精品解析：安徽省联考2025-2026学年高二上学期十月调研考试数学试卷（北师大版）

高二年级十月调研考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期。 故选：C 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线的倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】因为为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 3. 若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆焦点在轴上列不等式计算求解. 【详解】因为表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：B. 4. 若以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的性质列式求离心率. 【详解】设椭圆的长轴长和短轴长分别为，焦距为，其中， 由题意知，所以，故椭圆的离心率. 故选：C 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A 6. 已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助圆的一般方程定义及点与圆的位置关系计算即可得. 【详解】因为曲线表示圆，点在圆的外部， 所以，整理得， 由可得， 由可得或， 故. 故选：D. 7. 已知直线的倾斜角为，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可设的方程为，由题意可知圆心到直线的距离，代入运算即可. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 可设的方程为，即， 若圆上恰有3个点到直线的距离为2， 则圆心到直线的距离，解得. 故选：D 8. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与过同一个定点 C. 若，则与关于轴对称 D. 若与交于点，则为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据系数关系判断直线垂直判断A，计算直线定点判断B，判断直线关于轴对称判断C，应用垂直关系得出定值判断D. 【详解】直线，，， 对于A：因为，所以，A选项正确； 对于B：直线过定点，过定点，与不过同一个定点，B选项错误； 对于C：若，，，则与关于轴对称，C选项正确； 对于D：若与交于点，直线过定点，过定点， 因为，则，为定值，D选项正确； 故选：ACD. 10. 在中，内角的对边分别为，已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】由同角三角函数关系，求出，判断A的正误；代入已知条件，求出，判断B的正误；根据正余弦定理，解三角形，判断C的正误；根据正弦定理面积公式，求出三角形面积，判断D的正误. 【详解】因为，，所以，所以A正确； 由代入，得，解得， 因为，所以，所以B错误； 由，得，因为，所以， 由正弦定理得，代入得，解得， 由余弦定理，代入得，解得或（舍），所以C错误； 由正弦定理面积公式得，所以D正确； 故选：AD. 11. 已知点，圆，动点满足，为坐标原点，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若过点的直线与圆相切于点，且，则 B. 若过点的直线与圆相切于点，则面积的最大值为 C. 若与圆仅有一个公共点，则 D. 若与圆有两个公共点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用轨迹方程求法中的直接法求出点的轨迹，对于选项AB，作出图象，数形结合可得答案；对于选项CD，利用两圆的位置关系可得答案. 【详解】已知点 ，，设点 ，满足 ， ，， 代入条件：， 两边平方得：， 整理：， ， 配方得：， 因此，点 的轨迹 是以 为圆心、半径 2 的圆. 圆 的方程为 ，圆心为 ，半径 . 对于选项 A：，圆心 ，距离 ， 切线长公式：， 代入 ：，故选项 A 正确； 对于选项 B： 中，（半径垂直于切线），所以是直角三角形，直角在 ， 的面积 ， 其中 ， 因此 ， 故 在 时取到最大值 .故选项 B 正确； 选项 C：圆：圆心 ，半径 ；圆 ：圆心 ，半径 ， 圆心距 ， 两圆相切（一个公共点）的条件： 或 ， 由，得或， 由，得（舍去）. 因此 或 ，故选项 C 错误； 选项 D：两圆有两个公共点的条件：。 ， 恒成立， 只需：，故选项 D 正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数z=i(2－i),则|z|=________ 【答案】 【解析】 【详解】 13. 已知椭圆的左焦点为和是椭圆上关于轴对称的两个动点，当的周长最大时，的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为，根据题意结合椭圆的定义分析可得当且仅当直线经过点时取等号，进而可得面积. 【详解】由题意可知：， 设椭圆的右焦点为，则， 如图， 的周长为， 当且仅当直线经过点时取等号，此时的方程为， 可得，所以. 故答案为：. 14. “直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】设，，根据直线平行列方程，然后利用两角差的正弦公式和正弦函数性质得或，从而，最后代入平行直线距离公式求解即可. 【详解】不妨设，， 因为，所以，所以，由题意，所以或， 不妨设，此时，即，由于的常数项为，而，故两直线不重合， 所以，之间的距离为. 故答案为：4 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，直线l经过点. （1）若l与直线AB垂直，求l的方程； （2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由两点间斜率公式结合垂直直线斜率关系求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得解； （2）依次求出和，数形结合斜率与直线倾斜角的关系即可求解. 【小问1详解】 由题， 因为l与直线AB垂直，所以， 所以l的方程为. 【小问2详解】 依题意，， 若l与线段AB有公共点，如图，则l的斜率k的取值范围是， 设直线倾斜角为，则， 故倾斜角的取值范围是. 16. 已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等. （1）求直线的方程； （2）已知点和，点在直线上运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标可得答案； （2）求出点关于直线的对称点，利用两点间直线段最短可求最小值. 【小问1详解】 因为点在轴的负半轴上，所以设直线的方程为， 将点的坐标代入，得，解得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 设点关于直线对称点为， 则，故只需求出即可. 由（1）知直线的方程为，其斜率为， 则，解得，即. 所以， 所以的最小值为10. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点，点是上任意一点. （1）求的方程. （2）设的左、右顶点分别为、，当点与不重合时，证明：与的斜率之积为定值. （3）设的左、右焦点分别为、，是否存在点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 由（1）可得，设， 则，所以， 故， 即与的斜率之积为定值； （3） 方法一：由（1）可得， 设，则， 又，且， 所以， 故不存在满足的点. 方法二：由（1）可得， 满足的点的轨迹是以为直径的圆， 联立得，化简得，故此方程组无解， 所以椭圆与圆没有交点，即不存在满足的点. 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式与所过点计算即可得； （2）设，则有，再借助斜率公式计算即可得； （3）法一：设，结合向量数量积公式计算可得，即可得解；法二：求出使得的点的轨迹方程后联立曲线，可得该方程组无解，即可得. 【小问1详解】 设的半焦距为，离心率，所以， 又过点，所以，则有，可得，从而， 所以的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点. （1）求的最小值，并求取最小值时的方程； （2）若为锐角，为坐标原点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径，当与垂直时，最小，进而可求出其值，再根据点斜式求出直线的方程. （2）设出直线的方程为，与圆的方程联立，化为关于的一元二次方程，由为锐角，可得，再结合根与系数的关系可求出的取值范围. 【小问1详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径. 因为，所以点在圆内， 则当与垂直时，取最小值. 此时点到的距离，所以. 因为，所以此时的方程为，即. 【小问2详解】 设，. 由题可知的方程为. 联立得整理得， 则 所以. 因为为锐角，所以， 即，解得. 又因为点在圆内，和不可能同向， 所以的取值范围是. 19. 已知圆，过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）若直线的斜率为，求两条切线的斜率； （2）当取最小值时，求四边形的周长； （3）证明：直线过定点. 【答案】（1）和0 （2） （3） 因为，，所以，，，四点都在以线段为直径的圆上. 设，因为， 所以以线段为直径的圆的方程为. 即，又圆， 两式作差，得直线的方程为. 令，得， 即直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）设出切线方程，利用点到切线的距离等于半径可求答案； （2）利用四边形的面积把条件转化为取最小值时，求周长，结合图形可得答案； （3）利用四点共圆求出所在圆的方程，得出直线的方程，可得定点. 【小问1详解】 由已知得圆的圆心为，半径为1， 则直线的方程为，令，得，所以. 设切线方程为，即. 圆心到切线的距离，解得或， 所以两条切线的斜率分别为和0. 【小问2详解】 由题意知与全等，所以， 又，所以. 所以当且仅当取最小值时，取最小值. 而，即要求的最小值. 当取时，取最小值3，此时， 此时四边形的周长为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级十月调研考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线的倾斜角为，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与过同一个定点 C. 若，则与关于轴对称 D. 若与交于点，则为定值 10. 在中，内角的对边分别为，已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 已知点，圆，动点满足，为坐标原点，记点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若过点的直线与圆相切于点，且，则 B. 若过点的直线与圆相切于点，则面积的最大值为 C. 若与圆仅有一个公共点，则 D. 若与圆有两个公共点，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数z=i(2－i),则|z|=________ 13. 已知椭圆的左焦点为和是椭圆上关于轴对称的两个动点，当的周长最大时，的面积为__________. 14. “直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线.已知，是直线系中的两条直线，若，则，之间的距离为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，直线l经过点. （1）若l与直线AB垂直，求l的方程； （2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 16. 已知点，点在轴负半轴上，直线在两坐标轴上的截距相等. （1）求直线的方程； （2）已知点和，点在直线上运动，求的最小值. 17. 已知椭圆的离心率为，且过点，点是上任意一点. （1）求的方程. （2）设的左、右顶点分别为、，当点与不重合时，证明：与的斜率之积为定值. （3）设的左、右焦点分别为、，是否存在点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点. （1）求的最小值，并求取最小值时的方程； （2）若为锐角，为坐标原点，求的取值范围. 19. 已知圆，过直线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，. （1）若直线的斜率为，求两条切线的斜率； （2）当取最小值时，求四边形的周长； （3）证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $