精品解析：吉林省延吉市延边第二中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段性检测数学试题

延边第二中学2023级高三年级第一次阶段性检测数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “是有理数”是“是有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知函数在R上单调递增，则a的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知是各项均为正实数的数列的前项和，，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知钋的原子核的衰变规律满足关系式（为衰变后的原子核质量数，为衰变时间），记衰变时间为，，时钋对应的原子核质量数为，，，若，，依次构成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数对，，均有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题错误的是（ ） A. 设正实数，满足，则有最大值为 B. 设正实数，满足，则有最小值为5 C. 当时，的最小值是5 D. 若，则的最小值为2 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知不是直角三角形，三个内角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，则称为边等差方三角形，下列关于边等差方的说法正确的是（ ） A. ，，成等差数列 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 13. 函数的最小值为________. 14. 在中，内角所对的边分别为.已知成等差数列，其中，若，设的面积为，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求函数的值域. 17. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 18. 已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数的取值范围. 19. 记，，，. （1）判断并证明的奇偶性； （2）设最小值为，若，对任意恒成立，求的最小整数值； （3）在（2）条件下，设，求在上的零点个数并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边第二中学2023级高三年级第一次阶段性检测数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集的概念计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. “是有理数”是“是有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】借助充分条件与必要条件的定义判断即可得. 【详解】若是有理数，则是有理数， 若是有理数，如，此时不为有理数， 故“是有理数”是“是有理数”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用已知不等式的解集为，得到，同时得到的两个根，再利用根与系数的关系得到，，再代入求解即可 【详解】的解集为，，的两个根为，，， 所以不等式， 即， 解得. 故选：B. 4. 将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先由平移得到函数的解析式，再由图象关于对称可得. 【详解】由函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以，又的图象关于直线对称， 所以，得， 即，再由，得，所以当时，取最小值为. 故选：B. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得在单调递增，则在成立，利用分离参数法求得.再结合分界点处函数值的大小关系即可求解. 【详解】由题意得函数在单调递增，则在成立，即对于恒成立. 又由对勾函数性质可知：函数在上单调递减， 所以，所以，解得. 又函数在单调递增，且函数在R上单调递增， 所以，即，解得. 综上所述，，所以的最大值为1. 故选：B. 6. 已知是各项均为正实数的数列的前项和，，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可得数列是等比数列，由此求得其通项公式和前项和，代入不等式，并分离参数，可利用基本不等式，求得实数的取值范围. 【详解】由，得. 因为数列各项均为正实数，所以，所以，所以. 所以，即. 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. 所以所以. 因为，所以. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以.所以. 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7. 已知钋的原子核的衰变规律满足关系式（为衰变后的原子核质量数，为衰变时间），记衰变时间为，，时钋对应的原子核质量数为，，，若，，依次构成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，先计算，，，再计算验证各个选项即可； 【详解】对A,B，因为，，依次构成等差数列，故， 又，，， 则，所以，且，A，B错误； 对于C，D，，C错误，D正确． 故选：D. 8. 若函数对，，均有恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，通过求导可判断的单调性，进而可化简不等式为，移项后，再构造函数，根据的单调性，进行求参数即可. 【详解】因为，所以， 设函数，则， 易知，当时，恒成立， 所以在上单调递增， 设，，则，， 即， 所以恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，即，，恒成立， 所以在上单调递减，所以在上恒成立， 又，则， 又，所以恒成立， 令，则，， 设函数，则， 易知当时，恒成立，所以函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题错误的是（ ） A. 设正实数，满足，则有最大值为 B. 设正实数，满足，则有最小值为5 C. 当时，的最小值是5 D. 若，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题可根据基本不等式的使用条件（一正、二定、三相等），对每个选项逐一进行分析． 【详解】对于A，已知正实数，满足，则， 根据基本不等式有， 由解得，，但是正实数，不满足， 所以等号取不到，也即没有最大值，故A错误； 对于B，，根据基本不等式有， 当且仅当，即，结合，解得，时等号成立， 所以可以取到最小值5，故B正确； 对于C，因为，所以，则， ， 根据基本不等式有， 当且仅当，解得时等号成立， 所以，即的最大值为，没有最小值，故C错误； 对于D，令（），则，那么， 根据基本不等式有，当且仅当，解得时等号成立， 但，所以等号取不到，也即最小值不为2，故D错误． 故选：ACD． 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据角的范围及同角三角函数关系式，由，求得，，根据二倍角公式求得，可判断选项A；由，求得，根据两角差的正弦公式求得，可判断选项B ；由求得，从而得到，可判断选项D；根据两角和的正切公式求得，可判断选项C. 【详解】由为锐角，，得：，所以. 因为，为锐角，所以，由，得：. 选项A：，所以选项A正确； 选项B：，所以选项B正确； 选项D：由选项B得：，所以.所以选项D错误； 选项C：由选项A、D得：所以选项C错误. 故选：AB . 11. 已知不是直角三角形，三个内角，，的对边分别为，，，若，，成等差数列，则称为边等差方三角形，下列关于边等差方的说法正确的是（ ） A. ，，成等差数列 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差中项及正余弦定理得，然后利用两角和的正弦公式化弦为切得，即可判断A；由等差中项及正余弦定理得，结合A选项可得，即可判断B；逆用二倍角余弦公式得，利用两角和差的余弦公式及诱导公式得，即可判断C；结合选项C利用二倍角余弦公式得，即可判断D． 【详解】对于A，因为，所以， 从而，解得， 因为， 所以， 所以，故成等差数列，故A正确； 对于B，因为，若， 则，所以，与矛盾，故B错误； 对于C，因为， 所以，所以， 因为， 所以， 因为， 所以 ， 所以．故C正确； 对于D，在中， . 所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】先计算的值，代回原式后，上下同除以，将原式化为关于的表达式代入求值即可． 【详解】， 代入可得， 所以，原式． 故答案为：． 13. 函数的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性后可求最值. 【详解】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为. 故答案为： 14. 在中，内角所对的边分别为.已知成等差数列，其中，若，设的面积为，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据等差数列的性质及三角形内角和性质，求出，再利用三角函数公式求得，最后应用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，又，所以， 则，所以，又，解得， 又，，，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）若，在R上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1），分，两种情况讨论正负性，故可得单调性； （2）由题可得，然后令，利用导数知识结合时，可得，据此可得答案. 【小问1详解】 . 若，则，故在R上单调递增； 若，令，得. ，， 则在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：若，在R上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由题，恒成立. 令，则. . 则在上单调递增，在上单调递减. 又注意到时，，，则. 故. 16. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）求函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图中对称轴与对称中心的差值与周期的关系，先求出，，再代入最高点求，注意范围； （2）根据正弦函数的性质，整体法求解单调区间即可； （3）利用两角和的正弦公式，化简出，再求值域即可. 【小问1详解】 由图可得，，则， 因为，所以，则， 将点的坐标代入解析式可得， 则，解得， 因为，所以， 则. 【小问2详解】 令，解得， 所以的单调递减区间为. 【小问3详解】 ， 所以的值域为. 17. 在中，角的对边分别为．且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积，内切圆的半径为，求； （3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由等面积法得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边； （3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【小问1详解】 在中，由， 可得，所以，即， 因，则． 【小问2详解】 由（1）知，则，即：， 所以①，②， 在中，由余弦定理得， 即③， 由①②③得：，解得； 【小问3详解】 如图，因平分，由（1）知， 故， 在中，设，则， 在中，，由正弦定理，得，则， 在中，由正弦定理，得，则， 故有（*）． 在中，由正弦定理，得，则， 得，代入（*）式，可得，即． 由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“”． 于是．即的面积的最小值为． 18. 已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求值即可. （2）利用错位相减法求和. （3）分析数列的单调性，求的最大值，再解二次不等式即可. 【小问1详解】 对数列，设公比为，由题意，因为，所以. 又. 所以. 【小问2详解】 由. 所以. 所以， 所以， 两式相减得：， 所以. 【小问3详解】 由. 所以数列从第2项开始，单调递减. 所以. 由或. 所以实数的取值范围是：. 19. 记，，，. （1）判断并证明的奇偶性； （2）设最小值为，若，对任意恒成立，求的最小整数值； （3）在（2）条件下，设，求在上的零点个数并说明理由. 【答案】（1）偶函数，证明：因为，，， 所以， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数， （2）2 （3），理由：由（2），又，，， 所以， 因为， 所以函数为周期函数，为函数的周期， 当时，，， 所以， 结合周期性可得，，都是函数在上的零点， 当时，，，，， 函数在上没有零点， 当时，，，所以， 函数在上没有零点， 当时，， 令，则， 所以函数在上单调递增，故函数在上单调递增， 又，， 所以存在，，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，，， 所以函数在上存在唯一零点，在上不存在零点， 结合函数的周期性可得函数在上的零点个数为. 【解析】 【分析】（1）求函数的定义域，证明定义域关于原点对称，再证明，由此可得结论； （2）设，换元可得，设，，利用导数判断函数的单调性，求函数的最小值，由此可得，再求，结合条件求的范围，由此可得结论； （3）由（2）可得，证明函数为周期函数，为函数的一个周期，再证明，由此可得，，都是函数在上的零点，再证明函数在内有且只有一个零点，结合周期性可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 令，则，，则， 设，， 则， 当时，，又， 所以，所以， 所以函数在上单调递减， 当时，，又， 所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以当时，函数取最小值，最小值为， 所以最小值为，所以， 所以， 因为，对任意恒成立，所以， 所以的最小整数值为， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $