精品解析：广东省普宁市勤建学校2025-2026学年高二上学期第一次调研考试数学试题

勤建学校高二年级上学期第一次调研考试 数学试卷 2025.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的点斜式方程可以表示（ ）. A. 任何一条直线 B. 不过原点的直线 C. 不与y轴垂直的直线 D. 不与x轴垂直的直线 【答案】D 【解析】 【分析】由点斜式方程的定义可得答案. 【详解】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线． 故选：D. 2. 空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，为的中点，根据中点坐标满足的关系求得C点坐标. 【详解】由题知，为的中点，设 则，解得，即 故选：A 3. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 4. 三点，，在同一条直线上，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据三点共线可得，由斜率公式列方程即可求解. 【详解】因为三点，，在同一条直线上， 所以即，解得：， 故选：C. 5. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】综合应用空间向量的线性运算即可解决. 【详解】因为，所以 故 . 故选：B. 6. 设，，直线l过点且与线段AB相交，则的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，再结合图像，即可得到的取值范围. 【详解】 由题意可得，， 因为直线与线段相交，则或. 所以斜率k的取值范围是. 故选：D 7. 已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出正四面体外接球半径，再分析出最大值即可外接球直径. 【详解】首先求出正四面体外接球的半径： 由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上： 设外接球半径为，如图(为外接球球心，为的重心）， ， ，， 中，， 即，得， 因为点P是正四面体的表面上的一点，Q为球O表面上的一点， 则的最大值相当于外接球的直径，则最大值为. 故选：D. 8. 在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取正方形的中心，利用线面垂直及线面角可求得，进而确定轨迹并求出面积. 【详解】在棱长为2的正方体中，取正方形的中心，连接， 由Q是正方形的中心，得平面，则是PQ与平面所成的角， 则，而，于是，， 因此动点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，其面积为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列直线与直线平行的有（ ） A. 直线经过点，直线过点 B. 直线经过点，直线过点 C. 直线经过点，直线的倾斜角为且过原点 D. 直线经过点，直线的斜率为0 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件逐项判断即可. 【详解】对于A： ，所以. 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 所以直线与直线平行，所以A正确； 对于B： ，所以. 所以直线与直线不平行，所以B错误； 对于C： ，直线的斜率为，所以. 直线的方程为，即， 直线的方程为，此时两直线平行，所以C正确； 对于D： 直线的方程为，直线与轴平行或重合， 此时两直线垂直，不平行，所以D错误. 故选：AC. 10. 已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线l与直线的斜率互为相反数 B. 直线l与直线的倾斜角互补 C. 直线l在y轴上的截距为 D. 这样的直线l有两条 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，得到与的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；由直线的点斜式方程，可得C选项正确；过定点斜率确定的直线唯一，可判定D选项错误． 【详解】因为直线与及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形， 所以与的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确； 由直线的斜率为2，知直线的斜率为，可得直线的方程为，令，可得在轴上的截距为，故选项C正确； 过且斜率为的直线只有一条，故选项D错误． 故选：ABC 11. 已知正四棱台的各个顶点都在球的表面上，，，，是线段上一点，且，下列选项正确的（ ） A. 当时，过点作球的截面的最小面积 B. 当时，多面体 C. 到平面距离是2 D. 与平面的夹角正弦值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】先确定球的半径，然后建立空间直角坐标系.对于A，利用垂直截面时，截面面积最小求解即可；对于B，利用等体积法求解即可；对于C，将平面转化为面求解即可；对于D，利用空间向量求解线面角即可. 【详解】 设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，圆心为，连接，， 过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为， 可得，,即， 且正四棱台的高, 设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为， 可得，，故或， 即或，解得, 故，即为球心. 易得，两两垂直，故以为原点，建如图所示空间直角坐标系， 则 故， 对于A，当时，，故， 故， 过点作球的截面，当垂直截面时，截面面积最小， 此时截面半径为, 最小面积，故A正确； 对于B，当时，， 故, 故B正确； 对于C，到平面距离即到平面的距离， 易知垂直平面， 故到平面的距离为，故C正确； 对于D，设平面的法向量为， 则令，解得. 设与平面的夹角正弦值是， 则，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为 向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 已知直线经过原点，且与直线的夹角为，则直线的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先由题意确定直线l的倾斜角，可得它的斜率，再用点斜式求直线l的方程． 【详解】解：直线的斜率为，故它的倾斜角为6， 由于直线l和它的夹角等于，则直线l倾斜角为30或9， 故直线l的斜率为或不存在， 又∵直线l过原点，故直线l的方程为或， 故答案为：或. 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】解：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. 因为点是棱的中点，所以.设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线和所成角的大小. 【答案】（1） （2） 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以，则， 所以， 所以 （3） 【解析】 【分析】由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； 计算即可证明； 根据向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由题知： 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）， 设直线和MN所成角为， 又 ， ， 则， 所以和所成的角为 16. 已知，，． （1）求点的坐标，满足，； （2）若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果； （2）根据条件可得即可求出结果. 【小问1详解】 设， 由已知得， 又，可得， 即．　① 由已知得， 又，可得， 即．　② 联立①②解得， ∴． 【小问2详解】 设， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得． ∴， 又∵， ∴轴， 故直线MQ的倾斜角为90°． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 【答案】17. 证明如下： 以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； 18. ； 19. . 【解析】 【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证； （II）求出，由运算即可得解； （III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解. 【17题详解】 略 【18题详解】 由（1）得，， 设直线与平面所成角为， 则； 【19题详解】 由正方体的特征可得，平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，． （1）求四棱锥的体积的最大值： （2）若，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，则当平面时，四棱锥的体积取得最大值，然后直接计算即可； （2）根据题意可证平面，然后以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的夹角，再利用平面与平面夹角与法向量的关系，求出两法向量夹角的余弦值的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 设与相交于点，连接， 因为底面是边长为4的正方形，所以为中点，， 又，所以， 所以当平面时，四棱锥的体积取得最大值， 此时， 所以四棱锥的体积取得最大值. 【小问2详解】 ，，即， ，是正方形，， 又平面，所以平面， 所以为原点，为轴，为轴，轴在平面中，建立空间直角坐标系， 设， 则， 设平面的一个法向量， 则， 不妨取，所以， 设平面的一个法向量， 同理可得， ， 所以平面与平面夹角的余弦值的最大值为. 19. 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）． （1）证明：； （2）若． （ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小； （ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1） 取中点为，连接， 因为， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）（ⅰ）直线PB与平面所成角为;（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）取中点为，由题意可得，再结合线面垂直的判定定理及性质定理即可证明； （2）（i）以为原点建立直角坐标系，求以及平面的法向量，利用即可；（ii）利用二面角的向量求法可得，令，则，可得，所以，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为为等腰三角形，，即，所以， 因为为等边三角形，所以， 故，，因，则，即， 又因，所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ，F为线段PB的中点， 则，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 所以， 设直线PB与平面所成角为，则， 又，则， 所以直线PB与平面所成角为， （ii）设平面的法向量为， ， 则， 取，得， 设，所以， 所以， 则平面的法向量为， 则， 取，得， 所以 ， 令，则， 所以， 因为时，， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面角、二面角的向量求法，关键是需要建立空间直角坐标系，由（1）知平面，所以需证明，设， 以为基底来表示与，结合题意即可证明，可得两两互相垂直，从而以为原点，为基底，建立空间直角坐标系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高二年级上学期第一次调研考试 数学试卷 2025.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的点斜式方程可以表示（ ）. A. 任何一条直线 B. 不过原点的直线 C. 不与y轴垂直的直线 D. 不与x轴垂直的直线 2. 空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 三点，，在同一条直线上，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 5. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，，直线l过点且与线段AB相交，则的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，点P是侧面正方形内的动点，点Q是正方形的中心，且PQ与平面所成角的正弦值是，则动点P的轨迹图形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列直线与直线平行的有（ ） A. 直线经过点，直线过点 B. 直线经过点，直线过点 C. 直线经过点，直线的倾斜角为且过原点 D. 直线经过点，直线的斜率为0 10. 已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线l与直线的斜率互为相反数 B. 直线l与直线的倾斜角互补 C. 直线l在y轴上的截距为 D. 这样的直线l有两条 11. 已知正四棱台的各个顶点都在球的表面上，，，，是线段上一点，且，下列选项正确的（ ） A. 当时，过点作球的截面的最小面积 B. 当时，多面体 C. 到平面距离是2 D. 与平面的夹角正弦值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则向量在向量上的投影向量的坐标为________________. 13. 已知直线经过原点，且与直线的夹角为，则直线的方程为__________. 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 四、解答题（共77分） 15. 如图，已知正方体的棱长为1，和分别是和的中点. （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线和所成角的大小. 16. 已知，，． （1）求点的坐标，满足，； （2）若点在x轴上，且，求直线的倾斜角． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，． （1）求四棱锥的体积的最大值： （2）若，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 19. 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）． （1）证明：； （2）若． （ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小； （ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $