第16讲 解直角三角形　讲义　2022年暑假沪教版（上海）八升九新课衔接课

第16讲 解直角三角形 知识归纳 思考：如图所示，一棵大树在一次强台风中离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处，那么大树在折断之前有多高？ 备注：在上例中，还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形 讨论：Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些关系呢？ 即Rt△ABC的边和角、三边、角和角有什么关系？ 参考答案：直角三角形的边与角之间的关系： (1)两锐角互余：∠A＋∠B＝90°； (2)三边满足勾股定理：； (3)边与角关系：，， ，。 思考：在直角三角形中，我们至少知道哪些元素就可以求出其余元素？ 参考答案：知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素 备注：老师可以引导学生回顾直角三角形全等判定条件来寻找答案。 解直角三角形无非以下两种情况： (1)已知两条边，求其它边和角. (2)已知一条边和一个锐角，求其它边角 典型例题 【题型一：解直角三角形】 例题1：中，，已知AB = 6.4，，则______，AC =______， BC =______．（，，边长精确到0.1） 例题2：如图，在中，，AB = AC，D为边AC的中点，于点E， 连接BD，则的值为（ ）A B C D E A． B． C． D． 例题3：如图，先将斜边AB长6 cm，的直角三角板ABC绕点C顺时针方向旋转 90°至位置，再沿CB向左平移，使点B落在原三角板ABC位置的斜边AB上， 则平移的距离为______．A B C 例题4：如图，正方形ABCD中，E为边BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合， 折痕为MN，若，DC + CE =10．A B C D E N M （1）求的面积； （2）求的值． 例题5：小智在学习特殊角的三角比时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过B点的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，折痕BM．还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕EN．利用这种方法，可以求出的值是，试证明之． A B C D E F N M 【题型二：解非直角三角形】 例题1：在锐角中，AB = 14，BC = 14，，求cot C的值． 例题2：如图，中，，，，求BC的长． 例题3：已知中， 例题4：如图，在四边形ABCD中，已知AD = AB = BC，连接AC，且， ，CD = 3，求AC的长． 课上习题 1. 如图，菱形ABCD的边长为15，，则对角线AC的长为______． 2.如图，中，，．D是BC上一点，已知， DC = 6，求的值． 3.如图，和都是等边三角形，AB = 2AD，已知，AC与DE相交于点F，的面积为，求阴影部分的面积． A B C D E 4.如图，在四边形ABCD中，，． （1）若AD = 2，求AB； （2）若，求AB． 5.利用几何图形，求sin 18°的值． 6.在平面直角坐标系内，放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示）．点在y轴 上，点、、、、、、在x轴上．已知正方形的边长为1， ，////，则点到x轴的距离是（ ） A． B． C． D．x y O 7.如图所示，已知边长为2的正三角形ABC沿直线l顺时针滚动． （1）当滚动一周到的位置时，A点所运动的路程约为______；（精确到0.1） （2）设滚动240°，C点的位置为，当滚动480°时，A点的位置再，请你利用正切的两角和公式，求出的度数． A B C A1 B1 C1 D E 6.如图，CD是的中线，已知，，求的值 7.如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB = 4，BC = 6，，点 E、F分别在BC、AC上（点E与B、C不重合），设BE = x，AF = y． （1）求； （2）求证：∽； （3）求y关于x的代数式； （4）当点E在BC上移动时，是否有可能是直角三角形？若有可能，请求出BE的长； 若不能，请说明理由． 8.如图（a）所示，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E 是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG． （1）连接GD，求证：≌； （2）连接FC，观察并猜测的度数，并说明理由； （3）如图（b）所示，将图（a）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB = a，BC = b（a、b 为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN上方作矩 形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，的大 小是否总保持不变，若的大小不变，请用含a、b的代数式表示的值； 若的大小改变，请举例说明． A B C D E F N M G A B C D E F N M G 图（a） 图（b）