期中考试模拟试卷（A）卷【一期四考备考模拟卷】2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025年秋季学期期中考试模拟试卷（A）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：第一章~第四章 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．4，6，1 B．4，6， C．4，，1 D．4，， 2．下列各组线段是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 5．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 6．下列说法中不正确的是（   ） A．四边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 7．某校前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为72万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（    ） A． B． C． D． 8．如图，是斜边上的中线，且，则（   ） A．14 B．13 C．7 D．3.5 9．如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（    ） A．36 B．48 C．72 D．96 11．如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，的周长为9，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．18 D．25 12．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．设分别是方程的两个实数根，则的值是 ． 14．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率                                    请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个． 15．如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为 ． 16．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分)按要求解方程： (1)直接开平方法： (2)配方法： 18．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD． （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由． 19．(10分)如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． (1)若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； (2)如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 20．（10分）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 21．(10分)滇剧是国家级非物质文化遗产，因其内容丰富，反映云南地区的风土人情和文化特色，深受大众喜爱．某校戏曲兴趣小组在一次滇剧研学活动中，由甲、乙两名同学各自从三个角色“生”“旦”“净”中随机选择一个角色进行表演． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求甲、乙两名同学选择的角色所有可能的结果； (2)求甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 22．(10分)如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 23．(12分)如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 24．(12分)利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． (1)当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； (2)当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； (3)请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 25．(14分)我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中考试模拟试卷（A）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：第一章~第四章 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．4，6，1 B．4，6， C．4，，1 D．4，， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，①一元二次方程的一般形式是 （为常数），②找项的系数时带着前面的符号． 根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，6，， 故选：B． 2．下列各组线段是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则是成比例线段，故该选项符合题意； C．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：B． 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 先移项，再配方，最后得出选项即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方得：， ． 故选：B． 4．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 5．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是根据表格直接得到解，能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立， 即该方程的根是． 故选：C． 6．下列说法中不正确的是（   ） A．四边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的性质，牢固掌握菱形、矩形、正方形的性质与判定是解题关键． 利用菱形、矩形、正方形的性质与判定逐项分析即可． 【详解】A、四边相等的四边形是菱形，选项正确，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； C、正方形的对角线相等，选项正确，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，选项错误，符合题意； 故选：D． 7．某校前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为72万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则去年用于绿化的投资为万元，今年用于绿化的投资为万元，根据题意列方程即可． 【详解】解：设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则去年用于绿化的投资为万元，今年用于绿化的投资为万元， 根据题意得：． 故选：C． 8．如图，是斜边上的中线，且，则（   ） A．14 B．13 C．7 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵是斜边上的中线，且， ∴； 故选A． 9．如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴的值为． 故选：B． 10．如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（    ） A．36 B．48 C．72 D．96 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的面积计算及平移的意义，难度中等．根据平移的意义知四边形是平行四边形，，故由菱形对角线的长度求其面积即可解决问题． 【详解】解：∵菱形， ，． ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在菱形中， ， ∴四边形的面积等于． 故选：A． 11．如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，的周长为9，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．18 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念，相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比定义相似比计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， 的周长：的周长， 的周长为9， 的周长为15， 故选：B． 12．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】此题考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；二是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．设分别是方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟悉：一元二次方程的两个根为，，则，． 利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵分别是方程的两个实数根， ∴， 故答案为：． 14．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率                                    请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个． 【答案】9600 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握用频率估计概率． 用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可． 【详解】解：根据表格可知，合格头盔的频率逐渐稳定在， 估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有（个）， 故答案为：9600． 15．如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是正方形，则，则有，然后通过四边形的面积为即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别为边的中点， ∴， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 16．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 【答案】24 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 设与交点为E，正方形的边长为x，得到，根据正方形性质得到，得到，推出，解得． 【详解】解：设与交点为E，正方形的边长为x， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长是． 故答案为：24． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分)按要求解方程： (1)直接开平方法： (2)配方法： 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：移项得：， 两边同时除以25，得：， 直接开平方得：或 （2）解：移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 或 18．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD． （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）∠ABD=90°，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明即可； （2）由菱形的性质逆推：BE=DE，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，所以∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD． ∵点E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE=AD，FC=BC． ∴AE=CF． 在△AEB与△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）． （2）解： ∵ 为AD的中点， 四边形EBFD是菱形． 19．(10分)如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． (1)若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； (2)如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为， ∴栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为：， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， (不符合题意，舍去)， 答：正方形的边长的值为． 20．（10分）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 21．(10分)滇剧是国家级非物质文化遗产，因其内容丰富，反映云南地区的风土人情和文化特色，深受大众喜爱．某校戏曲兴趣小组在一次滇剧研学活动中，由甲、乙两名同学各自从三个角色“生”“旦”“净”中随机选择一个角色进行表演． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求甲、乙两名同学选择的角色所有可能的结果； (2)求甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：画树状图把所有等可能结果表示如下： 甲、乙两名同学选择的角色共有9种等可能的情况：（生，生）、（生，旦）、（生，净）、 （旦，生）、（旦，旦）、（旦，净）、（净，生）、（净，旦）、（净，净）． （2）解：甲、乙两名同学选择的角色相同的结果共有三种：（生，生）、（旦，旦）、（净，净）， 甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 答：甲、乙两名同学选择的角色相同的概率是． 22．(10分)如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：在和中， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 23．(12分)如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 24．(12分)利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． (1)当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； (2)当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； (3)请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每天销售量为240千克，每天利润为1920元 (2)25元/千克或35元/千克 (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：当这种水果售价为28元/千克时， 每天销售量为：（千克）， 每天利润为：（元）， 当这种水果售价为28元／千克时，每天销售量为240千克，每天利润为1920元． （2）解：设这种水果的售价为元/千克， 依题意可列方程为，， 整理得， 解得 当时，销售量为300千克；当时，销售量为100千克． 这种水果的售价为25元/千克或35元／千克时，商场每天销售利润为1500元． （3）解：设这种水果的售价为元/千克，依题意可列方程为， 整理得：， 此时方程，方程无实数解， 这种水果每天销售利润不能达到2200元． 25．(14分)我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【详解】（1）解：由旋转得：，， ， ， 四边形是等补四边形． 故答案为：是； （2）解：如图2，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，， ， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， （负值舍去）； 故答案为：4． （3）解：，    将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ，，， ， ， 、、三点共线， ， 当时，的面积最大，为． 则四边形面积的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中考试模拟试卷（A）卷 九年级 数学 满分：150分 时间：120分钟 范围：第一章~第四章 一、单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．4，6，1 B．4，6， C．4，，1 D．4，， 2．下列各组线段是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 5．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 6．下列说法中不正确的是（   ） A．四边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 7．某校前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为72万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则列方程得（    ） A． B． C． D． 8．如图，是斜边上的中线，且，则（   ） A．14 B．13 C．7 D．3.5 9．如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，对角线，的长分别为8和6，将平移到，则四边形的面积为（    ） A．36 B．48 C．72 D．96 11．如图，与是位似图形，点O为位似中心，若，的周长为9，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．18 D．25 12．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13．设分别是方程的两个实数根，则的值是 ． 14．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率                                    请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个． 15．如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为 ． 16．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分)按要求解方程： (1)直接开平方法： (2)配方法： 18．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD． （1）求证：△AEB≌△CFD； （2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由． 19．(10分)如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． (1)若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； (2)如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 20．（10分）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 21．(10分)滇剧是国家级非物质文化遗产，因其内容丰富，反映云南地区的风土人情和文化特色，深受大众喜爱．某校戏曲兴趣小组在一次滇剧研学活动中，由甲、乙两名同学各自从三个角色“生”“旦”“净”中随机选择一个角色进行表演． (1)用列表法或树状图法中的一种方法，求甲、乙两名同学选择的角色所有可能的结果； (2)求甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 22．(10分)如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 23．(12分)如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 24．(12分)利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． (1)当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； (2)当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； (3)请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 25．(14分)我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中考试模拟试卷（A）卷 九年级 数学 1、 单选题（每小题3分，共12小题，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B B A C D C A B A B D 二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分） 13． 14．9600 15． 16． 三、解答题（共9小题，共98分，需要写出必要的演绎过程或说明） 17．(10分) 【详解】（1）解：移项得：， 两边同时除以25，得：， 直接开平方得：或（5分） （2）解：移项得：， 配方得：， 即， 开方得：， 或（10分） 18．(10分) 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD． ∵点E、F分别是AD、BC的中点， ∴AE=AD，FC=BC． ∴AE=CF． 在△AEB与△CFD中， ， ∴△AEB≌△CFD（SAS）． （5分） （2）解： ∵ 为AD的中点， 四边形EBFD是菱形． （10分） 19．(10分) 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为， ∴栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为：， 故答案为：；（5分） （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， (不符合题意，舍去)， 答：正方形的边长的值为．（10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；（5分） （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴．（10分） 21．(10分) 【详解】（1）解：画树状图把所有等可能结果表示如下： 甲、乙两名同学选择的角色共有9种等可能的情况：（生，生）、（生，旦）、（生，净）、 （旦，生）、（旦，旦）、（旦，净）、（净，生）、（净，旦）、（净，净）．（5分） （2）解：甲、乙两名同学选择的角色相同的结果共有三种：（生，生）、（旦，旦）、（净，净）， 甲、乙两名同学选择的角色相同的概率． 答：甲、乙两名同学选择的角色相同的概率是．（10分） 22．(10分) 【详解】（1）证明：在和中， ∵，， ∴；（5分） （2）∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：．（10分） 23．(12分) 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即，（6分） ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米．（12分） 24．(12分) 【详解】（1）解：当这种水果售价为28元/千克时， 每天销售量为：（千克）， 每天利润为：（元）， 当这种水果售价为28元／千克时，每天销售量为240千克，每天利润为1920元．（4分） （2）解：设这种水果的售价为元/千克， 依题意可列方程为，， 整理得， 解得 当时，销售量为300千克；当时，销售量为100千克． 这种水果的售价为25元/千克或35元／千克时，商场每天销售利润为1500元．（8分） （3）解：设这种水果的售价为元/千克，依题意可列方程为， 整理得：， 此时方程，方程无实数解， 这种水果每天销售利润不能达到2200元．（12分） 25．(14分) 【详解】（1）解：由旋转得：，， ， ， 四边形是等补四边形． 故答案为：是；（4分） （2）解：如图2，，， 将绕点顺时针旋转得， ，，，（6分） ， ， ， ， 、、三点共线，（8分） ， ， ， （负值舍去）； 故答案为：4．（10分） （3）解：，    将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ，，， ， ， 、、三点共线， ，（12分） 当时，的面积最大，为． 则四边形面积的最大值为．（14分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $