精品解析：浙江省嘉兴市元济高级中学2025-2026学年高一上学期10月学程考试数学试题

2025/2026学年度元济高级中学10月学程考 高一（数学）试卷5-10班 命卷人：（谈玉琴） 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 不属于M，Q，P中的任意一个 5. 如图所示，阴影部分用M、P表示：（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. B. 与 C. 与 D. 7. 关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，，则（ ） A. 的子集有个 B. C. D. 中的元素个数为 10. 下列命题正确的有（ ）． A. 若命题，，则， B. 不等式的解集为 C. 是的充分不必要条件 D. ， 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合,则的值为____________． 13. 函数的值域为___________． 14. 已知二次函数． 甲同学：的解集为或； 乙同学：的解集为或； 丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧． 在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求和； （2）若集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 17. （1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 18. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 19. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026学年度元济高级中学10月学程考 高一（数学）试卷5-10班 命卷人：（谈玉琴） 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】由题意，所以. 故选：C. 2. 已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A. 32 B. 31 C. 16 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，从而利用公式可求出其真子集的个数. 【详解】解：由题意得， 其真子集有个. 故选：D. 3. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质及举反例即可判断. 【详解】对A选项，当时不等式不成立,故A选项错误； B选项，满足不等式的同向可加性，故B选项正确； C选项，当，则，故C选项错误； D选项，当时，，故D选项错误. 故选：B 4. 已知集合，若，则（ ） A. B. C. D. 不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 5. 如图所示，阴影部分用M、P表示：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图知，阴影部分是两集合并集的补集，将此关系用符号表示出来，对照四个选项得出正确选项. 【详解】由题意如图，阴影部分是的补集，其对应的集合为, 由集合的运算性质可得 故选：C 【点睛】本题考查韦恩图在集合基本运算中的应用以及集合的运算性质，属于基础题. 6. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. B. 与 C. 与 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断定义域，再判断对应法则即可. 【详解】A选项，定义域为，定义域为，故不是同一函数； B选项，定义域为，定义域为，故不是同一函数； C选项，定义域为，定义域为，故不是同一函数； D选项，与定义域都是，且对应法则相同，故是同一函数； 故选：D. 7. 关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设方程对应的二次函数为，根据判别式，对称轴，列出不等式组，求解即可． 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件对于一切实数不等式恒成立和使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得，将化成，再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为不等式对于一切实数恒成立， 所以， 又因为，使得成立， 所以，所以， 即， 所以， 当且仅当时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，集合，，则（ ） A. 的子集有个 B. C. D. 中的元素个数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件求出集合，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 因为中的元素个数为，所以的子集有个，故A正确； 由，，得，所以，故B不正确； 由，，所以，所以， 故C正确； 由，得中的元素个数为，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的有（ ）． A. 若命题，，则， B. 不等式的解集为 C. 是的充分不必要条件 D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】 对A，由含有一个量词命题的否定即可判断；对B，结合二次函数的图象即可判断；对C，先求出的解集，再由充分条件，必要条件的定义即可判断；对D，由特殊值即可判断. 【详解】解：对A，若命题，，则，，故A正确； 对B，， 令， 则， 又的图象开口向上， 不等式的解集为；故B正确； 对C，由， 解得：或， 设，， 则，故是的充分不必要条件，故C正确； 对D，当时，，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由得到，利用基本不等式可判断选项A正确，选项B错误；利用可得选项C正确；根据，通过分离参数结合基本不等式可得选项D正确. 【详解】由得，， 由得，，整理得， 解得或（舍去），当且仅当时等号成立， 故的最小值为，选项A正确. 由得，，即， 解得（舍去），当且仅当时等号成立， 故的最小值为，选项B错误. 由得，，所以，解得，选项C正确. ， 当且仅当，即时等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决选项D的关键是根据把代数式等价变形为，利用基本不等式可得结果. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合,则的值为____________． 【答案】0或3 【解析】 【分析】由集合，得或，由此能求出的值． 【详解】解：∵集合， ∴或， 解得或或， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，不成立． 综上，的值为0或3． 故答案为：0或3 【点睛】本题考查实数值的求法，考查子集等基础知识，注意集合元素的互异性，是基础题． 13. 函数的值域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用不等式的性质求出值域. 【详解】函数，当时，，则， 因此，所以函数的值域为. 故答案为： 14. 已知二次函数． 甲同学：的解集为或； 乙同学：的解集为或； 丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧． 在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集及二次函数的性质，列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定答案． 【详解】由题意可知， 若的解集为或，则 解得； 若的解集为或，则解得； 二次函数， 若函数图象的对称轴在轴右侧， 则对称轴，得. 又在这三个同学的论述中，只有一个假命题”意味着有两个真命题. 根据已求出的 a 的取值范围，甲与乙的论述（ 0 < a ≤ 1 与 a ≤ − 1 ）不能同时为真，乙与丙的论述（ a ≤ − 1 与 a > 0 ）不能同时为真. 因此，只能是甲与丙的论述为真，乙的论述为假，故． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）若，求和； （2）若集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用补集、并集的定义求解. （2）利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求出范围. 【小问1详解】 当时，，而， 所以或，. 【小问2详解】 由集合，是的充分不必要条件，得非空集合是的真子集， 因此或， 解得或，则， 所以实数的取值范围是. 16. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【小问1详解】 由，代入可得，解得. 【小问2详解】 由解得或4，即集合， 因为，所以， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，无解； 当时，，解得. 综上，实数a的取值范围为或. 17. （1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再结合抽象函数定义域求出的定义域. （2）配方，借助二次函数性质求出值域. （3）利用换元法求出解析式. 【详解】（1）函数中，，解得， 函数的定义域为，则， 函数中，，解得， 所以函数的定义域. （2），当且仅当时取等号， 所以的值域是. （3）令，则， 由，得， 所以的解析式是. 18. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2） （3） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分当和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解； （2）当时，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解； （3）根据题意，不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由关于的方程， 当时，方程即为，解得，满足题意； 当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足， 即，解得， 综上可得，实数的值为或. 【小问2详解】 解：当时，不等式为，即， 由时，恒成立，即为时，恒成立， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由不等式，可化为， 因为，可得，即为， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得： 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ （2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解； （2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 由题意得：， 即，又， 所以．即最多调整名员工从事第三产业． 【小问2详解】 从事第三产业的员工创造的年总利润为万元， 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 则， 所以， 所以， 即恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立． 所以，又，所以， 即的取值范围为． 【点睛】思路点睛： 本题的关键在于如何正确设置利润函数，并通过不等式条件求解.小问1通过构造利润函数并利用不等式进行求解，小问2则结合条件和之间的关系，使用不等式求得的取值范围.需要注意的是，题目中的平均利润受员工数和比例的影响，需要在不等式求解时格外小心. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $