精品解析：河南省多校2025-2026学年高二上学期10月中质量检测数学试题

2025~2026学年度高二年级10月中质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量是一组单位正交向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在长方体中，（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则在上的投影向量为 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 若，则共面 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，动直线，则下列结论正确的有（ ） A. 存在实数，使得的倾斜角为 B. 存在实数，使得与没有公共点 C. 对任意的与都不重合 D. 存在实数，使得与垂直 10. 以下能够判定空间中四点共面的条件是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知直棱柱的所有棱长均为2，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 记点到直线的距离为，当时，则的最小值为 D. 当时，直线与直线垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______. 13. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则点到直线的距离是_______． 14. 三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知三角形三顶点，求： （1）直线关于轴对称的直线的一般式方程； （2）边上的高所在直线的一般式方程． 16. 如图，已知棱长为1的正方体． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）点到平面的距离为，点到平面的距离为，求． 17. 已知直线经过点． （1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程； （2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程； （3）若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时的直线的方程，其中． 18. 如图，在三棱台中，底面为的中点，． （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求的长； （3）在（2）的条件下，若的长小于的长，求直线与直线所成角的余弦值． 19. 如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度高二年级10月中质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可得出答案. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：C. 2. 已知空间向量是一组单位正交向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积的运算律和定义结合已知条件求解即可. 【详解】因为是一组单位正交向量， 所以，, 则，所以. 故选：A. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可得点的坐标，再由投影点坐标的特征可直接得到结果. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为， 所以点在坐标平面内的投影为点. 故选：D. 4. 如图，在长方体中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底，由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算. 【详解】在长方体中，以为基底， 则， 所以. 故选：A. 5. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题直线过定点，作图，数形结合求解即可. 【详解】因为直线恒过定点，且， 要使得直线与线段相交由图可知，则或. 所以的取值范围为. 故选：B. 6. 已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形的面积确定点到直线上的距离，再由直线平行即可求解. 【详解】， 设点到直线上的距离为，则，则， 直线的方程为，即， 所以动点的轨迹是与平行的直线， 设直线方程为，则4， 解得或12，则动点的轨迹方程为或． 故选：D． 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则在上的投影向量为 B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 若，则共面 【答案】C 【解析】 【分析】对A，利用投影向量的定义计算判断；对B，利用空间位置关系的向量证明判断；对C，求出直线与平面所成角；对D，利用空间基底的意义判断. 【详解】对于A，在上的投影向量为，故A错误； 对于B，因为，所以直线与平面平行或在面内，故B错误； 对于C，设直线与平面的夹角为，由题意可知， 则，所以直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，假设共面，又因为不共线，所以， 即，方程组无解，所以不共面，故D错误. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点的坐标为，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求出点所在直线方程，再求关于直线的对称点，转化为求的最小值即可得解. 【详解】如图，在直线上， 设点关于直线的对称点为，设所在直线为， 代入点，可得，解得，故所在直线为， 联立，解得， 故直线与直线交点为，则点关于直线的对称点的坐标为， ， 因为，所以的最小值是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，动直线，则下列结论正确的有（ ） A. 存在实数，使得的倾斜角为 B. 存在实数，使得与没有公共点 C. 对任意的与都不重合 D. 存在实数，使得与垂直 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，给出作为反例即可；对于B，说明两直线有公共点即可；对于C，给出作为反例即可；对于D，由说明两直线垂直即可. 【详解】对于A，当时，的方程为，故倾斜角是，故A正确； 对于B，直线为，所以直线过定点， 又直线过点，所以两直线总有公共点，故B错误； 对于C，当时，两直线的方程都是，故重合，故C错误； 对于D，由于，解得，故当时两直线垂直，故D正确． 故选：AD. 10. 以下能够判定空间中四点共面的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． 11. 如图，已知直棱柱的所有棱长均为2，，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 记点到直线的距离为，当时，则的最小值为 D. 当时，直线与直线垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，证明平面，即可得到结论；对B，由题可得点到底面距离为，求出的外接圆半径，找准球心位置，列式再求出半径即可；对C，建立空间直角坐标系，转化为向量求解距离最小值问题；对D，当时，点为的中点，求出与对应向量的坐标，利用向量法验证. 【详解】对于A，因为，所以点在平面内， 因为底面为菱形，所以， 又因为直棱柱，所以平面，平面，所以， 又因为平面平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B，当时，则，故点到底面距离为， 因为，，所以，所以的外接圆半径为， 设外接球半径为，球心到平面的距离为，的外接圆的圆心为， 作平面，为垂足，则在上， 由可得，故， 所以， 如图1，可得，，， 即，又， 两式联立得，，故外接球表面积为，故B正确； 对于C，当时，则三点共线，即点在线段上， 如图2建立空间直角坐标系，则，，， ，，， 则， 故，则， 又，得， ， 故， 当且仅当时，，故C正确； 对于D，当时，点为的中点， 则，，，， 因为，所以与不垂直，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______. 【答案】或． 【解析】 【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案． 【详解】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即． 当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得， 故直线的方程为， 故答案为：或． 13. 在空间直角坐标系中，点，点，点，则点到直线的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【详解】由题意得，，，，， 设点到直线的距离为， 所以. 故答案为：. 14. 三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】先利用重心和中点的性质，把用表示出来，再结合已知条件得出的关联，最后利用基本不等式求解． 【详解】 点为的重心， ， 为的中点， ， ，，， ， 四点共面， ， ， ，当且仅当时取等号． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知三角形三顶点，求： （1）直线关于轴对称的直线的一般式方程； （2）边上的高所在直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出点关于轴对称的点，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. （2）根据垂直和直线的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【小问1详解】 ，点关于轴对称的点分别为， 则，整理得， 所以直线关于轴对称的直线的一般式方程为. 【小问2详解】 直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即. 16. 如图，已知棱长为1的正方体． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）点到平面的距离为，点到平面的距离为，求． 【答案】（1） 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， ， 因为， 所以，即. （2） 因为， 所以，所以， 由（1）可知，，又，平面， 所以平面. （3）2 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明位置关系； （2）利用空间向量法证明位置关系； （3）利用空间向量法求出点面距，进而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，平面的法向量， 所以点到平面的距离， 又，所以点到平面的距离， 所以. 17. 已知直线经过点． （1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程； （2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程； （3）若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，求的最小值，并求此时的直线的方程，其中． 【答案】（1）或 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）首先可以假设直线的斜率不存在，然后根据点得出直线方程，再然后假设直线斜率存在并设出直线方程，最后根据原点到直线的距离为2即可得出结果； （2）设直线与直线和分别相交于两点，设，根据点为线段的中点，求得代入直线，进而求得，即得点的坐标，得解； （3）由题意可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为，求出的坐标，进而表示出，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为2，则有，解得， 则直线的方程为：. 综上，直线的方程为或. 【小问2详解】 设直线与直线和分别相交于两点， 设，因为点为线段的中点，则， 因为点在直线上， 则，解得，则， 所以直线的方程为：，即. 【小问3详解】 由题意可知直线的斜率存在，且，设直线的方程为， 则， ， 当且仅当，即时取等号， 则此时直线的方程为：. 18. 如图，在三棱台中，底面为的中点，． （1）证明：； （2）若直线与平面所成的角的正弦值为，求的长； （3）在（2）的条件下，若的长小于的长，求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）2或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件得到，从而得到，又底面，得到 ．根据线面垂直的判定定理证得平面，从而得到； （2）先建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量，再利用向量的数量积求解 ； （3）先求出与的坐标，再利用向量的数量积求解. 【小问1详解】 在三棱台中， ，，，，． 为的中点，，， 四边形为平行四边形，故． ． 底面底面，． 平面，，为相交直线，平面， 平面，； 【小问2详解】 以为原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，设， 则， ， 设是平面的法向量，则，即， 取； 直线与平面所成的角的正弦值为， ， 解得或，所以的长为2或． 【小问3详解】 因为，所以，， ， 由（2），得或，且的长小于的长，所以， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 19. 如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值． 【答案】（1） 因为平面，四边形为正方形，所以两两垂直， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以平面， 则，，，，，，，， 设． 则，因为平面，所以平面的法向量为， 因为， 因为平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系，由直线方向向量与平面法向量垂直即可求证； （2）求得平面法向量和直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式，借助二次函数求最值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设平面的法向量， 由，得， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 易知平面的法向量， ，设平面的法向量， 由，得，令，则， 所以， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 所以， 因为，所以， 令，则，所以， 则， 令，且，所以， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 且此时，即， 所以当点为线段的中点时，二面角平面角的余弦值取最大值，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $