精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

汽开三中2025-2026学年度第一学期月考试卷 高三数学 命题人：高三数学备课组 注意事项：试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟. 一､单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集定义计算即可. 【详解】. 故选：A. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简复数，即可求出的虚部. 【详解】, 则的虚部是. 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. {或} C. D. {或} 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】由得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为{或}. 故选：B 4. 已知命题: ，命题: 则是的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：若， 则或， 即或， 所以是的必要不充分条件． 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. － D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答． 【详解】因为，而， 因此，则， 所以， 故选：A. 6. 若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由给定不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值，再利用能成立问题求出范围. 【详解】当时，不等式， 由不等式在区间上有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 所以a的取值范围是. 故选：A 7. 已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式. 【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称， 又函数在上单调递减，则不等式， 即，解得，所以所求不等式的解集为. 故选：D 8. 已知平面向量，等差数列，则数列的前5项和为（ ） A. -5 B. 0 C. 5 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】求出的解析式和的表达式，利用等差中项性质和诱导公式化简得,,代入数列的前5项和,化简即得答案. 【详解】， ， 为等差数列，， ，， ， 同理，， 故数列的前5项和为 . 故选：B 二､多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角函数符号法则判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；求出角的集合表达式判断C；利用正切函数求出定义域判断D. 【详解】对于A，由，得，则，故A错误； 对于B，设扇形半径为，由圆心角为的扇形的面积为，得， 解得，因此扇形的弧长为，故B正确； 对于C，终边落在射线上的角的集合为， 终边落在射线上的角的集合为， 因此终边落在直线上的角的集合是，故C错误； 对于D，由，得， 因此函数的定义域为，故D正确. 故选：BD 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B. 函数的图象关于y轴对称 C. 函数的图象在上单调递增 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数图像变换得出新函数图像即可判断ABC，由对数运算与对数函数单调性判断D. 【详解】函数的图象如下： 对于A，由函数图象变换可知，图像如下： 函数图象与原函数图象关于轴对称，故A错误； 对于B，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象关于轴对称，故B正确； 对于C，由函数图象变换可知，的图象如下： 函数图象在上单调递增，故C正确； 对于D，即，， 在定义域上单调递增， ，则，故D正确； 故选：BCD. 11. （多选题）函数（且，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于x的方程在上有两个不同的实根，则a的取值范围 D. 先将函数的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数，则方程的根有3个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，可求出和周期，从而可求得，再利用图象过点可求出，进而可求得的解析式判断A选项；利用整体代入法求出的对称轴判断B选项；数形结合法由零点个数求出范围判断C选项；利用图象变换规则求出的解析式，再利用函数图象，确定交点个数判断D选项． 【详解】对于A选项，观察图象，得， 最小正周期，因为，所以， 由，得，则， 而，则令，所以，，故A正确； 对于B选项，令，则， 当时，，所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C选项，当时，， 令，则， 所关于x的方程在上有两个不同的实根即为的图象与直线有两个不同的交点， 数形结合得，，故C错误； 对于D选项，先将函数的图象向右平移个单位，得到， 将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到， 再将图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数， 在同一坐标系内作出函数的图象， 当,且 当,故当时，两个函数的图象无交点， 观察图象知，两个函数图象有3个交点，则方程的根有3个，故D正确． 故选：ABD． 三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 已知，，且，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得，解得. 故答案为：3 13. 已知，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可得x＋2y＝xy，利用基本不等式计算即可得出结果. 【详解】因为， 所以x＋2y＝xy，x＞0，y＞0，所以， 则， 当且仅当且，即x＝y＝3时取等号． 故答案为：9 14. 设是函数的一个极值点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点得到，再利用齐次式计算得到答案. 【详解】，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了函数的极值点，根据齐次式求值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在等差数列中，，在等比数列中，，公比. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列性质求出公差，进而求出通项公式；直接求出等比数列通项公式. （2）利用分组求和法及等差数列、等比数列前项和求解. 【小问1详解】 在等差数列中，，则公差，； 在等比数列中，，公比，则， 所以数列和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 由（1）得， 所以数列的前项和 . 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式将函数化简，再结合余弦函数的性质计算可得； （2）由求出的取值范围，即可得到函数的单调递增区间； （3）由的取值范围，求出的取值范围，再结合余弦函数的性质计算可得； 【详解】解： （1）因为，所以函数的最小正周期 （2）由得 的单调递增区间为 （3）因为，所以，所以，所以 所以函数的值域为. 17. 已知函数. （1）设实数使得恒成立，求的取值范围： （2）设，求函数在区间上的零点个数. 【答案】（1） （2） 当或时，函数在区间上有个零点； 当或时，函数在区间上有个零点； 当时，函数在区间上有个零点. 【解析】 【分析】（1）由得恒成立，等价于恒成立，设并求出其最大值，从而可求解； （2）求令，即求，由（2）即等价于函数的图象与函数的图象的交点个数，再结合在区间上的取值情况，再对分情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由题意知得恒成立，即恒成立，等价于恒成立， 设，则，令，解得， 当时，；当时，， 所以当时，取到极大值也是最大值，所以， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 由题知令，即，则得，从而得， 由（1）得函数在区间上的零点个数即等价于求函数的图象与函数的图象的交点个数， 又因在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且当时，取到极大值也是最大值， 又因为，， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当或时，函数的图象与函数的图象的交点个数为， 当时，函数的图象与函数的图象的交点个数为. 综上所述：当或时，函数在区间上有个零点； 当或时，函数在区间上有个零点； 当时，函数在区间上有个零点. 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若成等差数列，求的面积； （2）若，求. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质得到，再利用余弦定理求得的值，进而利用三角形的面积公式求解； （2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解. 【小问1详解】 因为成等差数列，所以， 又，所以①， 在中，由余弦定理可得：， 又，所以②， 由①②得， 所以的面积. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为且，所以， 所以， 所以，所以， 所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线的斜率，由此可得结果. （2）讨论的范围，得到时，的极大值为，通过构造函数分析单调性可得结果. 【小问1详解】 当时，，故， ∴， ∴曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意得，，故函数的定义域为， ∵，∴， 当时，，，在上为增函数，无极值. 当时，由得， 由得，，由得，， ∴在上为增函数，在上为减函数， ∴当时，有极大值，极大值为， ∴，即， 令，则， ∵，∴， ∴在上为增函数， ∵， ∴要使，则， ∴实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2025-2026学年度第一学期月考试卷 高三数学 命题人：高三数学备课组 注意事项：试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟. 一､单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（其中为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. {或} C. D. {或} 4. 已知命题: ，命题: 则是的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 5. 已知，，则（ ） A. 1 B. C. － D. －1 6. 若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，等差数列，则数列的前5项和为（ ） A. -5 B. 0 C. 5 D. 18 二､多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为 C. 终边落在直线上的角的集合是 D. 函数的定义域为 10. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象与函数的图象关于x轴对称 B. 函数的图象关于y轴对称 C. 函数的图象在上单调递增 D. 11. （多选题）函数（且，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若关于x的方程在上有两个不同的实根，则a的取值范围 D. 先将函数的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数，则方程的根有3个 三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 已知，，且，则________． 13. 已知，则的最小值为______． 14. 设是函数的一个极值点，则______. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在等差数列中，，在等比数列中，，公比. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数在区间上的值域. 17. 已知函数. （1）设实数使得恒成立，求的取值范围： （2）设，求函数在区间上的零点个数. 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若成等差数列，求的面积； （2）若，求. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $