精品解析：湖南省长沙市南雅中学2025-2026学年高二上学期10月限时训练数学试题

2024级高二年级限时训练 数学 时长：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先计算复数，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】由，复数对应的点为位于第二象限， 故选：B. 2. 已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（ ） A. 5π B. 4π C. 3π D. 2π 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理得出底面半径，进而由圆的面积公式以及圆锥的侧面积公式得出圆锥的全面积. 【详解】因为圆锥的母线长为2，高为， 所以该圆锥的底面半径为， 则圆锥的全面积为. 故选：C. 3. 为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（       ） A. 5人 B. 6人 C. 7人 D. 8人 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质直接求解. 【详解】依题意得： 某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人， 欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队， 则应抽取高三的人数为： . 故选：C. 4. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 5. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC可举出反例；D选项，先得到线面平行，进而得到面面平行. 【详解】A选项，若，，则或，A错误； B选项，若，，则或相交，B错误； C选项，若，，则或或与相交，C错误； D选项，若，，在内分别存在相交直线和相交直线， 使得，，且， 因为，所以，同理可得， 因为为相交直线，故，D正确. 故选：D 6. 已知圆:及点，．若在圆上有且仅有一个点，使得，则实数的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 0或3 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点P所在的圆，再由题得两圆相切，即得解. 【详解】由题得圆, 设，由可得点在圆上， 由题可知与圆相切， 故或， 即或． 故选：D 【点睛】本题主要考查动点轨迹方程的求法和两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7. 设，为正三角形中边上的两个三等分点，且，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由题意画出图形，把分别用表示，展开后得答案． 详解：如图， ，＜＞=60°， ∵D，E是边BC的两个三等分点， ∴== ==． 故选C． 点睛：平面向量数量积的类型及求法 (1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义. (2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 8. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，根据椭圆的标准方程，写出顶点与焦点坐标，由垂直，求得点的坐标，写出直线，进而求出的坐标，根据中点坐标公式，结合斜率公式，可得答案. 【详解】由，则，由，则， 将代入方程，则，，不妨设， 直线的斜率，则直线方程为， 令，则，即，故的中点为， 由直线过的中点，则，即， ，，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆不可能相切 C. 直线被圆截得的弦长的最小值为6 D. 圆上一点到点的最大距离为8 【答案】BD 【解析】 【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A；判断直线过的定点在圆内判断B；当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断C；根据圆上一点到点的最大距离为可判断D. 【详解】对于A：可变形为， 由，得，所以直线过定点，故A不正确； 对于B：圆的标准方程为，半径为3， 由，所以点在圆的内部，所以与相交，不会相切，故B正确； 对于C：当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小. 此时圆心到直线的距离， 所以弦长的弦长最小值为，故C不正确； 对于D：圆上一点到点的最大距离为，故D正确. 故选：BD. 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，点在直线上，若直线平行于直线，则点坐标为______. 【答案】. 【解析】 【分析】首先求出过点A与直线平行的直线方程，两直线的交点坐标即为点B； 【详解】解：因为直线平行于直线， 所以设直线方程为，又点在直线上， 所以，解得，所以直线方程为 联立两直线方程解得故点坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查两直线的交点坐标及与已知直线平行的直线方程，属于基础题. 13. 已知事件与相互独立，，，则______． 【答案】0.88 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式求出，从而利用求出答案. 【详解】因为事件与相互独立， 所以， 所以． 故答案为：0.88 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，如图，为边上一点，，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角三角函数的基本关系，即可求解； （2）解法1：根据平面图形的几何关系，可得，在中求得，根据三角形面积公式，分别求得和，加和即可； 解法2：根据平面图形的几何关系得，进而求，结合正弦定理得，，再结合三角形面积公式，代入化简，即可求解. 【小问1详解】 在中，因为，由正弦定理得， 因为，所以，所以，同时平方得， 所以，因为，所以． 【小问2详解】 解法1： 设，易知，， 所以 在中，由余弦定理得，， 又，，， 所以，解得， 又，得， 所以， 在中，，，，所以， 所以， 所以. 解法2： 因为，所以， 因为，所以，即， 所以，因为为锐角，所以， 又，，根据正弦定理得， 所以，， 所以 . 16. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值； （2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值； （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可 【详解】（1）由，解得. （2）这组数据的平均数为. 中位数设为，则，解得. （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为， 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件， 从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，， 所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个， 所以 . 17. 已知圆． （1）已知定点，圆上任意一点，求线段的中点的轨迹方程； （2）直线与圆交于不同的两点、，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，再利用坐标代换法求出轨迹方程. （2）取的中点，利用圆的性质及点到直线距离公式列式求出范围. 【小问1详解】 设点，由，为线段的中点，得点， 而点为圆上任意一点，则，化简得， 所以线段的中点的轨迹方程为. 【小问2详解】 取的中点，由，得，则， 又，，因此， 解得，由直线与圆相交，得，因此， 实数的取值范围是. 18. 如图，在四棱锥中， 为矩形，且，，. （1）求证： 平面； （2）若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且. ①求点 到平面的距离； ②求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）在中，，，， 所以，解得：， 所以，所以， 又，为平面内两条相交直线， 所以 平面； （2）； 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，进而得到即可求证； （2）建系，通过点到面的距离公式及面面角的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）由（1）知， 平面，， 所以平面，又 在平面 内，所以平面平面， 在平面内，所以， 在三角形中，，，， 所以，又， 所以， 又， 又， 所以，又， 所以， 取 的中点 ， ，可知：， 因为平面平面，交线为 ， 又在平面内， 所以平面 ，如图建立空间直角坐标系 易得：, 所以， 设平面的法向量为， 则， 所以， 令 ，得，即， 又， 所以求点 到平面的距离， ②， 设平面的法向量， 则，所以， 令，则，可得：， 设平面与平面所成夹角为 ， 所以， 所以， 即平面与平面所成夹角的正弦值为. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与交于，两点，的周长为. （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程； （3）若与交于，两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求得，即可求解； （2）由题意设，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出，结合的面积建立方程，计算即可求解； （3）由（2）可得，进而求得，则 ，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题意知，所以， 的周长为，所以， 所以，故的方程为. 【小问2详解】 若的斜率为，则共线，与条件矛盾， 所以的斜率不为0，设，，， 联立，得， 所以，. 所以， 由，解得， 所以的方程为或. 【小问3详解】 由（2）可知， 因为的斜率是的斜率的2倍，所以， 同理可得. 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二年级限时训练 数学 时长：120分钟 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（ ） A. 5π B. 4π C. 3π D. 2π 3. 为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（       ） A. 5人 B. 6人 C. 7人 D. 8人 4. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 5. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知圆:及点，．若在圆上有且仅有一个点，使得，则实数的值为（ ） A. 0 B. 3 C. 0或3 D. 或3 7. 设，为正三角形中边上的两个三等分点，且，则 A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．直线与轴交于点，若直线经过的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆不可能相切 C. 直线被圆截得的弦长的最小值为6 D. 圆上一点到点的最大距离为8 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，点在直线上，若直线平行于直线，则点坐标为______. 13. 已知事件与相互独立，，，则______． 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，如图，为边上一点，，，求的面积． 16. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 17. 已知圆． （1）已知定点，圆上任意一点，求线段的中点的轨迹方程； （2）直线与圆交于不同的两点、，且，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中， 为矩形，且，，. （1）求证： 平面； （2）若（N在S的左侧），设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且. ①求点 到平面的距离； ②求平面与平面所成夹角的正弦值. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与交于，两点，的周长为. （1）求的方程； （2）若的面积为，求的方程； （3）若与交于，两点，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $