精品解析：江苏省南京市七校2025-2026学年高二上学期10月联合调研试题数学试卷

南京市2025-2026学年第一学期10月七校联合调研试题 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. － D. － 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法法则计算求出即可得解. 【详解】由题可得，则虚部为，故D正确. 故选：D. 2. 已知向量，，若，则=（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，根据可得，结合数量积的坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，， 则，而， 故，解得， 故选：B 3. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出5张抽奖券中，抽取2张的所有可能情况，再选出满足题意的可能情况，根据古典概型公式，即可得答案. 【详解】2张有奖品的抽奖券记为A、B，3张没有奖品的抽奖券记为a，b，c， 则5张抽奖券中，抽取2张有：，共10种可能， 小李不能获得奖品的情况：，共有3种可能， 所以小李不能获得奖品的概率. 故选：B 4. 若，为第二象限角，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用两角差的余弦公式化简已知条件，可得，从而可得，再结合正切两角和公式即可求解. 【详解】由， 则，又为第二象限角，所以，所以， 所以，故A正确． 故选：A． 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面半径和高，利用圆锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆， 所以，则， 又圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r， 则 ，， 则圆锥的高为， 故该圆锥的体积为， 故选：C 6. 已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程易得直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 7. 已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得两圆的圆心和半径，根据两圆有三条公切线，可得两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理，可得关于m的一元二次方程，根据，结合判别式，即可得答案. 【详解】圆，整理得， 则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2， 因为两圆恰有三条公切线， 所以两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得， 令，则，代入， 得，展开得， 因为， 所以，解得. 所以的最大值为. 故选：D 8. 已知A，B是圆上的动点，且，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点为D，根据向量的运算将转化为，然后结合圆的几何性质求出的取值范围，即可求得答案. 【详解】取的中点为D，则, 而，则，结合， 故 圆的圆心为，半径为， 则, 即点D在以为圆心，1为半径的圆上， 的圆心为，半径， ， 故的最小值为，当四点共线，且在之间时取得， 最大值为，当四点共线，且在外侧时取得， 即，故， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为分 B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分 C. 分数在区间内的频率为 D. 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：确定每组数据中间值，以及每组数据的频率代入到求平均数的公式即可求得；对于B：根据百分位数的定义分析求解；对于C：直接求分数在区间内的频率即可判断；对于D：根据分层随机抽样运算求解即可. 【详解】A：由频率分布直方图可知考生的平均成绩为 ，故A正确； B：因为，， 所以考生参赛成绩第百分位数位于区间，则第百分位数为，故B错误； C：分数在区间内的频率为，故C正确； D：在区间应抽取，故D错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线倾斜角越大，斜率越大 B. 经过不同两点的直线方程是 C. 经过点且在轴和轴上截距相等的直线为 D. 经过点作直线分别交轴，轴的正半轴于两点，为坐标原点，当取最小值时，直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】举出反例可判断A；根据直线的两点式方程结合特殊情况下的直线方程可判断B；利用直线的截距式方程结合过原点时的情况判断C；设直线的截距式方程，结合条件等式求最值可判断D. 【详解】对于A，取直线的倾斜角分别为，，但两直线的斜率，A错误； 对于B，对于经过不同两点的直线， 当时，直线的两点式方程为，可化为； 当时，直线方程为，此时满足； 当时，直线方程为，此时满足； 故经过不同两点的直线方程是，B正确； 对于C，直线经过点且在轴和轴上截距相等， 若截距均为0，则直线方程为； 当截距不为0时，设直线方程为，将代入，得， 即直线方程为，即，C错误； 对于D，设直线方程为，将代入得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 取最小值时，，此时直线方程为，即，D正确， 故选：BD 11. 已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则下列结论正确的有（ ） A. 四边形周长的最小值为 B. 若，则的面积为 C. 的最小值为 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设，求得，那么四边形的周长为，即可求最小值；对于B，求得，，利用等面积法求得，进而得，利用三角形面积公式求的面积；对于C，设，则，，根据三角形面积公式可得，则，令，则，即可求最小值；对于D，当点P与原点重合时，可求得；当点P与原点不重合时，求出以为直径的圆的方程为，与圆M的方程相减，可得直线的方程为，与直线的方程为联立，消去可得点C的轨迹方程，利用圆的性质可求的最大值． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 设，则， 因为是圆M的切线， 所以，且． 根据勾股定理可得， 那么四边形的周长为， 所以当时，四边形的周长取得最小值，选项A正确； 对于B，已知，得． 可得． ， 又，可得， 则， 则的面积为，选项B错误； 对于C，设，则， ， 根据三角形面积公式， 又，可得， 则， 令，则， 因为，所以当时，取最小值，故C正确； 对于D，当点P与原点重合时，，则， ，则， 所以，又，则； 当点P与原点不重合时， 因为，所以在以为直径的圆上． 设，则的中点坐标为，， 则以为直径的圆的方程为， 将此圆的方程与圆M的方程相减， 可得直线的方程为， 直线的方程为， 联立， 消去得，即， 所以点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，若，则实数的取值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行时系数的关系，列出方程，求出a值，检验即可得答案. 【详解】因为， 所以，解得或， 当时，，即， 此时两直线重合，故舍去， 当时，，，符合题意， 综上，a的值为1. 故答案为：1 13. 已知，若动点满足，则动点与点距离的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，由可得，再判断点在圆内，即可求解. 【详解】设，由可得， 化简可得：，则动点轨迹为圆，圆心为，半径为， 又，所以点在该圆内， 所以动点与点距离的最大值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，将问题转化为与过定点的直线有三个不同的交点，通过分析临界状态，结合图象可求得的取值范围. 【详解】当时，令，则， 此时点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆在轴上方（含轴上的点）的部分； 当时，； 方程有三个不相等实数根等价于与直线有三个不同的交点； 直线恒过定点， 点与点连线斜率， 结合图象可知：当时，直线与有三个不同交点； 设过点且与相切的斜率存在的直线为，即， ，解得：， 结合图象可知：当时，直线与有三个不同交点； 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的内角的对边为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，由角化边，再根据余弦定理，解三角形即可. （2）根据正弦定理面积公式，求出两边之积，再根据余弦定理，求出两边之和，进而求出三角形周长. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由的面积，解得， 由，可得，即， 故解得，所以的周长为. 16. 如图，在长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到为直线与平面所成角，在直角中，求得，即可求解. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在长方体中，且，可得四边形为正方形， 所以为线段中点， 因为点为的中点，则， 又因为平面，且平面，则平面. 【小问2详解】 解：在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为，且点P为的中点，则， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 因为，所以，所以故直线与平面所成角为. 17. 已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是，且它的对角线的交点是. （1）求顶点的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； （3）求平行四边形ABCD的面积. 【答案】（1）， （2）和 （3）24 【解析】 【分析】（1）由，解出即得点坐标，由中点坐标公式即可得的坐标； （2）由与平行，与平行，即，由点斜式即可求直线方程，再化为斜截式方程即可； （3）先求点的坐标，由两点间距离公式求，利用点到直线的距离公式求到的距离，进而得的面积. 【小问1详解】 联立，解得即得， 因点是的中点，则. 【小问2详解】 由直线的斜率，且，则直线的方程为. 由直线的斜率，且，则直线的方程为. 故这个平行四边形另外两条边所在直线的方程是和. 【小问3详解】 由，得 ，即 ，所以. 又到的距离. 所以的面积. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设，由圆与直线相切于点，可求得，从而可求出半径，即可求解； （2）当切线斜率不存在时，则直线，即可验证直线与圆是否相切；当切线斜率存在时，设出直线，再结合点到直线的距离公式即可求得，从而可求解. （3）法一：分情况讨论直线无斜率时、斜率为时、斜率存在且不为时，相应的直线情况，再结合直线与圆相交求出相应的，即可求解； 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离，可得则，，再结合，从而可求解. 【小问1详解】 设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 【小问3详解】 法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 19. 现定义：若圆A上一动点，圆A外一点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆A的“白银点”.若点G同时是圆A和圆B的“白银点”，则称G为圆“”的“黄金点”.已知圆. （1）若点为圆A的“白银点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； （2）已知圆，且均为圆“”的“黄金点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与圆交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），点的轨迹是以为圆心以为半径的圆 （2）（i）（ii）存在， 【解析】 分析】（1）设，结合题意可得，从而得，即可求解； （2）（i）根据题意可得点、是圆和的交点，再结合两圆公共弦所在直线方程求解即得；（ii）记的圆心为，又记的圆心为，可求得直线的方程为，再与联立得的中点坐标为，从而求出圆：，设轴上存在点，设.再利用相关几何关系可得，再联立，结合且，即可求解. 【小问1详解】 设，因为点为圆的“白银点”， 所以，即，得到 所以的轨迹方程为. 点的轨迹是以为圆心以为半径的圆. 【小问2详解】 （i）因为为圆“”的“黄金点”，所以同时为圆与圆的“白银点”， 由，则，即点在圆上， 由为圆的“白银点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 由题直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）记的圆心为， 又记的圆心为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点到直线的距离为，则， 所以圆的方程为. 假设轴上存点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①. 联立，消可得，必有， 且， 代入①并整理得，所以， 故存点，满足题意恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2025-2026学年第一学期10月七校联合调研试题 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. 3 C. － D. － 2. 已知向量，，若，则=（ ） A. B. C. D. 12 3. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若，为第二象限角，则＝（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 6. 已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知A，B是圆上动点，且，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为分 B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分 C. 分数在区间内的频率为 D. 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线倾斜角越大，斜率越大 B. 经过不同两点的直线方程是 C. 经过点且在轴和轴上截距相等的直线为 D. 经过点作直线分别交轴，轴的正半轴于两点，为坐标原点，当取最小值时，直线的方程为 11. 已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则下列结论正确的有（ ） A. 四边形周长最小值为 B. 若，则的面积为 C. 最小值为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，若，则实数的取值为______. 13. 已知，若动点满足，则动点与点距离的最大值为______. 14. 已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的内角的对边为，，，且. （1）求； （2）若的面积为，，求的周长. 16. 如图，在长方体中，，点P为的中点. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成角的大小. 17. 已知平行四边形ABCD两条边所在直线的方程分别是，且它的对角线的交点是. （1）求顶点的坐标； （2）求这个平行四边形另外两条边所在直线的方程； （3）求平行四边形ABCD的面积. 18. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； （3）设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 19. 现定义：若圆A上一动点，圆A外一点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆A的“白银点”.若点G同时是圆A和圆B的“白银点”，则称G为圆“”的“黄金点”.已知圆. （1）若点为圆A的“白银点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； （2）已知圆，且均为圆“”的“黄金点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与圆交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $