期中考试模拟试卷（B）卷【一期四考备考模拟卷】2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025年秋季学期期中考试模拟试卷（B）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：第一章~第四章 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有且只有一个实数根 2．在如图所示的平面直角坐标系中，正方形的边长为，边平行于x轴．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 5．学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（   ）人参加了选拔赛． A．8 B．8或9 C．10 D．9 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 7．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 8．如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果AD平分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 9．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．点是的重心，过点画分别交于点，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，是边的中点，按下列要求作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点和点在直线同侧；作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 12．用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，年出口量为万辆，年出口量为万辆，设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 14．为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条． 15．若，为一元二次方程的两个根，则的值为 ． 16．如图，点D，E，F分别在的边，，上，，，． （1） ； （2）若点M是的中点，连接并延长交于点N，则 ．（填数字） 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分)习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： ………………第一步 ………………第二步 ……………………第三步 则…………………第四步 ∴…………………第五步 乙：原方程可变形为： ………………第一步 ………………第二步 则或………………第三步 ∴………………第四步 (1)分别写出甲、乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请任选一种方法解原方程． 18．(10分)如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点E，F． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 19．(10分)重庆市求精中学某老师为了了解本班学生月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： (1)全班学生总人数是______； (2)补全条形统计图，在扇形统计图中，______，类的圆心角为______； (3)赵老师在班上随机抽取了名学生，其中类人，类人，类人，若再从这人中随机抽取人，请树状图或列表法求出抽中全是类学生的概率． 20．（10分）某养老院有一块面积为平方米的长方形空地，其长是宽的倍． (1)求这块长方形空地的周长． (2)如图，为了合理利用空地，也给养老院的老人一块休闲娱乐赏花的地方，在空地四周留出同样宽的通道后，将空地分割出一个正方形花坛和一个长方形花坛（正方形的边长与长方形的长相等），且长方形花坛的长宽之比为，两个花坛的总面积为平方米，两个花坛之间能否在留出一定宽的通道后，再设计两边（图中画虚线的部分）各放宽度为米的长椅便于老人休息？ 21．(10分)如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 22．(10分)如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 23．(12分)近年来，短视频平台直播带货十分火爆，某主播带货文创产品“敦煌壁画书签”，凭借精彩的文化讲解，激发了大众的文化消费热情．已知这款书签的成本价为8元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前期销售发现，该书签每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表：（x/元/个） x/元（元/个） … 12 18 … y/个 … 800 500 … (1)根据表格提供的数据，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)若销售该书签每天的利润为5000元，求该书签的销售单价； (3)销售该书签每天的利润能否达到7000元？请说明理由． 24．(12分)阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．（要求：化未知数是，为一般形式）； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根与已知方程方程的两个根互为倒数；（要求：未知数是，化为一般形式）． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，直接写出关于的一元二次方程的两个实数根． 25．(14分)如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中考试模拟试卷（B）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：第一章~第四章 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有且只有一个实数根 2．在如图所示的平面直角坐标系中，正方形的边长为，边平行于x轴．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 5．学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（   ）人参加了选拔赛． A．8 B．8或9 C．10 D．9 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 7．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 8．如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果AD平分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 9．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．点是的重心，过点画分别交于点，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在中，是边的中点，按下列要求作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点和点在直线同侧；作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 12．用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，年出口量为万辆，年出口量为万辆，设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 14．为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条． 15．若，为一元二次方程的两个根，则的值为 ． 16．如图，点D，E，F分别在的边，，上，，，． （1） ； （2）若点M是的中点，连接并延长交于点N，则 ．（填数字） 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分)习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： ………………第一步 ………………第二步 ……………………第三步 则…………………第四步 ∴…………………第五步 乙：原方程可变形为： ………………第一步 ………………第二步 则或………………第三步 ∴………………第四步 (1)分别写出甲、乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请任选一种方法解原方程． 18．(10分)如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点E，F． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 19．(10分)重庆市求精中学某老师为了了解本班学生月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： (1)全班学生总人数是______； (2)补全条形统计图，在扇形统计图中，______，类的圆心角为______； (3)赵老师在班上随机抽取了名学生，其中类人，类人，类人，若再从这人中随机抽取人，请树状图或列表法求出抽中全是类学生的概率． 20．（10分）某养老院有一块面积为平方米的长方形空地，其长是宽的倍． (1)求这块长方形空地的周长． (2)如图，为了合理利用空地，也给养老院的老人一块休闲娱乐赏花的地方，在空地四周留出同样宽的通道后，将空地分割出一个正方形花坛和一个长方形花坛（正方形的边长与长方形的长相等），且长方形花坛的长宽之比为，两个花坛的总面积为平方米，两个花坛之间能否在留出一定宽的通道后，再设计两边（图中画虚线的部分）各放宽度为米的长椅便于老人休息？ 21．(10分)如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 22．(10分)如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 23．(12分)近年来，短视频平台直播带货十分火爆，某主播带货文创产品“敦煌壁画书签”，凭借精彩的文化讲解，激发了大众的文化消费热情．已知这款书签的成本价为8元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前期销售发现，该书签每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表：（x/元/个） x/元（元/个） … 12 18 … y/个 … 800 500 … (1)根据表格提供的数据，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)若销售该书签每天的利润为5000元，求该书签的销售单价； (3)销售该书签每天的利润能否达到7000元？请说明理由． 24．(12分)阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．（要求：化未知数是，为一般形式）； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根与已知方程方程的两个根互为倒数；（要求：未知数是，化为一般形式）． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，直接写出关于的一元二次方程的两个实数根． 25．(14分)如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $2025年秋季学期期中考试模拟试卷(B)卷 九年级 数学 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 3 4 5 6 7 8 10 11 12 A A B C D B A D A 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分) 13.31(1+x)2=120.3 14.1000 15.-3 16.章7 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17.(10分) 【详解】(1)解：甲的解答从第一步开始错误，将(x一1)2展开为x2-1,正确应为x2一2x+1: 乙的解答从第二步开始错误，提取公因式时，2一(x-1)误写为2-x-1,正确应为2一x+1.(4分) (2)解：用因式分解法，原方程变形为(x-1)2-2(x-1)=0, 提取公因式(x-1)得(x-1)(x-1-2)=0,即(x-1)(x-3)=0, 解得x1=1,X2=3. 用配方法，2(x-1)=(x-1)2, 2x-2=x2-2x+1, x2-4x=-3, x2-4x+4=1, x-2)2=1, x-2=±1， 解得x1=1,x2=3.(10分) 18.(10分) 【详解】(1)证明：在平行四边形ABCD中，ADBC,AO=OC, ∠OAE=∠OCF, 试卷第1页，共3页 :对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F, .AC⊥EF,∠A0E=∠C0F=90°， ∴.△A0E≌△COF, ..OE=0F, 四边形AFCE是平行四边形， :AC⊥EF ∴.四边形AFCE是菱形.(5分) (2):四边形AFCE是菱形，AB=3,BC=5, .:AF=FC, .AF=FC=BC-BF=5-BF, :∠B=90°， AB2+BF2=AF2. 即32+BF2=5-BP)2, 解得BF=1.6. 答：BF的长为1.6.(10分) 19.(12分) 【详解】(1)解：全班学生总人数是10÷25%=40（人）， 故答案为：40；(4分)》 (2)解：由(1)得全班学生总人数是40人， .C类人数为40-10-24=6（人）， 补全条形统计图如图， 本人数 25 24 20h 15H 10 10 6 5 B C成活率类别 :b%=器×100%=60%，C类的圆心角为360°×号=54°， .b=60, 故答案为：60,54°；(8分) 试卷第1页，共3页 (3)解：列表如下， A ⊙ B C A BA BA CA B AB BB CB B AB BB CB AC BC BC 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果， :抽中全是B类学生的概率为员=言.(12分) 20.(10分) 【详解】(1)解：设长方形空地的宽为x米，则长为1.5x米， 由题意得：1.5x·x=1350, 整理得x2=900, ·x=30或x=-30(不合题意，舍去)， ÷1.5x=45, :这块长方形空地的周长为2×(45+30)=150（米）. 答：这块长方形空地的周长为150米.(5分) (2)解：能.理由如下： 设长方形花坛的宽为y米，则长为2y米，正方形花坛的边长为2y米， 由题意得(2y)2+2y·y=864, 整理得y2=144, 解得y=12或y=-12(不合题意，舍去)， 2y=24, ·长方形花坛的宽为12米，正方形花坛的边长为24米， :通道宽为304=3（米）， :两个花坛之间的宽为45-3×2-24-12=3（米）. :两边放长椅宽为2米<3米， ·能设计在两边放1米宽的长椅.(10分) 试卷第1页，共3页 21.(10分) 【详解】(1)证明：由折叠得∠DEF=∠BEF, ABIICO, ∴∠BEF=∠DFE, ∠DEF=∠DFE, ∴△DEF为等腰三角形；(5分) (2)解：过点E作EH⊥OC于点H, -1B O(D :E(4,3),F(5,0), EH=3,FH=0F-0H=5-4=1, :EF=EH2+FH=V32+12=10.(10分) 22.(10分) 【详解】(1)证明：：AD⊥CE, ·∠ADC=90°， ·∠2+∠3=90°， :∠ACB=90°， ∠1+∠2=90°， ·∠1=∠3， 又：BE⊥CE,AD⊥CE, ·∠E=∠ADC=90°， I∠ADC=∠E 在△ACD和△CBE中， ∠3=∠1 AC=CB ·△ACD≌△CBE(AAS):(5分) (2)解：由(1)可知△ACD≌△CBE, :CE=AD=4, 试卷第1页，共3页 ·CD=CE-DE=4-1=3, ·BE=CD=3, "∠E=∠ADF,∠BFE=∠AFD, ·△BEFM△ADF, 器=器， 设EF=x,则DF=1一x, =产， 解得：x=马， EF=号.(10分) 23.(12分) 【详解】(1)解：设y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)， 将(12,800)、(18,500)代入解析式得方程组： 112k+b=800 18k+b=500’ 1k=-50 解得：1b=1400’ 因此，y关于x的函数解析式为：y=一50x+1400,x的取值范围为：8≤x≤24.(4分) (2)利润w的表达式为：w=(x-8)y=(x-8(-50x+1400), 展开整理得：w=-50x2+1400x+400x-11200=-50x2+1800x-11200, 令w=5000,得方程：-50x2+1800x-11200=5000 解得：x=18, 答：该书签的销售单价为18元；(8分) (3)令w=7000, 得方程：-50x2+1800x-11200=7000 移项化为标准形式：-50x2+1800x-18200=0, 两边除以-50简化：x2-36x十364=0， 计算判别式A:△=(-36)2-4×1×364=1296-1456=-160<0， 因为△<0，方程无实数解，所以利润w无法达到7000元.(12分) 24.(12分) 试卷第1页，共3页 【详解】(1)解：设所求方程的根为y, 则y=x+1, x=y-1, 把x=y-1代入已知方程得：(y-1)2-(y-1)-3=0, 化简得：y2-3y-1=0.(3分) (2)设所求方程的根为y,则y=京， “x=方， 把x=吉代入已知方程得：a()+b(合)+c=0, 化简得：cy2+by+a=0.(7分) (3):c(y-2024)2+b(y-4)=2020b-a(c≠0)， c(y-2024)2+b(y-2024)+a=0, 由(2)可得：关于x的一元二次方程的根与关于y一2024的一元二次方程的根互为倒数， y-2024=袁， :关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为1和号， :关于y-2024的一元二次方程c(y-2024)2+b(y-2024)+a=0的两个实数根分别为1和2， .y-2024=1或y-2024=2, 解得：y=2025或y=2026, :关于y的一元二次方程c(y-2024)2+b(y-4)=2020b-a(c≠0)的两个实数根分别为2025 或2026.(12分) 25.(12分) 【详解】解：(1)连接AD,如下图： y B D :点D为BC边中点 :BD=CD 又：△ABC为等腰直角三角形 试卷第1页，共3页 ∴AD⊥BC,AD=BD=CD,∠ABD=∠DAC=45 ∴.∠ADB=90o 又：∠EDF=90° ∴∠BDE=∠ADF ·△BDE≌△ADF ·DE=DF(4分) (2)分别过点E、F作EM⊥BC、FN⊥BC交BC于点M、N E B MD :△ABC为等腰直角三角形 ∠B=∠C=45o 又：EM⊥BC、FN⊥BC ·.△BEM、△CNF为等腰直角三角形 .BM=EM,FN=NC :∠EDN=∠EDF+∠FDN=∠DME+∠DEM,∠EDF=∠EMD=90· .∠FDN=∠DEM ·.△FDN∽△DEM “器=别=器=k :EM=kDN,DM=kFN,DE=kDF :BM=kDN,DM=kNC ..BD=BM+DM=k(DN+NC)=kCD 又：DC=mBD k=品 .DE=壶DF,即DF=mDE(8分) (3):∠ADC=∠ADE十∠CDE=∠B+∠BAD,∠B=∠ADE=60° ∠CDE=∠BAD 又：∠B=∠C .△ABD∽△DCE 试卷第1页，共3页 部=器 .CE- 设BD=X,CD=4-X CE=9=4=-x2-4x)=-x-2)2+1 .当x=2时，CE最大，最大为1.(12分) 试卷第1页，共3页 2025年秋季学期期中考试模拟试卷（B）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：第一章~第四章 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有且只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选A． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，正方形的边长为，边平行于x轴．若点的坐标是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，A横坐标为，纵坐标为1，即． 又轴，D横坐标为，纵坐标为，即． 故选：A． 3．若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【详解】解：是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故选：B． 4．已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：已知是线段AB的黄金分割点且，根据黄金分割定义，核心关系为 A、由核心关系直接可知，此选项不符合题意；   B、由交叉相乘，得，此选项不符合题意；   C、由核心关系应为，变形为，而非，此选项符合题意；   D、∵，且，   ∴，此选项不符合题意．   故选：C． 5．学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（   ）人参加了选拔赛． A．8 B．8或9 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设有x人参加了选拔赛，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设有x人参加了选拔赛，由题意得： 解得：（不符合题意，舍去）， 即有9人参加了选拔赛， 故选：D． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，分别为，的中点，若，则的长为（   ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】B 【详解】在矩形，， ，为等边三角形， ， 在中，， ，， ，分别为，的中点， 为的中位线， ． 故选：B． 7．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右， 摸到白球的概率为， 袋子里白球的个数估计是个， 故选：C． 8．如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果AD平分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定，掌握相关判定定理是解题关键； 【详解】解：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意； 如果，那么四边形是矩形，故B正确，不符合题意； 如果AD平分， 则； ∵， ∴； ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故C正确，不符合题意； 如果且，则AD平分， ∴四边形是菱形，故D错误，符合题意； 故选：D 9．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由停车场的长为40米，宽为19米．车道长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可． 【详解】解：依题意得， 故选：A． 10．点是的重心，过点画分别交于点，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长AG交BC于由G是的重心，推出AG：：1，推出AG：：3，由，推出∽，，可得，即可解决问题． 【详解】解：延长AG交BC于H． 是的重心， ：：1， ：：3， ， ∽，， ， 故选C． 11．如图，在中，是边的中点，按下列要求作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点和点在直线同侧；作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作法得，结论正确，故A选项不符合题意； ， ，结论正确，故B选项不符合题意； 是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ，结论正确，故C选项不符合题意； 不一定等于， 不一定等于，即不一定等于，故D选项符合题意． 故选：D ． 12．用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ 故④正确， 综上所述正确的有：①②③④； 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，年出口量为万辆，年出口量为万辆，设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：设新能源汽车出口量的年平均增长率为， 由题意得，，故答案为：． 14．为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为 条． 【答案】1000 【详解】解：设鱼的总数为x条， 根据题意可知， 解得故答案为： 15．若，为一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：若，为一元二次方程的两个根， ， ，故答案为：． 16．如图，点D，E，F分别在的边，，上，，，． （1） ； （2）若点M是的中点，连接并延长交于点N，则 ．（填数字） 【答案】 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，过点F作交于点G， ∵点M是的中点， ∴N是的中点， ∴是的中位线， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分)习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： ………………第一步 ………………第二步 ……………………第三步 则…………………第四步 ∴…………………第五步 乙：原方程可变形为： ………………第一步 ………………第二步 则或………………第三步 ∴………………第四步 (1)分别写出甲、乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请任选一种方法解原方程． 【答案】(1)甲的解答从第一步开始错误；乙的解答从第二步开始错误 (2)见解析 【详解】（1）解：甲的解答从第一步开始错误，将展开为，正确应为； 乙的解答从第二步开始错误，提取公因式时，误写为，正确应为． （2）解：用因式分解法，原方程变形为， 提取公因式得，即， 解得，． 用配方法，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 18．(10分)如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点E，F． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，得到，则四边形是平行四边形，继而证明得到四边形是菱形，即可解答； （2）先证明，由勾股定理，得到， 求出即可． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，， ∴， ∵对角线的垂直平分线与边，分别相交于点E，F， ∴ ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 答：的长为． 19．(10分)重庆市求精中学某老师为了了解本班学生月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： (1)全班学生总人数是______； (2)补全条形统计图，在扇形统计图中，______，类的圆心角为______； (3)赵老师在班上随机抽取了名学生，其中类人，类人，类人，若再从这人中随机抽取人，请树状图或列表法求出抽中全是类学生的概率． 【答案】(1)； (2)补全条形统计图见解析，，； (3)抽中全是类学生的概率为． 【详解】（1）解：全班学生总人数是（人）， 故答案为：； （2）解：由（）得全班学生总人数是人， ∴类人数为（人）， 补全条形统计图如图， ∴，类的圆心角为， ∴， 故答案为：，； （3）解：列表如下， 由表可知，共有种等可能结果，其中全是类学生的有种结果， ∴抽中全是类学生的概率为． 20．（10分）某养老院有一块面积为平方米的长方形空地，其长是宽的倍． (1)求这块长方形空地的周长． (2)如图，为了合理利用空地，也给养老院的老人一块休闲娱乐赏花的地方，在空地四周留出同样宽的通道后，将空地分割出一个正方形花坛和一个长方形花坛（正方形的边长与长方形的长相等），且长方形花坛的长宽之比为，两个花坛的总面积为平方米，两个花坛之间能否在留出一定宽的通道后，再设计两边（图中画虚线的部分）各放宽度为米的长椅便于老人休息？ 【答案】(1)米 (2)能，理由见解析 【详解】（1）解：设长方形空地的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得， 或（不合题意，舍去）， ， 这块长方形空地的周长为（米）． 答：这块长方形空地的周长为米． （2）解：能．理由如下： 设长方形花坛的宽为米，则长为米，正方形花坛的边长为米， 由题意得， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 长方形花坛的宽为米，正方形花坛的边长为米， 通道宽为（米）， 两个花坛之间的宽为（米）． 两边放长椅宽为米米， 能设计在两边放米宽的长椅． 21．(10分)如图，在直角坐标系中，矩形纸片的边，点B坐标为，若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为． (1)求证：为等腰三角形； (2)求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键． （1）利用折叠的性质及平行线的性质推出即可； （2）过点E作于点H，利用勾股定理求出折痕的长． 【详解】（1）证明：由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点E作于点H， ∵，， ∴， ∴． 22．(10分)如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 23．(12分)近年来，短视频平台直播带货十分火爆，某主播带货文创产品“敦煌壁画书签”，凭借精彩的文化讲解，激发了大众的文化消费热情．已知这款书签的成本价为8元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，通过前期销售发现，该书签每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间近似满足一次函数关系，部分对应数据如下表：（x/元/个） x/元（元/个） … 12 18 … y/个 … 800 500 … (1)根据表格提供的数据，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)若销售该书签每天的利润为5000元，求该书签的销售单价； (3)销售该书签每天的利润能否达到7000元？请说明理由． 【答案】(1)， (2)18元 (3)无法达到，理由见解析 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为， 将代入解析式得方程组： ， 解得：， 因此，y关于x的函数解析式为：，x的取值范围为：． （2）利润w的表达式为：， 展开整理得：， 令w=5000，得方程： 解得：， 答：该书签的销售单价为18元； （3）令， 得方程： 移项化为标准形式：， 两边除以-50简化：， 计算判别式Δ：， 因为，方程无实数解，所以利润w无法达到7000元． 24．(12分)阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．（要求：化未知数是，为一般形式）； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根与已知方程方程的两个根互为倒数；（要求：未知数是，化为一般形式）． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，直接写出关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】(1) (2) (3)2025或2026 【详解】（1）解：设所求方程的根为， 则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：. （2）设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：. （3）， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为2025或2026. 25．(14分)如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【详解】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $