精品解析：江苏省苏州市苏州国裕外语学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期高二年级自主学习检测试卷 数学学科 2025.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的通项公式列方程求解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，所以数列的公差为2. 故选：B. 2. 在2和8之间插入3个实数，使得成等比数列，则的值为（ ） A. B. 或4 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项求解即可. 【详解】由为等比中项可知，， 又可知， 所以， 故选：C 3. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 4. 在数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，找到规律，即可判断. 【详解】因为且， 所以，， ，，，， 所以是以为周期的周期数列，所以. 故选：C 5. 已知数列的前项和为，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法推出，结合等比数列通项公式求出表达式，结合单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知，故时，， 当时，，，则， 即，故，又， 所以为首项是，公比为的等比数列， 故， 随n的增大而减小，且数列的奇数项均为负值，偶数项为正值， 故时，取最大值，最大值为， 故选：C 6. 已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 7. 已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 71 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足前项是首项为，公差为的等差数列，通过计算的前项和与作比较，前项和与作比较即可得出的最大值. 【详解】因为是定值，要使当取最大值时也取得最大值，需满足各项尽可能取到最小值，又因为是各项均为正整数的递增数列，所以，即是首项为，公差为的等差数列，其中；的前项和为； 当时，； 当时，； 又因为， 所以的最大值为，此时，取得最大值为. 故选：C. 8. 设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由化简得递推关系，从而求得通项及前项和，要使能成立，即能成立，令，转化为求解的最小值即可. 【详解】由 得， 则有对任意成立， 又，则， 故，且 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由得，， 分离参数得，， 令 则 令，则 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 由，则当时， 当时，恒有， 又，故的最小值为. 若存在，使得成立，则， 则有，即实数的最小值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 故数列为递减数列，故A正确； 因二次函数的对称轴为，且开口朝下， 则当或时，取得最大值，故B错误； 当时，， 则， 又，符合上式，故，故C正确； 令，则，则是等比数列，故D正确. 故选：ACD 10. 已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则（     ） A. 是等差数列 B. 的前项和为 C. 对恒成立 D. 最大项有两项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列既是等差数列，又是等比数列可得，然后求出的通项可判断A；利用可得的通项，然后求和可判断B；作出比较可判断C；记，由求出的范围可判断D. 【详解】A：设，，设等差数列的公差为， 因为数列也是等比数列， 因此有， 显然既是等差数列，又是等比数列，符合题意， 于是有， 当时，，两式相减，得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，即， 显然也符合，因此，为等比数列，所以A不正确； B：因为，所以， 所以的前项和为，正确； C：因为，所以由， 因为，所以，正确； D：记， 当时，即，解得， 因为为正整数，所以，易知n=1时，不是最大项，故D正确. 故选：BCD 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，即可得到，，根据初始值，由此递推即可求得结果. 【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， 所以，，故B错； 又，所以，故A对； 由题意得，又， 所以 ，所以 ， 故C错；D对； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和为，且满足，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据与的关系求解可得. 【详解】当时，； 当时，. 综上，. 故答案为： 13. 在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到数列是递减数列，由求解. 【详解】因为等差数列中，当且仅当时取得最大值， 所以数列是递减数列， 又，所以 ， 解得， 所以d的取值范围为. 故答案为： 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时，______． 【答案】265 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再根据求解即可. 【详解】， ， ，所以． 所以． 故答案为：265 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，， （1）证明：数列是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 由得， ， 所以数列为首项为1，公比为4 的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可； （2）根据等比数列的通项公式得到，然后分组求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则， . 16. 已知为等差数列，其前n项和为，，，且也为等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差中项以及等差数列的通项公式即可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【小问1详解】 设的公差为d． 因为，，为等差数列， 所以，，成等差数列， 则，解得， 故． 【小问2详解】 因为，， 所以． 设的前n项和为， 则 17. 已知正项数列的前n项和为，且满足 . （1）求的通项公式； （2）已知 设数列的前n项和为当n∈时，，求实数 λ 的范围. 条件:①，且 等差数列；②； ③请从这三个条件中任选一个，并将其序号填写在答题卡对应位置，并完成解答. 【答案】（1）选①②③，均有 （2） 【解析】 【分析】（1）选①可得为等比数列，后由题意可得首项，公比，即可得答案；选②，由可得，即 ，后可得答案；选③可得，进而可得，后可得，即可得答案; （2）由（1）结合错位相减法可得，后分n为偶数，奇数两种情况可λ的范围. 【小问1详解】 若选①， 因为数列中， ， 所以数列{}为等比数列. 设{}的公比为q， 则， 由题意得， 又 ， 可得 ，即 ， 则有 ， 因为 ，解得， 故 ； 若选②，因为，所以 . 所以 . 当时， 有 ，且 ，. 所以数列{}是首项,公比的等比数列， 所以； 若选③， 由 ， 所以 ，所以. 当时， ，所以 所以， 数列{}为以首项，公比的等比数列， 所以 ； 【小问2详解】 由（1）可知: 数列满足， 数列的前 n项和，则， 两式相减可得: ，所以 . 不等式 , 注意到数列为递增数列，当n为偶数时，， 取，可得； 当n为奇数时， ，取，可得. 综上，实数λ的取值范围是. 18. 是等差数列的前项和，数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为． ①求； ②若集合且，求集合中所有元素的和． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分别令和，解方程可得，，可得与，进而可得； （2）利用分组求和的方法可得，进而确定集合中元素. 【小问1详解】 当时，， 所以，解得， 当时，， 所以，解得， 则， 所以，， 则； 【小问2详解】 ① ； ② ， 当为偶数时，， 所以当为偶数时，恒成立， 当为奇数时， ， 令， 又函数在上单调递增，且，， 所以， 所以集合中所有元素的和为. 19. 数列 的前n项和，已知，，k为常数. （1）求常数k和数列的通项公式； （2）数列 的前n项和为，证明： 【答案】（1）， （2）证明:由（1）得， 所以， 因为，， 所以， 综上可得，. 【解析】 【分析】（1）利用，和累加法求，然后根据等差数列求和公式求； （2）利用裂项相消和放缩的思路证明. 【小问1详解】 由得，， 两式相减的，整理得， 当时，得，， 当时，， ，，， 相加得， 所以，， 当，2时符合， 所以， 则，， 则，即. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二年级自主学习检测试卷 数学学科 2025.10 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2. 在2和8之间插入3个实数，使得成等比数列，则的值为（ ） A. B. 或4 C. 4 D. 5 3. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 100 4. 在数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和为，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 7. 已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为（ ） A. 63 B. 64 C. 71 D. 72 8. 设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 10. 已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则（     ） A. 是等差数列 B. 的前项和为 C. 对恒成立 D. 最大项有两项 11. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行白圈的个数为，其前n项和为；黑圈的个数为，其前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前项和为，且满足，则____________. 13. 在等差数列中，，公差为d，前n项和为，当且仅当时取得最大值，则d的取值范围为_______. 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），当时，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，， （1）证明：数列是等比数列. （2）求数列的前项和. 16. 已知为等差数列，其前n项和为，，，且也为等差数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知正项数列的前n项和为，且满足 . （1）求的通项公式； （2）已知 设数列的前n项和为当n∈时，，求实数 λ 的范围. 条件:①，且 等差数列；②； ③请从这三个条件中任选一个，并将其序号填写在答题卡对应位置，并完成解答. 18. 是等差数列的前项和，数列满足，，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为． ①求； ②若集合且，求集合中所有元素的和． 19. 数列 的前n项和，已知，，k为常数. （1）求常数k和数列的通项公式； （2）数列 的前n项和为，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $