得到线段． ，， ， 过点作轴于点，如图所示： 点是抛物线的顶点，那么是对称轴， ，， ， ， ， ， ， ， ，，， 当和相似时，， ， 或（舍） ，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上．已知：抛物线关于直线对称，且经过点， (1)求该抛物线的表达式； (2)如果点在抛物线上，且满足， ①试结合函数的图像，求的取值范围； ②过点作轴的平行线交于点，如果点在轴上，且四边形是菱形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) ① ② 【分析】（）根据抛物线的对称性，可确定抛物线和轴的另一个交点为，待定系数法求出函数解析式即可； （）①分析函数在给定区间内的最值，结合二次函数的增减性进行求解即可． ②点在轴上，且四边形是菱形，结合点的坐标可得四边形是正方形，找到等量关系，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为直线， ∴抛物线和轴的另外一个交点为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）①由（）得抛物线的表达式为， 当时， ∵时，，取得最大值， ∴， 解得：， ∵点， 当时，， ∴， 综上可得：； ②如图，如果点在轴上，且四边形是菱形， 由抛物线的表达式， 令，，即点， ∵ ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴点与点纵坐标相等，点与点纵坐标相等， 由点的坐标得，直线的表达式为：。 设点，点， ∵点， ∴ 解得： ∴， ∴点， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题； （1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交于点，进而得出的表达式，根据三角形的面积公式得出面积； （3）先求得直线的解析式，得出，根据已知可得，取点，连接，得出，进而可得，即点在直线上，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得 解得：， ∴抛物线解析式为： （2）由，当时，， ∴， 设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 如图所示，过点作轴交于点， 设，则，点是直线上方拋物线上一动点， ∴， ∴面积为 ∴当时，面积的最大值为， （3）设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵已知直线与轴分别相交于点， ∴， ∴ ∵ ∴ 如图所示，取点，连接，则， 又， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ∴点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴． 4．在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【答案】(1)0 (2)这个不动点是 (3)或 【分析】（1）令，得，得，进而得，代入解析式得得，从而得，再把代入解析式即可得解； （2）由得：，根据函数有唯一的不动点得或．把代入，得，求解即可； （3）分和利用解直角三角形，旋转的性质及二次函数的图像及性质即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ． 代入解析式得得 ∴ 当时 当时，． （2）解：由得： ∵有唯一的不动点 解得：（舍）或． 当时， ∴， 这个不动点是． （3）解：①当时，如图 由旋转可得，， ， ∴ ， ②当时，如图，过作于点， 由旋转得， ∴， ，， ∴ 解得， ． 故二次函数解析式为或， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形及性质，一元二次方程根的判别式，解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握二次函数的图形及性质是解题的关键． 题型二：角度问题 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识． （1）点C的坐标为，得到在中，，得到，点A的坐标为，得到，解得； （2）①点B的坐标为，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点P关于x轴的对称点为，得到在直线上，得到，解方程即可得到答案；②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N，证明，求出直线的解析式为，得到，得到，证明，在中，,设，则则，得到，由得到，则，得到，则点H的坐标是，求出直线的解析式为，与抛物线解析式联立得到求出点M的横坐标，即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 在中，， ∴ ∴点A的坐标为， ∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴； （2）①当时，，解得或， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为 ∴ 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， 则点P关于x轴的对称点为， ∵在直线上， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴， ∴点P的坐标为； ②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N， ∵，， ∴ 设直线的解析式为， 则 解得，     ∴直线的解析式为， ∴， ∵，且点D在抛物线对称轴直线上， ∴， ∵ ∴， 在中，, 设，则则， ∴， ∵， ∴，则 ∴， 则点H的坐标是，即， 设直线的解析式为， 则     解得，     ∴直线的解析式为， 与抛物线解析式联立得到 解得，（不合题意，舍去） 当时， ∴ 6．如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先由对称轴求出的值，再把点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为，当的图象的对称轴右边图象过点时，有，解得：；当的图象的对称轴左边图象过点时，有，解得：，从而可知； ②如图1所示，作，设，新抛物线可设为，故，证明，再利用三线合一性质说明，当时，即时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据，解出的值即可得解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为． （2）解：抛物线表达式为， 故，． ①当点在轴上时，新抛物线的解析式可设为， 当的图象的对称轴右边图象过点时，有， 解得：，（舍去）； 当的图象的对称轴左边图象过点时，有， 解得：，（舍去）． 故的取值范围为； ②如图1所示，作， 设，且点为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线， 则新抛物线可设为，又点横坐标为2， 则，故， ， ， ，从而知为中垂线， ，由三线合一性质可得：， 当时，即时，满足题意． 故， ， 即，故， 故． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． 题型三：最值、取值范围问题 7．如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，直线与抛物线交于A，D两点． (1)求该抛物线的表达式及点D的坐标； (2)抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点、是对称轴上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2)存在，点的横坐标或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，解直角三角形； （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）连接交于点，则，先求两直线的交点，可得，设，过点作轴交于，由，得到方程，求出的值即可； （3）连接，过点作，过点作，与交于点，四边形的周长，当、、三点共线时，四边形的周长有最小值，分别求出，，即可得四边形的周长的最小值为． 【详解】（1）解：将、，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 解得或， ； （2）解：存在点，使，理由如下： 连接交于点， 直线与直线平行， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得， ， ，， ， 设， 过点作轴交于， ， ， 解得或或（舍， 或； 点的横坐标为或； （3）解：连接，过点作，过点作，与交于点， 四边形是平行四边形， ，， 、关于对称轴对称， ， 四边形的周长 ， 当、、三点共线时，四边形的周长有最小值， ，， ， 、， ，， 四边形的周长的最小值为． 8．已知直线经过定点M，以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右）．    (1)点M的坐标是 ， ， （直接写出结果）； (2)如图1，若直线l与抛物线交于另一点C，且恰好平分，求k的值； (3)如图2，将抛物线沿直线l平移得到抛物线，且抛物线恒经过点A．N是抛物线的顶点（不与M重合），是坐标平面内一点，求N，P两点之间距离的最小值． 【答案】(1)；2；3 (2) (3) 【分析】（1）根据直线的解析式的变形列出关于x，y的方程组进而解得即可得出M的坐标，再根据二次函数的顶点式即可解得b，c的值； （2）过点M作x轴的平行线，交的延长线于点D，得出，通过平分， 得出，进而得出，联立，可得或，写出直线的解析式得出，的长度，即可得出k的值； （3）设，可得的解析式，由点在上，得，进而得出，由点P在定直线上运动，过点N作轴，交直线于点Q，作垂直直线于点，得，5，，当 时，有最小值，进而可得N，P两点之间的距离的最小值． 【详解】（1）解：， ， ，解得：， ， 以M为顶点的抛物线与x轴交于A，B两点（A左B右）， ，解得： 故，，； （2）解：过点M作x轴的平行线，交的延长线于点D，则， 平分， ， ． 联立， 解得或， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ，， ， ， ；    （3）解：由题意可设， 的解析式为， 点在上， ，即， ， ， ， ， 点P在定直线上运动（如图）， 过点N作轴，交直线于点Q， 作垂直直线于点，则， 5， ， 当 时，的最小值为， 即N，P两点之间的距离的最小值为．    【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数综合，最短距离等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点和点，点在第一象限的拋物线上，连接，与轴交于点． AI (1)求拋物线表达式； (2)点，点在轴上，点在平面内，若，且四边形是平行四边形． ①求点的坐标； ②设射线与相交于点，交于点，将绕点旋转一周，旋转后的三角形记为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)①，；②的最小值为． 【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式； （2）①由坐标求出解析式，然后根据四边形是平行四边形和得出，再分类讨论求得和的坐标；②求出解析式，交点为，再求出坐标，然后由两点间距离公式求出和长度，因为旋转不改变长度，所以长度不变，当旋转到轴上时，此时最短，所以此时等于，然后带入计算即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线交轴于点和点， ∴将、坐标代入有， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴， 设直线的解析式为 ∵　，， ∴　 解得 ∴直线的解析式为 ∵为与轴交点， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴且，且点在点下方， ∵且在轴上 ∴， ∵， ∴，或， 若为，， ∵，故， 若为，， ∵，此时，矛盾，舍去 综上，； ②最小值为 如图，设的解析式为 ∵抛物线交轴于点， ∴点的坐标为， 将点，、，的坐标代入得 解得 ∴的解析式为 与相交于点 ∴ 解得 所以点的坐标为 设直线的解析式为 将点、的坐标代入直线的解析式得 解得 所以直线的解析式为 与相交于点 ∴ 解得， ∴点的坐标为 ∴ ， ∴， 当旋转到轴上时，此时最短， ∴， ∴． 故的最小值．    【点睛】本题考查了抛物线的综合运用，利用待定系数法求函数的解析式，找出相关点坐标，逐步分析求解是解题的关键． 10．已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为点，如果四边形是平行四边形，求、之间的关系式； (3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且，求此时抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出，，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由题意得：，，根据在上，得出，即； （3）先求出E，F的坐标，再根据，得出，求出m的值，得出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，顶点在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：由抛物线的平移可得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在上， ∴，即； （3）解：设直线的解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，即， 将，代入， 得：，即， ∴，， ∵， ∴， ∴解得：或（舍）， ∵直线：与的交点为，， ∴． 题型四：动态问题 11．如图，在中，已知，点P是边上的一个动点，联结，过点B作，垂足为D． (1)如图1，当经过的重心时，求证：； (2)如图2，若，点P从点A向点B运动（不与点A，B重合），点P的速度是，设点P运动的时间为，的面积为，求出y关于t的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如图3，在第（2）小题的条件下，若是以为腰的等腰三角形，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)为或 【分析】（1）根据重心定义可得到是中线，P是的中点，再根据等腰三角形的判定与性质得到，结合已知即可得出结论； （2）过点C作，垂足为点E，根据相似三角形的性质和勾股定理得出的长，再表示出，利用相似三角形性质求和勾股定理得出，利用表示出即可得出结果； （3）分情况①若，则，即；②若，则，即，求出结果即可． 【详解】（1）证明：经过的重心， 是中线，P是的中点， ， ， ， 又， ； （2）如图，过点C作，垂足为点E, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）①若，则，即， 解得，（舍），， 将入，得， ②若，则，即， 解得，， 将入，得， 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的几何应用，二次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的求解，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 12．如图，抛物线与x轴交于、，，在x轴负半轴，与y轴交于点，顶点为D． (1)用关于a的式子表示b； (2)联结、，交y轴于点E，若，求B坐标； (3)平移抛物线使新抛物线的顶点在直线上，B的对应点在y轴上，C的对应点为，交直线于H，若为直角三角形，求平移后新抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）将将，，代入，即可求解； （2）过顶点作轴，交轴于，可知点与点关于对称，则，进而可得，再证，则为其相似比，即可求得，进而可求得答案； （3）利用待定系数法求得直线的解析式为，结合题意可知抛物线是沿射线方向平移，联结，，由平移可知，可知当为直角三角形时，，，进而证明，求得，即点的坐标为，由点在上，可知原抛物线向右平移9个单位长度，利用待定系数法求得原抛物线的解析式为，得，则点平移后的对应点的横坐标为5，此时纵坐标为，即，即可求得新抛物线的解析式． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得，即， ∴； （2）过顶点作轴，交轴于， ∴点与点关于对称，则， ∴， 又∵， ∴，即：， ∵轴， ∴，则为其相似比， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， 即点的坐标为； （3）设直线的解析式为， 代入，，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵平移后的对应点在轴上， ∴抛物线是沿射线方向平移， 联结，，由平移可知， ∴， 又∵， ∴当为直角三角形时，， 即， ∴，即， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即点的坐标为， ∵点在上， ∴原抛物线向右平移9个单位长度， 将，，代入， 得：，解得， ∴原抛物线的解析式为， ∴， 则点平移后的对应点的横坐标为5， 此时纵坐标为，即， ∴平移后新抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质、相似三角形的判定及性质，抛物线的平移等知识点，本题综合比较强，需要学生放开思维，灵活运用学过的知识点． 13．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． (1)求该抛物线的表达式： (2)点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边的直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线经过点，，，再建立方程组解题即可； （2）①作轴，垂足为．由题意可得，证明  ，再建立方程求解即可；②作轴于，轴于，证明，可得，设，再进一步解答即可. 【详解】（1）解： 抛物线经过点，，， ，解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ，   ， ，   ， ， 即， 解得，经检验符合题意； ②作轴于，轴于， ， ，   ， 又 ， ， ， 设， 由，   ， ， ， 整理得：， ， . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键. 14．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)已知点P是坐标平面内一点，若线段关于点P的对称线段（点，分别是点O，A的对称点）的两个端点恰好都落在该抛物线上，求点P的坐标； (3)若点M为x轴上一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，试探究是否存在点M，使点D恰好落在该抛物线上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点M，使点D恰好落在该抛物线上，点D的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由旋转的性质可设设点的横坐标为m，则点的横坐标为，它们的纵坐标相等，再将，代入解析式求得m的值，再过点P作轴于点Q，过点作轴于点G，则为的中位线，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当点D在x轴下方时，或点D作于点F，②当点D在x轴上方时，设，过点D作于点F，通过构造直角三角形全等，利用全等三角形的性质求得点D坐标，再将点D坐标代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：根据中心对称的性质可知，轴，，点在点的右边，设点的横坐标为m，则点的横坐标为，它们的纵坐标相等， ∵，在该抛物线上， ∴， 解得， ∴点， 如图1，过点P作轴于点Q，过点作轴于点G，则为的中位线， ∴，， ∴． （3）解：存在点M，使点D恰好落在该抛物线上，理由如下： ①如图2，当点D在x轴下方时，过点D作于点F， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 如图3，当点D在x轴上方时，设，过点D作于点F， 同理可证， ∴，， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴．    综上所述，存在点M，使点D恰好落在该抛物线上，点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键． 15．如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)的对称点坐标为 【分析】（1）把代入即可得到结论； （2）由求得，根据等腰直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论； （3）分为①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可． 【详解】（1）解：把代入得， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴， ∴，或， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 或， 解得：（不合题意，舍去）， 或， ∴或； （3）解：①当点在直线的上方时，如图1，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ； ②当点在直线的下方时，如图2，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ∴， 综上所述，的对称点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型五：定点、定值问题 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是抛物线的顶点，连接．    (1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标； (2)设直线与抛物线相交于、两点（点在点的左侧且点在第四象限），当直线与直线相交所成的一个角为时，求点的坐标； (3)如图2，作直线，分别交轴正、负半轴于点、，交抛物线于点、，设点、的纵坐标分别为、，且，求证：直线经过一个定点． 【答案】(1)，顶点 (2)点坐标为 (3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求得函数解析式，再利用抛物线的顶点坐标公式即可求解； （2）先求得直线过定点，再构造一线三等角，证明，求得，再求得，根据平行线的性质求得，联立即可求解； （3）设：，：，表示出M、N的坐标，由，得到，联立，根据根与系数的关系，求得，，设：，联立，根据根与系数的关系，求得，，据此求得，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ， ， ∴抛物线解析式：， 对称轴， 时， ∴顶点， 综上所述，抛物线解析式，顶点； （2）解：∵， ∴当，即时，， ∴过定点， 过作，，连， 过作交抛物线于，， 过作轴，过作于，过作于，      ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴， 联立，解得，， 又， ∴，， ∴点坐标为； （3）解：设：，：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 联立：， ∴， ∴， ∴， 同理：， 设：， 联立：， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∴定点． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 17．已知抛物线．      (1)若抛物线的对称轴为，求该抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，抛物线与x轴交于O，A两点，顶点为B，已知点，连，若点P为抛物线上一点，且满足，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线过两个定点，其中一个定点为第一象限内的点E，另一个定点为x轴上的点F，过点F作直线与抛物线有且只有一个交点（不与x轴垂直），直线与直线交于点M．直线ME交抛物线于另一点P．过点P作线段轴于点Q，求证；线段的长为定值． 【答案】(1)该抛物线的解析式为 (2)，； (3)见解析 【分析】（1）用待定系数法求函数关系式即可解题； （2）先求出直线的解析式，延长交轴于点K，过C作于H，，，得到，即，代入解题即可； （3）求出定点坐标，，求出直线、的解析式，然后求出，代入解题即可． 【详解】（1）∵若抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为. （2）∵抛物线的解式为，    令y=0，则，解得：或， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴， 令，则， 延长交y轴于点K，过C作于H，则，，， ∴， ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或， ∴，； （3）∵ ∵过定点， ∴， 解得：，， ∴当时，，当当时，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴， ∵直线与抛物线有且只有一个交点可求 ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 令，得， ∴， 又∵， 同理可得直线的解析式为： 由， 解得，， 解得：， ∴为定值. 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解直角三角形，待定系数法，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 题型六：新定义题 18．定义：把抛物线上任意点的横坐标和纵坐标乘以k后变为点，若点都在抛物线上，则称抛物线为抛物线的“k倍抛物线”．例如：抛物线的任意一点，乘以后变为，点都在抛物线上，所以抛物线是抛物线的“倍抛物线”．已知抛物线，根据所给条件完成下列问题： (1)当，时，求的“2倍抛物线”的解析式； (2)如图1，当，且时，与x轴交于点A、B，的“倍抛物线”与x轴交于点C、D，与交于点E、F，是否存在合适的m值，使得四边形是矩形，如果存在求出m的值；如果不存在请说明理由； (3)如图2，当，时，抛物线的顶点记为M，与x轴的正半轴交于点A，抛物线的“k倍抛物线”顶点为N，点P在抛物线上，满足，且．当时，求k的值． 【答案】(1)； (2)存在，m的值； (3) 【分析】（1）找出三个特殊点对应的倍点的坐标，设的解析式为：，待定系数法求出函数解析式即可； （2）同（1）法求出的解析式，再根据矩形的性质，利用勾股定理进行求解即可； （3）如图1中，当时，与（1）同理可得抛物线的解析式为及顶点C的坐标，根据知，继而可得是边长为2的正三角形，四边形是矩形，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线解析式可求得k的值；如图2中，当时，作关于y轴对称的，，同理可得四边形是矩形，先求出抛物线解析式，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线解析式可求得k的值，即可． 【详解】（1）解：当，时，抛物线， 令，则， 令，则， 令，则， 则， ∴的“2倍抛物线”的对应的点为：， 设的解析式为：， 把代入得： ， 解得：， ∴的解析式为： （2）解：存在，理由如下： ∵， ∵， 令，得， 解得：， 令，解得：， ∴， ∴中，，与的对应点为：，， 设的解析式为：， 将，，代入得： ， 解得：， ∴的解析式为：， 联立得： ， ∴， 解得：， 在中， 令，解得， ∴， 令，解得， ∴， 令，则， 解得：， ∴， ∵四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去） ∴的值为． （3）当，时，， ∴， 当时，，当时，， ∴， ∴过点，，， ∴抛物线经过原点O，，三点， ∵， ∴或 如图1中，当时， ∵抛物线经过原点O，，三点， ∴抛物线的解析式为， ∴， ∴O、、都在直线上， 如图，过点P作轴于D，过点A作于E． ∵， ∴． ∵，，， ∴是边长为2的正三角形，四边形是矩形， ∴．， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴ ∴P， ∴， 解得：；经检验是原方程的解； 如图2中，当时， ∵抛物线经过原点O，，三点， ∴抛物线的解析式为， ∴ ∴O、M、都在直线上， 作关于y轴对称的，， 同法可得：点P坐标， ∴， 解得．经检验是原方程的解； 综上：． 【点睛】本题考查二次函数与几个的综合应用．涉及二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式，两点的距离公式，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质等知识．综合性强，难度大，属于中考压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）； (3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，勾股定理逆定理求出，根据，得到为的中点，再根据菱形的性质，求出点坐标即可； （3）求出直线的解析式，分别求出两条直线与对称轴的交点坐标，结合凹四边形的定义，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， 当时，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∵， ∴， 连接，则：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， ∵是菱形， ∴， 把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴对称轴与轴的交点坐标为， ∵，，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴，当时，， ∴直线与对称轴的交点坐标为， 同法可得：直线的解析式为：，直线与对称轴的交点坐标为， ∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形， ∴当点在之间，满足题意， ∴．    【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $