精品解析：重庆市万州第二高级中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

高2024级高二上期10月月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张权 审题人：杨柳 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点和点的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角. 【详解】由题过点和点的直线的斜率为， 设过点和点的直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：C. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标易得，即可判断各项的正误. 【详解】由，易知，则，显然、、不成立. 故选：C 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先明确空间直角坐标系中的点关于平面对称的坐标变换规律，再根据该规律计算出点的对称点的坐标． 【详解】如图所示，设点为点关于平面的对称点，设点， 根据对称性质可得，，即点． 故选：A． 4. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答. 【详解】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 5. 已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 6. 如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算即可得解. 【详解】长方体中平面，平面，所以， 则，又， 所以， 故选：C. 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】 建立如图所示的直角坐标系，得，， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称点为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线，且，， 所以直线的方程为，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，，, 所以， 所以的周长为. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标. 8. 在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（ ） A. 若，则∥平面 B. 若，则 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于A：若，则点即为点，进而可得结果；对于B：若，可得点在线段上（包括短点），结合垂直关系分析判断；对于C、D：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断. 【详解】因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 且平面，可得， 又因为N在侧面上（包含边界），设，且， 可得 ， 又因为，可得，且. 对于选项A：若，则，可得点即为点， 显然平面，故A错误； 对于选项B：若，则，可得点在线段上（包括端点）， 由平面，可知当且仅当点为点，，故B错误； 过作，垂足为，可得，， 因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 可得， 对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时， 可得，故C正确； 对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时， 可得，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点睛：1. 设，且，根据空间向量基本定理分析可得，方便建立关系； 2.分析可得平面，则，将的大小转化为的大小. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若向量与向量共线，则 B. 在平行六面体中，向量与向量相等 C. ，为空间中两个不共线的单位向量，若，，则 D. 若为空间中不共面的三个向量，则存在不全为0的有序实数组，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】当与共线时可判断A，根据平行六面体的性质判断B，当与不垂直（不共线）时判断C，当时判断D. 【详解】对于A：向量与向量共线，若与共线，则，故A错误； 对于B：在平行六面体中，四边形为平行四边形， 所以，故B正确； 对于C：当时，， 此时 ， 当与不垂直时，， 此时 ，故C错误； 对于D：若，则，此时共面，故D错误； 故选：ACD 10. 已知直线，则（ ） A. 点到距离的最大值为 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则倾斜角的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，求出过定点，到距离的最大值，验证后发现最大值取不到；B选项，根据平行关系得到方程，求出，检验后得到B正确；C选项，由垂直关系得到方程，求出；D选项，求出的斜率，进而求出倾斜角取值范围. 【详解】对于A：， 令，解得，故过定点， 到距离的最大值为， 此时，，故的斜率应为， 故，即，无解，故最大值取不到，故A错误； 对于B：由，得，解得， 经检验，当时，与不重合，故B正确； 对于C：由，得，解得，故C正确； 对于D：当时，直线的斜率， 当时，的倾斜角，故D正确. 故选：BCD 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，若，则____ 【答案】16 【解析】 【分析】首先求向量，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面，过点构造平行平面，找到动点的轨迹为两个平面交线，再建系求解余弦最值，最后转化为正切最值即可. 【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示． 连接，易知，所以． 因为 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 又平面MPQ，故平面平面， 故点在线段PQ上，且不与P，Q重合． 以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系． 令正方体棱长为2，设，则，， 所以． 当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为． 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴､轴的正半轴交于点.当直线的斜率为__________时，的周长最小，其最小周长是__________. 【答案】 ①. ②. 20 【解析】 【分析】方法一：，分别用三角函数表示出三角形的三条边长，化简可得，,结合基本不等式即可求解； 方法二：，，，结合基本不等式求解即可. 【详解】方法一： ， ， , ， 方法二： ， 当且仅当时，等号成立.解得, 故答案为：； 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的垂直关系求出直线的斜率，代入经过的点坐标求解； （2）先求出两直线的交点，再根据两坐标轴上的截距互为相反数分情况讨论，求出直线方程． 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 设直线方程为，根据垂直关系得，， 又直线经过点， ，解得， 所求直线方程为，整理得． 【小问2详解】 联立直线：，解得， 直线与的交点为， 当直线经过坐标原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，直线方程为，即； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， ，解得，此时直线方程为， 所求直线方程为或． 16. 如图，平行六面体中，与相交于，设，，. （1）用表示； （2）若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量的数量积求向量的模. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由题意：，，， ， 所以. 17. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由的平分线所在直线的方程为，可设，利用AB中点在中线上可得，然后可得点关于直线对称的点的坐标，据此可得直线的方程； （2）由，可得直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点A到直线的距离，据此可得答案. 【小问1详解】 如图，由点在直线上，设，又， 则的中点在直线上， 所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即． 显然在直线上，则直线的斜率， 则直线的方程为，整理得． 【小问2详解】 点到直线的距离． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则，解得或8， 所以直线的方程为或． 18. 已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 （1）求证∶ 面; （2）求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； （3）求点D到平面EBF的距离． 【答案】（1）证明：法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵，平面，∴平面； 法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，令，则， 所以是平面的一个法向量， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为，所以， 又是平面的一个法向量， 则D到平面的距离为. 所以点D到平面EBF的距离为. 【点睛】 19. 如图，将四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形ABCDE，其中.连接，过点作平面，满足. （1）证明：. （2）若，且. （i）求AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 取AC的中点，连接BM，DM. 因为为AC的中点，所以， 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. （2）（i）； （ii） 【解析】 【分析】（1）取AC的中点，连接BM，DM，先证明平面，即可证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，设，直线AC到平面的距离为到平面的距离为，由已知可列方程组，求得答案；（ii）求出平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）连接EM，因为，所以，由（1）知平面， 则四点共面. 结合题意知，可得， 在四边形EBMD中，，根据对称性，可知EM垂直平分. 因为，所以在平面内存在点F，G，使得， 则，平面，即得平面 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设，直线AC到平面的距离为到平面的距离为， 则. 因为，所以 解得， 故AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和为. （ii）设平面的法向量为，而， 则，即，取. 设平面AEB与平面的夹角为，取平面的一个法向量为， 则， 故平面AEB与平面夹角的余弦值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高二上期10月月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张权 审题人：杨柳 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点和点的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. B. C. D. 8. 在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（ ） A. 若，则∥平面 B. 若，则 C. 当最小时， D. 当最大时， 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若向量与向量共线，则 B. 在平行六面体中，向量与向量相等 C. ，为空间中两个不共线的单位向量，若，，则 D. 若为空间中不共面的三个向量，则存在不全为0的有序实数组，使得 10. 已知直线，则（ ） A. 点到距离的最大值为 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则倾斜角的取值范围为 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，若，则____ 13. 如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为______． 14. 在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴､轴的正半轴交于点.当直线的斜率为__________时，的周长最小，其最小周长是__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程． 16. 如图，平行六面体中，与相交于，设，，. （1）用表示； （2）若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 17. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 18. 已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且 （1）求证∶ 面; （2）求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值； （3）求点D到平面EBF的距离． 19. 如图，将四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形ABCDE，其中.连接，过点作平面，满足. （1）证明：. （2）若，且. （i）求AC到平面的距离与BD到平面的距离的平方和； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $