期中专项提升01【高频选择80题 范围：21-23章】2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册专项提升训练 (期中专题01高频选择题80题) 目录概览 考点一 一元二次方程 考点二 解一元二次方程 考点三 一元二次方程与实际问题 考点四 二次函数的图象与性质 考点五 二次函数与一元二次方程 考点六 二次函数与实际问题 考点七 旋转及其性质 考点八 中心对称图形 同步精练 考点一 一元二次方程 1．已知关于x的一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 3．若m是方程的根，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 4．关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 5．根据下列表格的对应值可知，方程（，、、为常数）一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 6．若方程是关于的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 7．关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 8．把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 9．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 10．若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 考点二 解一元二次方程 11．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 12．小华在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则（    ） A． B． C． D．或 13．如图是小文用配方法解一元二次方程的解答过程，其中最先开始出错的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 14．若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 16．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 17．下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 18．方程的解是（   ） A． B． C． D． 19．三角形的两边长分别为3，5，第三边是方程的根，则三角形的周长是（　　） A．4 B．4或8 C．12 D．12或16 20．一元二次方程的两根分别为、，则（　　） A． B． C．4 D． 考点三 一元二次方程与实际问题 21．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 22．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后就有64人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 23．某公司去年年底已累计投资200万元，今后两年计划继续增加投资，若两年增加的百分比相同，且使今后两年共投资750万元，设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 24．江西省某景区在2022年共接待游客100万人．当地政府对该景区进一步开发建设，该景区2024年游客量达到121万人，则该景区这两年游客量的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 25．如图，琳琳的爸爸用一段长的铁丝网圈成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍、其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则长为（   ）． A．或 B．或 C． D． 26．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余面积为30的矩形空地，则原正方形空地的边长为（   ） A．9m B．8m C．7m D．6m 27．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．则而立之年的周瑜逝世时的年龄是（   ）． A． B． C． D． 28．阅读下面的诗词然后解题：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”请你算出周瑜去世时的年龄是（    ） A．25岁 B．30岁 C．35岁 D．36岁 29．天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（   ） A． B． C． D． 30．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过多长时间，四边形的面积等于．（   ） A． B． C．或 D．无法确定 考点四 二次函数的图象与性质 31．下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 32．若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 33．已知抛物线上有点两点，对于任意实数m，若，，都有，则a的值为（  ） A． B． C． D．3 34．抛物线的顶点是（   ） A． B． C． D． 35．将二次函数的图象向右平移4个单位长度，在平移的过程中图象与轴的交点记为点，则动点的运动情况是（　　） A．持续向上 B．持续向右 C．先向上再向下 D．先向下再向上 36．二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 37．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 39．将二次函数化成的形式是（    ） A． B． C． D． 40．如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点五 二次函数与一元二次方程 41．二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表所示，根据表中的数据可知，下列说法中不正确的是（   ） x … 1 3 … y … 0 5 9 5 … A．这个函数的图象顶点为 B．抛物线与x轴的交点坐标为和 C．这个函数的最大值为9 D．当时，y的值随x值的增大而减小 42．抛物线与坐标轴有3个交点，则（   ） A． B．且 C． D．且 43．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 44．由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（   ） x A． B． C． D． 45．已知二次函数的图象上有两点A和B，则的值等于(    ) A．1 B． C．2025 D． 46．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点A的坐标是，与x轴的一个交点B的坐标为，直线经过A，B两点．下列结论错误的是（   ） A． B．方程有两个相等的实数根 C．当时， D．抛物线与x轴的另一个交点是 47．二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 48．关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．当时，y有最大值2 49．如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴正半轴交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．若，是抛物线上的两个点，则 50．如图，在平面直角坐标系中，直线经过抛物线（，为常数，且）的顶点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点六 二次函数与实际问题 51．如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（   ） A．与的关系式为 B．当时， C．当时， D．当时，的最大值为 52．如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 53．如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶部的高度为（   ） A． B． C． D． 54．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（　　） A． B． C． D． 55．黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一．新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天销售额为元，之后每天销售额按相同的增长率增长，第三天的销售额为元．设增长率为，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 56．日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒 57．如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．若，则小球的最大速度为 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 58．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 59．如果抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“量子三角形”．现有以下说法： ①抛物线不存在“量子三角形”； ②若抛物线的“量子三角形”是正三角形，则该正三角形的面积是； ③若抛物线中系数，，均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条． 其中，正确的说法个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 60．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①，；②与轴的另一个交点为；③（为任意实数）；④若点，，且线段与抛物线只有一个个交点，则．其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 考点七 旋转及其性质 61．如图，点A的坐标是，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 62．如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 63．如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 64．如图，，在一条直线上，且和是一对对应顶点，如果，那么将围绕点顺时针旋转（   ）与重合． A． B． C． D． 65．如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 66．如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 67．如图，O是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则是（    ） A． B． C． D． 68．如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（   ） A． B． C． D． 69．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 70．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 考点八 中心对称图形 71．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 72．在平面直角坐标系中，将点的横坐标乘以，纵坐标乘以，得到点，则点A与点的关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点 73．在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 74．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 75．下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；⑥平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 76．数轴上点、点表示数如图所示，且点与点关于点成中心对称，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 77．如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 78．已知，则点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 79．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 80．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级数学上册专项提升训练 (期中专题01高频选择题60题) 目录概览 考点一 一元二次方程 考点二 解一元二次方程 考点三 一元二次方程与实际问题 考点四 二次函数的图象与性质 考点五 二次函数与一元二次方程 考点六 二次函数与实际问题 考点七 旋转及其性质 考点八 中心对称图形 高频精练 考点一 一元二次方程 1．已知关于x的一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程概念即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由一元二次方程可得二次项系数为、一次项系数为、常数项为， 故选：． 2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，由题意可得：，且，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：， 故选：B． 3．若m是方程的根，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故选A． 4．关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于时，有，于是可判断此方程必有一根为． 【详解】解：当时，，则， 所以若，则此方程必有一根为． 故选：B． 5．根据下列表格的对应值可知，方程（，、、为常数）一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程近似解的估算，掌握一元二次方程估算方法是解决问题的关键． 根据二次函数图象与轴交点的横坐标就是方程的根，从而可知交点的横坐标左右所取的值代入得到的值异号即可． 【详解】解：根据题意，重新列表如下： 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 当时，存在一个使， 即方程（，、、为常数）一个解的范围是， 故选：D． 6．若方程是关于的一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B． 7．关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 8．把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 【详解】解：， ， 整理，得， 故选：C． 9．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键． 由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为3． 【详解】解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3． 故选B． 10．若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 考点二 解一元二次方程 11．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A．4， B．4， C．4， D．4， 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，由得，，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A 12．小华在计算正数的平方时，误算成与的积，求得的答案比正确答案小，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题意是解答的关键．根据题意得到，进而解方程即可求解． 【详解】解：由题意，，即， 解得， ∵a为正数， ∴． 故选：C． 13．如图是小文用配方法解一元二次方程的解答过程，其中最先开始出错的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 根据配方法的步骤，逐步进行判断即可． 【详解】解：……第一步， ……第二步， ∴小文在第二步的时候，开始出现错误； 故选：B． 14．若关于的一元二次方程有实数根，则字母的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，，且二次项系数不为0，即可求出k的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：，且， ∴的取值范围是且， 故选：D． 15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程有两个相等的实数根，即 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ． 故选：D． 16．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，能够利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 根据一元二次方程的定义及根的判别式得出，且，求出k的值即可． 【详解】解：， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， ∴，且， 故选：D． 17．下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 18．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程．解此题的关键是熟练掌握解一元二次方程的各种方法，灵活运用． 分解因式得出，推出方程，即可求出方程的解． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：B． 19．三角形的两边长分别为3，5，第三边是方程的根，则三角形的周长是（　　） A．4 B．4或8 C．12 D．12或16 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，求得方程的两根是解题的关键，注意分类讨论． 因式分解法解方程可求得三角形的第三边，再根据三角形三边关系进行取舍即可求得答案． 【详解】解：解方程可得或， 当第三边为4时，则三角形的三边长为3、4、5，满足三角形三边关系，其周长为12； 当第三边为8时，则三角形的三边长为，不满足三角形三边关系，舍去． 则此三角形的周长为12． 故选：C． 20．一元二次方程的两根分别为、，则（　　） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入计算求值即可． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为、， ，， ， 故选：C． 考点三 一元二次方程与实际问题 21．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出个小分支，则主干、支干和小分支的总数是个分支，即可列方程． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意列方程得：． 故选：A． 22．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后就有64人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：C． 23．某公司去年年底已累计投资200万元，今后两年计划继续增加投资，若两年增加的百分比相同，且使今后两年共投资750万元，设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设今后两年投资的年平均增长率为x，则今年投资万元，明年投资万元，再根据“今后两年共投资750万元”建立方程． 【详解】解：设今后两年投资的年平均增长率为x，则可列方程为， 故选：D． 24．江西省某景区在2022年共接待游客100万人．当地政府对该景区进一步开发建设，该景区2024年游客量达到121万人，则该景区这两年游客量的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该景区这两年接待游客的年平均增长率为，利用该景区2024年接待游客人次数该景区 2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年平均增长率为， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B． 25．如图，琳琳的爸爸用一段长的铁丝网圈成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍、其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则长为（   ）． A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设，则，根据题意列方程为求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴长为． 故选：D． 26．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，绿化后一边减少了3m，另一边减少了2m，剩余面积为30的矩形空地，则原正方形空地的边长为（   ） A．9m B．8m C．7m D．6m 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、列出方程是解题的关键； 设原正方形空地的边长为，根据矩形的面积列出方程，解方程即可. 【详解】解：设原正方形空地的边长为，根据题意可得：， 整理可得：， 解得：（不合题意，舍去） 即原正方形空地的边长为， 故选：B. 27．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．则而立之年的周瑜逝世时的年龄是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键，并且理解而立之年是一个人30岁的年龄．根据题意，十位数字为，周瑜逝世的年龄为，且个位数字的平方刚好是周瑜逝世的年龄，即，由此列式即可． 【详解】解：个位数字为x，则十位数字为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 即，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：周瑜去世时的年龄为岁． 故答案选：D． 28．阅读下面的诗词然后解题：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”请你算出周瑜去世时的年龄是（    ） A．25岁 B．30岁 C．35岁 D．36岁 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人30岁的年龄，说明周瑜去世时年龄是大于30岁的.设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为，根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论. 【详解】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为，由题意得： 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 故选：D 29．天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得每瓶盈利元，销售量为瓶，再根据总盈利等于每瓶的盈利乘以销售量列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 30．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止移动，经过多长时间，四边形的面积等于．（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—动点问题，解题的关键是正确列出方程． 首先表示出，，然后根据题意得到，然后代入求解即可． 【详解】解：点P的速度是，点Q的速度是，，，， ∴点P从点A到点B的时间为（秒），点Q从点B到点C的时间为（秒）， 设Q运动的时间为， ∴，， ∴， ∵四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， 解得，，， 当时，点Q和点C重合，不能围成四边形，应舍去， ∴． ∴经过时，四边形的面积等于． 故选：A． 考点四 二次函数的图象与性质 31．下列函数一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中都是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、函数中，未知数的最高次数不是2，不是二次函数，不符合题意； B、函数是二次函数，符合题意； C、函数中，等式右边不是整式，不是二次函数，不符合题意； D、函数中，当时，原函数不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 32．若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是熟练掌握 二次函数图象上点的坐标特征．将三个点分别代入求值，进行比较即可． 【详解】解：将点都分别代入， 得，，，， ∴． 故选：C． 33．已知抛物线上有点两点，对于任意实数m，若，，都有，则a的值为（  ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴和开口方向，则可得到增减性，求出点A关于对称轴的对称点的坐标为，可得，则可推出，进而得到当时，，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，且函数开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，点A关于对称轴的对称点坐标为 ∵，， ∴， ∴点B和点都在对称轴右侧， ∴， ∵， ∴ ∵对于任意的m都满足，即， ∴当时，， ∴， ∴， 故选：B． 34．抛物线的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 35．将二次函数的图象向右平移4个单位长度，在平移的过程中图象与轴的交点记为点，则动点的运动情况是（　　） A．持续向上 B．持续向右 C．先向上再向下 D．先向下再向上 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数向右平移的过程中，分析其与y轴交点纵坐标的变化情况即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点为， ∴向右平移t个单位后，函数变为， 当平移过程中与y轴交于点P时，令，得， ∴当t从0增加到4时，从2变为，平方项先减小到0（当时），再增大到4， ∴y的值从先减小到，再增大到， ∴动点P的纵坐标先减小后增大，即运动轨迹为先向下再向上， 故选D． 36．二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象和性质，掌握它们的性质是解题的关键．根据二次函数图象开口方向可以判断出的符号，由对称轴的位置判断b的符号，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象可知，函数图形开口向下， ∴ ∴一次函数中随的增大而减小， ∵抛物线的对称轴直线在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数交于轴的正半轴， ∴一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 37．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键． 先确定图像的开口方向和对称轴，再根据增减性质求解即可． 【详解】解：二次函数， 图像开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 解得：， 故选：D． 38．如图，抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，是轴上的一个动点．当的值最小时，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先求出，，过点作轴的对称点，则，连接，交轴于点，由对称可得，，则，那么当点共线时，取得最小值，此时与重合，再求出直线的表达式，即可求解与轴的交点． 【详解】解：对于抛物线，当时，， ∴， ∵， ∴， 过点作轴的对称点，则，连接，交轴于点，    由对称可得，， ∴， 当点共线时，取得最小值，此时与重合， 设直线， ∴， ∴， ∴直线， 当时，， ∴， ∴此时， 故选：A． 39．将二次函数化成的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键． 利用配方法整理即可解答． 【详解】解：． 故选：C． 40．如图，二次函数与轴交点的横坐标为，与轴正半轴的交点为，，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析的能力，用了数形结合思想．根据函数图象即可判断①②；由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，进而对结论③④进行判断． 【详解】解：由图象可知，当时，，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵抛物线与x轴的交点是和，其中， ∴对称轴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故④正确． 故正确的有3个． 故选：B． 考点五 二次函数与一元二次方程 41．二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表所示，根据表中的数据可知，下列说法中不正确的是（   ） x … 1 3 … y … 0 5 9 5 … A．这个函数的图象顶点为 B．抛物线与x轴的交点坐标为和 C．这个函数的最大值为9 D．当时，y的值随x值的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，最值问题，对称问题，抛物线与坐标轴的交点问题等知识点，解题的关键是正确利用表格中的数据进行分析． 先由表格可得当和时的函数值相等，继而确定对称轴为直线，然后即可判断B，由表格可得，当时，y的值随x值的增大而增大，即可判断A、C、D． 【详解】解：由表格可得当和时的函数值相等， ∴对称轴为直线，由表格可得顶点为， 由表格可得，当时，y的值随x值的增大而增大， ∴抛物线开口向下， ∴这个函数的最大值为9， ∵时，，且对称轴为直线， ∴当时，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 故A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 42．抛物线与坐标轴有3个交点，则（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点情况，由已知条件可知抛物线与x轴有两个交点，只需即可． 【详解】解：∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点，且抛物线与y轴必有一个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 解得：， ∵当时，抛物线过原点，此时抛物线与坐标轴只有两个交点， ∴， ∴k的取值范围为：且， 故选：B． 43．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象和性质，掌握二次函数与一次函数的交点的含义是解题关键．根据题意可知方程的解即为抛物线和直线的交点的横坐标，即可得解． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为， 方程的解是， 故选：B． 44．由下列表格的对应值，并根据二次函数的图象的对称性，由此可以判断方程正数解的分布范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解，根据表格可得方程的解在，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：根据表格可得方程的一个解的范围在， ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴方程正数解的分布范围是， 故选：B． 45．已知二次函数的图象上有两点A和B，则的值等于(    ) A．1 B． C．2025 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，根据题意，易得，为一元二次方程的两个根，根据一元二次方程的解的定义，结合根与系数的关系，进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象上有两点A和B， ∴为一元二次方程即的两个根， ∴，， ∴，， ∴； 故选D． 46．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点A的坐标是，与x轴的一个交点B的坐标为，直线经过A，B两点．下列结论错误的是（   ） A． B．方程有两个相等的实数根 C．当时， D．抛物线与x轴的另一个交点是 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，利用数形结合思想，计算判断即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点A的坐标是，且开口向下， ∴对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线与y轴交点位于正坐标轴上， ∴， ∴， 故A选项正确，不合题意； ∵抛物线开口向下，与x轴的一个交点坐标为，另一个交点为，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴另一个交点为， 故D选项正确，不合题意； 根据图象，当时， 故C选项错误，符合题意． ∵抛物线的顶点A的坐标是， ∴直线与有且只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根，且为， 故B正确，不合题意. 故选：C． 47．二次函数的图象与x轴的交点坐标为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像和坐标轴交点． 将代入解析式解方程即可． 【详解】解：令，得， 解得或， 所以交点坐标为和． 故选：A． 48．关于抛物线，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与y轴的交点坐标是 D．当时，y有最大值2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数（抛物线）的基本性质，包括开口方向、对称轴、与y轴的交点及函数最值；解题的关键是熟练掌握二次函数一般式（）的性质：的符号决定开口方向，对称轴公式为，与y轴交点为，时函数有最小值、时函数有最大值（均在对称轴处取得）． 先明确抛物线中、、；判断选项A时，根据的符号确定开口方向；选项B用对称轴公式计算；选项C令求对应的值得到与y轴交点；选项D根据的符号判断最值类型，再计算对称轴处的函数值确定最值． 【详解】解：对于抛物线，其中，， A、∵，根据二次函数性质，时抛物线开口向下，此选项不符合题意； B、根据对称轴公式，代入、得：，即对称轴是直线，此选项不符合题意； C、求与y轴的交点，令，则，即交点坐标是，此选项不符合题意； D、∵，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值；对称轴为，代入函数得：，即当时，有最大值2，此选项符合题意； 故选：D． 49．如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴正半轴交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．若，是抛物线上的两个点，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数的性质，二次函数解析式系数表示的意义以及函数图象求解即可． 【详解】解：A、二次函数的图象与y轴正半轴交于点C， ， 二次函数图象对称轴为，根据图象可知对称轴在正半轴， ，又， ， ，故该选项不符合题意； B、二次函数的图象与x轴有两个交点， ， ，故该选项符合题意； C、的图象与x轴分别交于，， 二次函数的对称轴为， ，故该选项不符合题意； D、二次函数的对称轴为， 点，距离对称轴的距离为，点距离对称轴的距离为，， 又，抛物线开口向下， ．故该选项不符合题意； 故选：B. 50．如图，在平面直角坐标系中，直线经过抛物线（，为常数，且）的顶点，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．根据函数图象，确定交点横坐标，再找出直线在抛物线下方的部分，即可得到答案． 【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为、， 当时，直线在抛物线下方， 不等式的解集为， 故选：D． 考点六 二次函数与实际问题 51．如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（   ） A．与的关系式为 B．当时， C．当时， D．当时，的最大值为 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数应用、一元二次方程应用，正确列出方程是解题的关键． 对于A，由，可得，再根据三边一共用了米木栏建立方程，可得，最后由矩形的面积公式即可得； 对于B，由可知，，将代入中可得，解方程即可得的值； 对于C，由可知，，将代入中即可求解； 对于D，由可知，，将化为顶点式，可知二次函数图象开口向下，且对称轴为，进而可知当，随的增大而增大，故时，取得最大值，最后将代入求解即可． 【详解】由题意可知，四边形为矩形， ，，且， A、， ， ， ， ， ． 故选项A正确； B、， ， ， ， 整理得，， 因式分解得，， 或， 解得，，， ， ． 故选项B正确； C、， ， 当时，． 故选项C正确； D、， ， 由A选项可知，， 二次函数的二次项系数，二次函数图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值， 把代入中得，， 当时，的最大值为． 故选项D错误． 故选：D． 52．如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移、二次函数的应用等知识．把两条路进行平移，一条移动到上方，一条移动到左方，那么剩余部分就变成了边长为和的长方形，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：依题意得把两条路分别进行平移， 长为的路移动到上方，长为的路移动到左方， ∴草坪就变成了边长为和的长方形， ∴， 故选：C． 53．如图，某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶部的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，根据题意得的横坐标为，把直接代入解析式即可解答，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得的横坐标为，将代入得：， ∴， ∴， ∴水面与桥拱顶部的高度等于， 故选：． 54．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数的图像形状相同的抛物线形，杯脚高，杯口宽为，则酒杯总高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质. 先确定抛物线的顶点坐标和对称轴，根据对称性确定点坐标，求出点到直线的距离即可求解. 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 即， ∴对称轴为直线， ∵为， ∴当时，代入解析式得， 即， ∴点到的距离为， ∴酒杯总高度为， 故选：C． 55．黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一．新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天销售额为元，之后每天销售额按相同的增长率增长，第三天的销售额为元．设增长率为，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．根据第一天销售额为元，之后每天销售额按相同的增长率x增长，第三天的销售额为元列出关于的函数关系式即可． 【详解】解：根据题意可知：， 故选C 56．日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，结合一枚炮弹从发射到落地，即把代入，进行计算，得，解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为 ∴一枚炮弹从发射到落地，即 ∴， 则， 解得（舍去）， ∴一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为80秒， 故选：C 57．如图，质量为的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系（可近似看作二次函数）如图所示．根据图象，下列说法正确的是（   ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 C．若，则小球的最大速度为 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，故不符合题意； C、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得： ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即, 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等，所以时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 58．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 59．如果抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“量子三角形”．现有以下说法： ①抛物线不存在“量子三角形”； ②若抛物线的“量子三角形”是正三角形，则该正三角形的面积是； ③若抛物线中系数，，均为绝对值不大于1的整数，且该抛物线的“量子三角形”是等腰直角三角形，则符合条件的抛物线共有2条． 其中，正确的说法个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①抛物线是否存在“量子三角形”取决于其与x轴的交点个数，根据判别式即可判断；②通过计算正三角形的边长及面积验证；③枚举符合条件的系数组合，结合等腰直角三角形的几何条件判断．本题关键是掌握二次函数与二次方程的关系，掌握等边三角形、等腰直角三角形的几何特征． 【详解】①正确：抛物线的判别式，故抛物线与x轴无交点，故不存在“量子三角形”． ②正确：抛物线的顶点为，与x轴交于和． 若构成正三角形，则顶点到交点的距离等于交点间距， 即，解得， 则正三角形的边长，面积为． ③正确：要满足题意，则， 设两根为，则， 二次函数与x轴两交点之间的距离，即等腰直角三角形的底边边长为： ， 要使该等腰三角形为等腰直角三角形，则：， ∴， ∴， 又∵为绝对值不大于1的整数，， ∴ ∴或， 即满足条件的抛物线有两条． 故选：D． 60．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①，；②与轴的另一个交点为；③（为任意实数）；④若点，，且线段与抛物线只有一个个交点，则．其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的几何应用，由图象和对称轴可得，，，即可判定①；根据对称性可判定②；根据二次函数的性质可判定③；由抛物线与轴的交点坐标可得，即得当时，；当时，，设，，由得，可得点在点下方，可知要使线段与抛物线只有一个个交点，则点在点上方或重合，即得到，解不等式求出的取值范围可判定④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交于正半轴上， ∴，， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数取最大值， ∴对于任意实数，有， 即，故③正确； ∵抛物线经过点和， ∴， 当时，；当时，， 设，， ∵， ∴， ∴点在点下方， 要使线段与抛物线只有一个个交点，则点在点上方或重合， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上，正确的有②③，共个， 故选：． 考点七 旋转及其性质 61．如图，点A的坐标是，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴，轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知，，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：D． 62．如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的旋转，掌握旋转的性质和中点坐标公式是解题的关键； 根据旋转的性质可得：点C是的中点，设点B的坐标为，然后根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：点C是的中点， 设点B的坐标为， 则， 解得：， ∴点B的坐标为； 故选：D． 63．如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，由旋转的性质可得，由线段中点的定义证明，进而可证明为等边三角形，则． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 64．如图，，在一条直线上，且和是一对对应顶点，如果，那么将围绕点顺时针旋转（   ）与重合． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质． 根据可知，由于两个三角形全等，故只需要旋转即可重合． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴绕着C点顺时针旋转即可与重合． 故选D． 65．如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴旋转角是和． 故选：C． 66．如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 67．如图，O是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理及其逆定理，作出适当的辅助线是解决问题的关键．先连接，证明为等边三角形，再作，利用勾股定理得，再根据“手拉手模型”，证明，进一步证明为直角三角形，最后根据面积拼接法求值． 【详解】解：如图， 连接， 由旋转可得，． 为等边三角形． 过点作于点 ． ． 为正三角形， ． ． ． ． 为直角三角形． ． 故选：． 68．如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形全等的证明，勾股定理，作出辅助线求证是解题的关键． 此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积． 【详解】解：设与相交于点O，连接． 根据旋转的性质，得，则． 在和中， ，， ∴． ∴． 设，则， 又∵， ， 即， 解得：（不符合题意，舍）， ∴． ∴公共部分的面积． 故选：C． 69．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第次旋转结束时，点C所在象限，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得C点的坐标即可求解． 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵……1， ∴第次旋转结束时，点C在第一象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ，， ∴，， ∴， ∴第次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，解题关键是找出旋转规律． 70．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查了旋转图形的性质，解题的关键是旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上．连接，，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：连接，， 分别作这两条线段的垂直平分线，如图所示： 则交点D即为旋转中心， 故选：D． 考点八 中心对称图形 71．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； B. 该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 72．在平面直角坐标系中，将点的横坐标乘以，纵坐标乘以，得到点，则点A与点的关系是（   ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点：横纵坐标都互为相反数，理解此知识点是解题关键．先求出的坐标，与点A的坐标进行比较即可求解． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标都乘以，得到点， ∴点坐标为， ∴点A与点关于原点对称． 故选：C． 73．在平面直角坐标系中，和关于原点中心对称，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．根据题意可得，点和点关于原点对称，据此求出的坐标即可． 【详解】解：和关于原点中心对称， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴的坐标为． 故选：D． 74．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点所在的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及第二象限的点的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为，且在第二象限， ∴，解得：； 故选B． 75．下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线互相垂直的矩形是正方形；④对角线相等的菱形是正方形；⑤对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；⑥平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形、矩形、菱形、正方形的判定方法，正确把握相关定义是解题关键．根据中心对称图形和轴对称图形的概念，矩形、菱形、正方形的判定方法，逐个分析，即可求解． 【详解】解：对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形满足此条件，但不是矩形，故原说法错误，①符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原说法正确，②不合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故原说法正确，③不合题意； 对角线相等的菱形是正方形，故原说法正确，④不合题意； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原说法正确，⑤不合题意； 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原说法错误，⑥符合题意； 综上，①和⑥说法错误． 故选：B． 76．数轴上点、点表示数如图所示，且点与点关于点成中心对称，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴的对应关系和中心对称的性质，先根据点与点关于点成中心对称，得到，再由数轴上两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于点成中心对称， ∴， ∴点表示的数是， 故选：B． 77．如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接，则，利用勾股定理求出的长；设，根据轴对称的性质得到，，则点D和点E关于原点对称，故三点共线，可推出，则当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，， ∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 78．已知，则点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，以及绝对值、算术平方根的非负性，先化简求出，的值，再结合关于原点对称这个条件，即可作答． 正确掌握“关于原点对称的点的坐标：它们的坐标符号相反”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则点， 则点关于原点对称的点的坐标为 故选：C． 79．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转即可求解点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 80．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质．利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴，过作轴，垂足分别为， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 如图，与关于原点对称， ，，，，，，， 观察可知点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律， 即由点到点为一个变换周期， ， 即点的坐标为， 故选：B． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $