4.1 成比例线段（知识梳理+考点突破+课后巩固）2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第四章 图形的相似 (一)成比例线段 知识梳理 知识点1：比例线段 1.线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a:b=m:n, a m 或写成bn. 2,成比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:bc:d,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. 3.比例的基本性质： (1)若a:bc:d,则ad=bc: (2)若a:b=b:c,则b2ac(b称为a、c的比例中项). 4.黄金分割 定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段，如果 那么线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金分割比 A C B 第1页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 5-1 胜查事项：DAC,AB0.68BO.68是黄金分制的近以值，2是黄金分制的准 2 长短5-1 确值).简记为： 全长2 知识点2：相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： (1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形： (2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形 是全等： 知识点3：相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形. 注意：(1)相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质. (2)相似多边形对应边的比称为相似比. 考点突破 考点一：比例性质 X的值为 x2y的值为 例题：1.若3x=4y,则X-y X+y 第2页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 《答案】4： X-y+Z 2.x:y:2=2:3:4,则2x+3y-z的值为 【答案】2 巩固训练 x-6 1.已知y7,则下列结论一定成立的是() xy=13 A.x=6,y=7 B.y7 C.y-x=1 D. 76 【答案】B a+b 5 a-2b 2,若03，则b 的值为 1 【答案】 2 3.若===（b一2d+3f≠0)，则的值为 2 【答案】3 考点二：比例线段 例题：已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3,b=6,c=2,则线段d的长为() A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.4 【答案】D 巩固训练 第3页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 1.若线段a=2cm,线段b=18cm,则a,b的比例中项c为() A.4cm B.5cm C.6cm D.32cm 【答案】C a_2 2.如果b3,且b是a和c的比例中项，那么c等于() 3 A.4 B.3 c. 【答案】D 考点三：黄金分割比 例题：在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的 高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设 计高度约是（结果精确到0.01m.参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236）() A.0.73m B.1.24m C.1.37m D.1.42m 【答案】B 巩固训练 1.已知线段AB=2,点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),则线段AP的长为() W5-1 3-W5 A.V5-1 B. 2 C.3-√5 D. 2 【答案】A 第4页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 2.已知M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM. (I)写出AB,AM,BM之间的比例式： (2)如果AB=12cm,求AM与BM的长. BM AM 【答案】（①AMAB2AM=(6V5-6)cm,BM=(18-6V5)cm 考点四：相似图形 例题：人们出行方式越来越丰富，以下四组LOGO中，不相似的一组是() 关细出九百 知州切圆 B. 郑州公交郑州公交 孕 中国铁路 中国铁路 中恩然亲 昆明航空 C.CHINA RAILWAY CHINA RAILWAY D. Kunming Airlines 【答案】D 巩固训练 1.下列各组中两个图形不一定相似的是() A.有一个角是110°的两个等腰三角形 B.两个等腰直角三角形 C.有一个角是45的两个等腰三角形 D.两个等边三角形 【答案】C 考点五：相似多边形的性质 例题：若两个相似三边形的面积之比为4：1，则它们的周长之比为() A.1:4 B.1:2 C.2:1 D.4:1 【答案】C 第5页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 巩固训练 1.如图，四边形ABCD~四边形EFGH,∠A=80°，∠C=90°，∠F=70°，则∠H等于() A.70° B.80° C.110° D.120 【答案】D 2.若两个相似多边形的面积比为9：4，则它们的对应边的比是() A.3:2 B.2:3 C.9:4 D.4:94 【答案】A 课后巩固 一88一一 1 a=0.2,b=1.2,c=3,d= 1.已知： 2,则下列各式中正确的是() A.a:b=c:d B.a:c=d:b C.a:b=d:c D.b:a=d:c 【答案】C 2.下列四组线段中，是成比例线段的是( A.5cm,6cm,7cm,8cm B.3cm,6cm,2cm,5cm C.2cm,4cm,6cm,8cm D.12cm,8cm,15cm,10cm 【答案】D AP BP 3.P是线段AB上一点(AP>BP),且满足AB=P,则称点P是线段AB的黄金分割点.大自然是美的 设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”.如图，一片树叶的叶脉AB长度为l0℃m,P 为AB的黄金分割点(AP>BP),求叶柄BP的长度.设BP=xCm,则符合题意的方程是() 第6页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ A.(10-x)2=10x B.x2=10(10-x) C.x(10-x)=102 D.10(1-x)2=10-x 【答案】A 4.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为() A.135° B.90° C.60° D.45° 【答案】D 5.两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2,则较大多边形的面积为() A.16cm2 B.54cm2 C.32cm2 D.48cm2 【答案】C 6.如图，乐器上的一根弦AB=100c,两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金 分割点上，则C、D之间距离为cm(保留根号)· A C D B 【答案】(100V5-200)/(-200+100V5) 【详解】解：，点C,点D是AB的黄金分割点， 第7页共8页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ AD=BC=85-1AB=851×100=(6035-50)cm, 2 2 .CD=AD+BC-AB=100V5-100-100=(1005-200)cm, 故答案为：（1005-200). a b c 7.已知a,b,c为△ABC的三边长，且a+b+c=36,345,求△ABC三边的长 【答案】a=9,b=12,c=15 第8页共8页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 第四章 图形的相似 (一)成比例线段 知识梳理 知识点1：比例线段 1.线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a:bm:n, 或写成“=m b n 2.成比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. 3.比例的基本性质： (1)若a:b=c:d,则ad=bc; (2)若a:b=b:c,则b2=ac(b称为a、c的比例中项). 4.黄金分割 定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段，如果 ,那么线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金分割比 注意事项：(1)4C=5-1 AB≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值， 2 -1是黄金分割的准确值.简记为： 长短v5-1 2 全长 2 知识点2：相似图形 第1页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： (1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形： (2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形 是全等； 知识点3：相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形. 注意：(1)相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质. (2)相似多边形对应边的比称为相似比. 考点突破 8-g一g一- 考点一：比例性质 例题：1.若3x=4y,则X的值为 x-2y的值为 X-y x y 2.x:y:2=2:3:4,则X-y+2的值为 2x+3y-Z 巩固训练 1.己知x=6 则下列结论一定成立的是() y 7 A.x=6,y=7 B.xty 13 C.y-x=1 D. x_y 76 a3则a2 2.若a+b-5 的值为 b 第2页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 3.若ab=cd=ef=23(b-2d+3f≠0)，则a-2c+3eb-2d+3f的值为 考点二：比例线段 例题：已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3,b=6,c=2,则线段d的长为() A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.4 巩固训练 1.若线段a=2cm,线段b=18cm,则a,b的比例中项c为() A.4cm B.5cm C.6cm D.32cm 2.如果3=2，且b是a和c的比例中项，那么b等于() b 3 A是 B.4 3 c.3 2 D号 考点三：黄金分割比 例题：在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高 度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高 度约是（结果精确到0.01m.参考数据：√2≈1.414，V3≈1.732，√5≈2.236）() A.0.73m B.1.24m C.1.37m D.1.42m 第3页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 巩固训练 1.已知线段AB=2,点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),则线段AP的长为() A.√5-1 B.5-1 C.3-V5 D.3-5 2 2 2.已知M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM (I)写出AB,AM,BM之间的比例式； (2)如果AB=12cm,求AM与BM的长. 考点四：相似图形 例题：人们出行方式越来越丰富，以下四组L0G0中，不相似的一组是() 郑州州轨意 B. 郑州公交郑州公交 ① 中国铁路 中国航空 昆明航空 C.CHINA RAILWAY 中国铁路 D AIRCHINA CHINA RAILWVAY Kunming Airlines 巩固训练 1.下列各组中两个图形不一定相似的是() A.有一个角是110°的两个等腰三角形 B.两个等腰直角三角形 C.有一个角是45°的两个等腰三角形 D.两个等边三角形 第4页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点五：相似多边形的性质 例题：若两个相似三边形的面积之比为4：1，则它们的周长之比为() A.1:4 B.1:2 C.2:1 D.4:1 巩固训练 1.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH,∠A=80°，∠C=90°，∠F=70°，则∠H等于() C A.70° B.80 C.110 D.120° 2.若两个相似多边形的面积比为9：4，则它们的对应边的比是() A.3:2 B.2:3 C.9:4 D.4:94 课后巩固 1.已知：a=0.2,b=12,c=3,d=},则下列各式中正确的是(） A.a:b=c:d B.a:c=d:b C.a:b=d:c D.b:a=d c 2.下列四组线段中，是成比例线段的是( A.5cm,6cm,7cm,8cm B.3cm,6cm,2cm,5cm C.2cm,4cm,6cm,8cm D.12cm,8cm,15cm,10cm 第5页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 3P是线段AB上一点(AP>BP),且满足P=P 则称点P是线段AB的黄金分割点.大自然是美的设 AB AP 计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”.如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm,P为 AB的黄金分割点(AP>BP),求叶柄BP的长度.设BP=xcm,则符合题意的方程是() 。 A.(10-x)2=10x B.x2=10(10-x) C.x(10-x)=102 D.10(1-x)2=10-x 4.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度数为() B A.135 B.90° C.60 D.45° 5.两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2,则较大多边形的面积为() A.16cm2 B.54cm2 C.32cm2 D.48cm2 6.如图，乐器上的一根弦AB=100cm,两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄 金分割点上，则C、D之间距离为 cm(保留根号). D 第6页共7页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 已知a,b,c为△ABC的三边长，且a+b+c=36,?=(=求△ABC三边的B 第7页共7页