精品解析：安徽省县中联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题（A卷）

2025~2026学年度第一学期高二10月联考 数学（A卷） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册（约20%）、选择性必修第一册第一章~第二章第2节（约80%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 3. 在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 4. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 5. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高二10月联考 数学（A卷） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册（约20%）、选择性必修第一册第一章~第二章第2节（约80%）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法、虚部的概念即可求解. 【详解】由题意可得，故复数的虚部为. 故选：D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂直于轴即可得解. 【详解】直线垂直于轴，故所求倾斜角是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 3. 在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量运算求解判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据异面直线所成角的向量求法求解判断C，根据向量法求得点到平面的距离，代入柱体体积公式求解判断D. 【详解】由题意知， 若，则，故A正确； 由题意知，若，则， 可得，所以， 即，所以，，，四点共面，故B正确； 因为，，， 且，所以，又， 所以， 所以， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为，故C错误； 记点在平面内的投影为，设， 所以， 又，， 所以， ， 解得，，所以，所以，即四棱柱的高为， 所以四棱柱的体积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 4. 如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行； （2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离； （3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 设平面的一个法向量为，又， ，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知. 设平面的一个法向量为，所以 令，解得，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 又 所以， 即二面角的正弦值为. 5. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直； （2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值； （3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 在中，，，所以， 所以在四棱锥中，，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面. 又平面平面，，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，，，所以. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以，令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，， ，， 又，所以，解得， 则，则， 又，所以， 整理得，且，，得. 易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上单调递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $