精品解析：陕西省商洛市镇安中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025~2026学年度第一学期阶段性联考（一） 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 150° 2. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线经过第二、三、四象限，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 6. 以为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线，圆，为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 的最大值为5 C. 的最大值为 D. 圆心到直线的距离小于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，则实数的值为____________. 13. 若方程表示圆，则实数的取值范围为_______． 14. 两圆与的公共弦长等于___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，直线：，且. （1）求实数的值； （2）求、之间的距离. 16. 已知直线与直线的交点为. （1）若直线经过点，且斜率为2，求直线的方程. （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 17. 已知圆，圆. （1）当时，圆与圆有什么位置关系？ （2）是否存在实数，使得圆与圆内含？ 18. 已知点、、，圆经过、、三点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于、两点，求弦长度的最小值. 19. 在平面直角坐标系中，圆C的半径为1，其圆心在射线上，且. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线过点，且与圆C相切，求直线l的方程； （3）点Q在直线上，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为，求四边形的面积最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期阶段性联考（一） 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线方程先求出直线的斜率，再根据斜率得出倾斜角. 【详解】由题意可知直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A 2. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的标准方程判断. 【详解】由题意圆的标准方程是， 故选：B. 3. 若直线经过第二、三、四象限，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，化简直线为，列出不等式组，即可求解. 【详解】由直线，可得， 要使得直线经过第二、三、四象限，则满足，解得. 故选：A. 4. 已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的斜率，结合图形可得结论. 【详解】由题意，，， 由图可知， 故选：D. 5. 直线与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 6. 以为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 7. 已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的位置关系，即可得出圆的公切线的条数． 【详解】因为圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则两圆的圆心的距离为，又， 则两圆的圆心的距离等于两圆的半径之和，所以两圆外切， 所以有3条公切线． 故选：C. 8. 若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合圆上到直线距离为的点有且仅有个这一条件，确定的取值范围. 【详解】圆心到直线的距离为：， 根据题意，圆上到直线距离为的点有且仅有个，需满足：， 因此， 的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 10. 已知点，到直线的距离相等，且过点，则的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先利用几何意义得到直线与平行或经过的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程. 【详解】由已知直线与平行或经过的中点． 当直线与AB平行时，由，可得直线的斜率为：， 所以由点斜式直线的方程为：，整理得； 由，可知其中点坐标为， 当直线经过的中点和点时， 由两点式可得直线方程：，整理得直线方程为． 故选：BD． 11. 已知直线，圆，为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 的最大值为5 C. 的最大值为 D. 圆心到直线的距离小于4 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可得，即可求出定点，可对A判断求解；由题可将圆化成标准式并求出圆心及半径，由可转化为原点到圆上一点距离值的平方，即可求解对B判断；作出相应图象，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，即可对C判断；求出圆心到直线的距离，分情况讨论、时的取值情况即可对D判断. 【详解】A：由题可得，即，解得，所以直线恒过定点，故A正确； B：由题可得圆：，即圆心，半径， 因为圆上任意一点，则， 则等价于原点到圆上一点距离值的平方， 即，则的最大值为，故B错误； C：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，，，且，故C正确； D：圆心到直线的距离，当时，； 当时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，则实数的值为____________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由方向向量确定直线斜率，即可求解. 【详解】由直线方向向量为， 可得斜率， 即， 故答案为： 13. 若方程表示圆，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】方程表示圆，需要 计算得到答案. 【详解】方程表示圆 则 【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题. 14. 两圆与的公共弦长等于___________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆的方程求公共弦的方程，得到圆的圆心在公共弦上即可求解. 【详解】由题意，两圆的标准方程为，， 两圆方程相减可得公共弦方程为：， 因为圆心为，半径为， 该圆的圆心在公共弦上，所以公共弦长为该圆的直径. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，直线：，且. （1）求实数的值； （2）求、之间的距离. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，由求解； （2）利用两直线间的距离公式求解. 【小问1详解】 解：因为直线：，直线：平行， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知：直线：，直线：， 所以、之间的距离为. 16. 已知直线与直线的交点为. （1）若直线经过点，且斜率为2，求直线的方程. （2）求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程组求得交点坐标，再由点斜式得直线方程，然后整理成斜截式； （2）根据截距是否为0分类讨论可得. 【小问1详解】 联立，解得， 点的坐标为 直线经过点，且斜率为2， 直线的方程为，即. 【小问2详解】 设所求直线为， ①当直线在两坐标轴上的截距不为0时， 设直线方程为，由，解得， 直线的方程为，化简为； ②当直线在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，由，解得， 直线的方程为，化简为， 综上，所求的直线方程为或. 17. 已知圆，圆. （1）当时，圆与圆有什么位置关系？ （2）是否存在实数，使得圆与圆内含？ 【答案】（1）相离 （2）不存在 【解析】 【分析】（1）将代入圆，求出圆、圆的圆心和半径，求出两圆的圆心距，判断圆心距与两个半径的和或差的绝对值的大小关系得解； （2）求出圆、圆的圆心和半径，若圆与圆内含，得到两圆的圆心距与两个半径差的绝对值的不等式，计算得到无解，从而得到结论. 【小问1详解】 当时，圆，即， 圆心，半径， 又圆，圆心，半径， 两圆的圆心距，， ，当时，圆与圆相离. 【小问2详解】 圆，化为， 则圆心，半径， 若圆与圆内含，则，即， 可得，显然无解， 不存在实数，使得圆与圆内含. 18. 已知点、、，圆经过、、三点. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于、两点，求弦长度的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，代入已知三点坐标求解，然后化为标准方程； （2）确定点在圆内，由圆的性质得时，弦长最小，然后结合勾股定理求得结论. 【小问1详解】 设圆， 圆过、、三点， 解得 圆的一般方程为，标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）可得，圆心，半径， 点到圆心的距离为， 点在圆内， 设圆心到直线的距离为，则， 结合图形，可知当时，，， 即弦长度的最小值为. 19. 在平面直角坐标系中，圆C的半径为1，其圆心在射线上，且. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线过点，且与圆C相切，求直线l的方程； （3）点Q在直线上，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为，求四边形的面积最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意求出，再根据圆的标准方程即可求解； （2）讨论直线是否存在，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解； （3）由图可知，当取最小值时四边形的面积最小，为圆心到直线的距离，设四边形的面积为，可得，把代入即可求解. 【小问1详解】 设， 因为， 解得，所以， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 若直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为，此时满足直线与圆相切； 若直线斜率存在，设直线斜率为， 则直线方程为，即， 因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离， 即，平方得， 解得，此时直线方程为，即， 所以直线l的方程为或. 【小问3详解】 由图可知，当取最小值时四边形的面积最小， ， 设四边形的面积为， 则 ， 所以四边形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $