2.2平方根与立方根(立方根、估算)同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2.2平方根与立方根(立方根、估算) 考点1: 立方根的概念及开立方 1. 立方根的概念： 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根).[ a可以是正数、负数或0] 2. 立方根的表示方法：记作3，读作“三次根号a”. [根指数3不能省略] 3. 立方根的性质： 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.[每个数a都有一个立方根] · ①立方根等于本身的数为0，1和－1； ②求负数的立方根时，可先将负号移至根号外，再计算； ③互为相反数的两个数，其立方根也互为相反数.[例：8的立方根为2，而－8的立方根为－2] 重要公式：(1)(3)3＝a；(2)3＝a；(3) 3＝－3 · 平方根与立方根的区别与联系： 类别 平方根 立方根 区 别 定义不同 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫作a的平方根. 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 任何数的立方根都只有一个 表示方法不同 非负数a的平方根表示为±，根指数2可以省略不写 数a的立方根表示为“3”，指数3不能省略 被开方数的取值范围不同 在±中，被开方数a是非负数，即a≥0 在3中，开方数a是任意数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究 0的方根 0的立方根和平方根都是0 考点2: 开立方 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数. · ①开立方与立方是互逆运算，开立方往往通过立方运算去完成. ②开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0. 练习1. 1. －8的立方根是( ). A. 4 B.－4 C. 2 D.－2 2. 若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是( ). A.1 B.1或0 C.0 D.±1或0 3. 若一个数的立方根是－，则这个数是( ). A. － B. ± C. － D. ± 4. 下列说法正确的是( ). A.是的立方根　    B.27的立方根为±3 C.－8的立方根是－2　    D.0没有立方根 5. 若a＜0，则a的立方根可以表示为( ). A.3 B.－3 C.±3 D.3 6. 下列计算正确的是( ). A.3＝2 B.3＝－0.4 C.(3)3＝21 D.＝± 7. 已知＝2m＋3，则m的值不可能是( ). A.－ B.－1 C. －2 D.－ 8. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是( ). A. 　    B. 　     C.2　     D.3 9. 当a取 时，3有意义. 10. 计算3＋的结果是 11. 已知2a＋1的平方根是±3，b－6的立方根是－2，求3a－2b的算术平方根. 12. 求下列各式中x的值. (1)729＋(x－1)3＝0. (2)(2－x)3＝－9. 考点3: 用估算法确定无理数的大小 带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法)逐级夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分. · ①“精确到”的意义：精确到1m，是四舍五入到个位，答案唯一. ②常用无理数的估算值：≈1.414，≈1.732，≈2.236 考点4: 无理数的大小比较 算法比较两个数的大小时，若其中有无理数，则先通过分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体比较. 比较两个无理数大小的常用方法： 1. 估算法：估算出所给无理数的近似值，再比较.[如比较与，因为≈1.414＞1，所以＞] 2. 作差法：－＞0，则＞；－＝0，＝；若－＜0，则＜. 3. 乘方法：把含根号的两个无理同时乘方(一般平方或立方)，比较乘方后的数的大小，同时考虑符号确定大小即可.[①当b＜a＜0时，b＞a；②当0＜b＜a时，a＞b] 4. 放缩法：将其中一个数(或两个数)放大或缩小，再比较. 5. 作商法等.[对于任意正实数a，b，有＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b；＞1⇔a＞b] · 当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①a＞b≥0⇔＞；②a＞b ⇔3＞3. 练习2. 1. 估计的值在( ). A.1和2之间　    B.2和3之间 C.3和4之间　    D.4和5之间 2. 估算下列各数，正确的是( ). A.≈5 B.3≈5 C.≈14 D.3≈3 3. 比较下列各组数的大小，正确的是( ). A.1.7＞ B.π＜3.14 C.－＞－ D.5＜3 4. 实数＋1在数轴上的对应点可能是( ). A．点P B．点Q C．点M D．点N 5. 写出一个比－大且比小的整数 . 6. 比较大小： ； (填“＞”“＜”或“＝”). 7. 比较大小：3，，3的大小关系是 (用“＜”连接). 题型1：根据立方根的性质求值 · 若3＝3，则A＝B；若3＋3＝0，则A＝－B. 1. 若3＝9－x，则x的平方根为 2. 若3＋3＝0，求(－2)x. 题型2：利用立方根解决实际问题 1. 如图，长方形ABCD的长和宽的长度比为4:3，面积为612cm2.请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16πcm2的圆? 2. 给出如图所示的长方体容器，BC＝2AB，BB'＝3AB，且这个长方体容器的容积为384 dm3.求AB的长. 题型3：通过估算求代数式的值 · 确定无理数的整数部分、小数部分的方法 (1)确定整数部分的方法：取与其最接近的两个连续整数中较小的那个整数。 (2)确定小数部分的方法：先确定整数部分，然后用这个数减去它的整数部分得出它的小数部分， 即小数部分＝原数－整数部分. 1. 若3的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是( ). A.1 B. C.－1 D.2－ 2. 已知3＋的小数部分是m，3－的小数部分是n，求m＋n的值. 巩固练习： 1. 如果－b是a的立方根，那么下列结论正确的是( ). A．－b也是－a的立方根 B．b也是a的立方根 C．b也是－a的立方根 D．±b都是a的立方根 2. 设n是大于1的整数，则等式－＝2中的n必是( ). A．大于1的偶数 B．大于1的奇数 C．2 D．3 3. 若a与b互为相反数，则它们的立方根的和是 ． 4. |－1|＝ ,|－2|＝ . 5. a是的整数部分，b是的整数部分，则a2＋b2＝ . 6. 当x为 时，有意义；当x为 时，有意义． 7. 已知＋|b3－27|＝0，求(a－b)b的立方根. 8. 已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127cm3，求第二个纸盒的棱长. 9. 如果球的半径是r，则球的体积用公式V＝πr3来计算．当体积V＝500立方厘米，半径r是多少厘米？(取3.14，r精确到0.01厘米) 10. 上午10时，有两艘船同时从某海港出发，一艘船以每小时20海里的速度向东北方向航行，另一艘船以每小时18海里的速度向东南方向航行，3小时后，两船相距多少海里？ 11. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为－，设点B表示的数为m.   (1)求m的值. (2)求|m＋1|＋m＋2－2的值. 12. 如图，公路MN和公路PG在点P处交汇，点A处有一所中学，且A点到MN的距离是50米.假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 13. 在某消防队的一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端到墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°. (1)求这架云梯顶端到地面的距离. (2)在演练过程中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救被闲人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端到墙脚的距离不小于云梯长度的那么云梯和消防员相对安全在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救被困人员? 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2平方根与立方根(立方根、估算) 考点1: 立方根的概念及开立方 1. 立方根的概念： 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根).[ a可以是正数、负数或0] 2. 立方根的表示方法：记作3，读作“三次根号a”. [根指数3不能省略] 3. 立方根的性质： 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.[每个数a都有一个立方根] · ①立方根等于本身的数为0，1和－1； ②求负数的立方根时，可先将负号移至根号外，再计算； ③互为相反数的两个数，其立方根也互为相反数.[例：8的立方根为2，而－8的立方根为－2] 重要公式：(1)(3)3＝a；(2)3＝a；(3) 3＝－3 · 平方根与立方根的区别与联系： 类别 平方根 立方根 区 别 定义不同 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫作a的平方根. 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 任何数的立方根都只有一个 表示方法不同 非负数a的平方根表示为±，根指数2可以省略不写 数a的立方根表示为“3”，指数3不能省略 被开方数的取值范围不同 在±中，被开方数a是非负数，即a≥0 在3中，开方数a是任意数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究 0的方根 0的立方根和平方根都是0 考点2: 开立方 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数. · ①开立方与立方是互逆运算，开立方往往通过立方运算去完成. ②开立方时，被开方数可以是正数、负数，也可以是0. 练习1. 1. －8的立方根是( D ). A. 4 B.－4 C. 2 D.－2 2. 若一个数的立方根与它的算术平方根相同，则这个数是( B ). A.1 B.1或0 C.0 D.±1或0 3. 若一个数的立方根是－，则这个数是( C ). A. － B. ± C. － D. ± 4. 下列说法正确的是( C ). A.是的立方根　    B.27的立方根为±3 C.－8的立方根是－2　    D.0没有立方根 5. 若a＜0，则a的立方根可以表示为( A ). A.3 B.－3 C.±3 D.3 6. 下列计算正确的是( B ). A.3＝2 B.3＝－0.4 C.(3)3＝21 D.＝± 7. 已知＝2m＋3，则m的值不可能是( A ). A.－ B.－1 C. －2 D.－ 8. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是( A ). A. 　    B. 　     C.2　     D.3 9. 当a取 任意实数 时，3有意义. 10. 计算3＋的结果是 －1 11. 已知2a＋1的平方根是±3，b－6的立方根是－2，求3a－2b的算术平方根. 解：　∵2a＋1的平方根是±3， ∴2a＋1＝(±3)2＝9，解得a＝4. ∵b－6的立方根是－2， ∴b－6＝(－2)3＝－8，解得b＝－2, ∴3a－2b＝12＋4＝16， ∴3a－2b的算术平方根是＝4. 12. 求下列各式中x的值. (1)729＋(x－1)3＝0. (2)(2－x)3＝－9. 解：(1) x＝－8；(2) x＝5 考点3: 用估算法确定无理数的大小 带根号的无理数的近似值的求解，可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”(即两边无限逼近的方法)逐级夹逼，首先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分. · ①“精确到”的意义：精确到1m，是四舍五入到个位，答案唯一. ②常用无理数的估算值：≈1.414，≈1.732，≈2.236 考点4: 无理数的大小比较 算法比较两个数的大小时，若其中有无理数，则先通过分析，估算出无理数的大致取值范围，再进行具体比较. 比较两个无理数大小的常用方法： 1. 估算法：估算出所给无理数的近似值，再比较.[如比较与，因为≈1.414＞1，所以＞] 2. 作差法：－＞0，则＞；－＝0，＝；若－＜0，则＜. 3. 乘方法：把含根号的两个无理同时乘方(一般平方或立方)，比较乘方后的数的大小，同时考虑符号确定大小即可.[①当b＜a＜0时，b＞a；②当0＜b＜a时，a＞b] 4. 放缩法：将其中一个数(或两个数)放大或缩小，再比较. 5. 作商法等.[对于任意正实数a，b，有＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b；＞1⇔a＞b] · 当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①a＞b≥0⇔＞；②a＞b ⇔3＞3. 练习2. 1. 估计的值在( D ). A.1和2之间　    B.2和3之间 C.3和4之间　    D.4和5之间 2. 估算下列各数，正确的是( A ). A.≈5 B.3≈5 C.≈14 D.3≈3 3. 比较下列各组数的大小，正确的是( C ). A.1.7＞ B.π＜3.14 C.－＞－ D.5＜3 4. 实数＋1在数轴上的对应点可能是( D ). A．点P B．点Q C．点M D．点N 5. 写出一个比－大且比小的整数 2(答案不唯一) . 6. 比较大小： ＜ ； ＞ (填“＞”“＜”或“＝”). 7. 比较大小：3，，3的大小关系是 3＜3＜ (用“＜”连接). 题型1：根据立方根的性质求值 · 若3＝3，则A＝B；若3＋3＝0，则A＝－B. 1. 若3＝9－x，则x的平方根为 ±3 2. 若3＋3＝0，求(－2)x. 解：由题意得：3＝－3＝3 ∴ 2x－1＝－(x＋7)，解得x＝－2， ∴(－2)x＝(－2)-2＝ 题型2：利用立方根解决实际问题 1. 如图，长方形ABCD的长和宽的长度比为4:3，面积为612cm2.请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16πcm2的圆? 此长方形内沿着AB边并排最多能裁出3个面积为16πcm2的圆 2. 给出如图所示的长方体容器，BC＝2AB，BB'＝3AB，且这个长方体容器的容积为384 dm3.求AB的长. AB的长为4dm 题型3：通过估算求代数式的值 · 确定无理数的整数部分、小数部分的方法 (1)确定整数部分的方法：取与其最接近的两个连续整数中较小的那个整数。 (2)确定小数部分的方法：先确定整数部分，然后用这个数减去它的整数部分得出它的小数部分， 即小数部分＝原数－整数部分. 1. 若3的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是( C ). A.1 B. C.－1 D.2－ 2. 已知3＋的小数部分是m，3－的小数部分是n，求m＋n的值. m＋n＝－1＋2－＝1 巩固练习： 1. 如果－b是a的立方根，那么下列结论正确的是( C ). A．－b也是－a的立方根 B．b也是a的立方根 C．b也是－a的立方根 D．±b都是a的立方根 2. 设n是大于1的整数，则等式－＝2中的n必是( B ). A．大于1的偶数 B．大于1的奇数 C．2 D．3 3. 若a与b互为相反数，则它们的立方根的和是 0 ． 4. |－1|＝_－1_,|－2|＝__2－____. 5. a是的整数部分，b是的整数部分，则a2＋b2＝___13___. 6. 当x为 x＞3 时，有意义；当x为 x＜5且x≠－8 时，有意义． 7. 已知＋|b3－27|＝0，求(a－b)b的立方根. 答案：－343 8. 已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127cm3，求第二个纸盒的棱长. 答案：7cm 9. 如果球的半径是r，则球的体积用公式V＝πr3来计算．当体积V＝500立方厘米，半径r是多少厘米？(取3.14，r精确到0.01厘米) 答案：4.92厘米 10. 上午10时，有两艘船同时从某海港出发，一艘船以每小时20海里的速度向东北方向航行，另一艘船以每小时18海里的速度向东南方向航行，3小时后，两船相距多少海里？答案：80.7海里 11. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为－，设点B表示的数为m.   (1)求m的值. (2)求|m＋1|＋m＋2－2的值. 答案：(1)m＝2－. (2)原式＝3 12. 如图，公路MN和公路PG在点P处交汇，点A处有一所中学，且A点到MN的距离是50米.假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？ 答案：有影响，学校受影响的时间为20秒 13. 在某消防队的一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端到墙脚的距离BC＝7m，∠DCE＝90°. (1)求这架云梯顶端到地面的距离. 答案：这架云梯顶端到地面的距离为24m. (2)在演练过程中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救被闲人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端到墙脚的距离不小于云梯长度的那么云梯和消防员相对安全在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头去救被困人员? 答案：云梯顶端到地面的距离最大，在相对安全的前提下云梯的顶端能到达 24.3m高的墙头去救被困人员 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $