精品解析：河南省商丘市睢县商丘睢县多乡镇2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

集团订制学业水平阶段性巩固与提高（1/4） 九年级数学（RJ） 测试范围：21.1－22.3 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 4. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6 6. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 7. 若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，与轴交于点，且，，．则下列判断中正确的是( ) A. 此抛物线的解析式为 B. 当时，随着的增大而增大 C. 此抛物线与直线只有一个交点 D. 在此抛物线上的某点，使的面积等于，这样的点共有三个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 14. 图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为______． 15. 如图，等边三角形的边在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为．若抛物线与等边三角形的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是__________． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知函数，m是常数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若方程有一根不小于2，求m的取值范围． 19. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式； （2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为　 　； （3）将该二次函数图象向上平移　 　个单位长度后恰好过点（﹣2，0）． 20. 某网络经销商购进了一批文化衫进行销售，文化衫进价为元/件．当售价为元/件时，销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨1元销售量就减少件．设销售单价为元/件，销售量为件． （1）写出与的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）当销售单价为多少元时，销售总利润为元？ （3）若每件文化衫的利润不超过，要想获得总利润最大，每件文化衫售价为多少元？并求出最大利润． 21. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； （2）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 22. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）用含t的代数式表示 ； ； （2）当为何值时？ （3）在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； （3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集团订制学业水平阶段性巩固与提高（1/4） 九年级数学（RJ） 测试范围：21.1－22.3 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可得出答案，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：．当时，不满足题意，故本选项不符合题意； ．含有两个未知数，故本选项不符合题意； ．含有分式，故本选项不符合题意； ．满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 故选：． 2. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 3. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的开口方向、与y轴的交点坐标、顶点坐标及增减性逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、图象的开口向下，则错误，故不符合题意； B、当时，，则图象与y轴的交点坐标为，则错误，故不符合题意； C、图象的顶点坐标是，则错误，故不符合题意； D、图象的对称轴为：，当时，y随x的增大而减小，则正确，故符合题意； 故选：D． 4. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为， 故选：C． 5. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得：， 故选：A． 6. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可判断． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即． 故选：B． 7. 若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据开口向上的二次函数，离对称轴越远，函数值越大，只需要比较出A、B、C三点离对称轴距离的大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵，开口向上， ∴离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵， ∴， 故选：D． 8. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 9. 某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：1个主干上有x个支干，个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：； 故选C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，与轴交于点，且，，．则下列判断中正确的是( ) A. 此抛物线的解析式为 B. 当时，随着的增大而增大 C. 此抛物线与直线只有一个交点 D. 在此抛物线上的某点，使的面积等于，这样的点共有三个 【答案】C 【解析】 【分析】利用CO=2AO，而CO=BO，AB=3，可得出AO=1，BO=OC=2，即可求出二次函数的解析式，由二次函数的对称轴，可得出当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，由二次函数的最小值为-，可得此抛物线与直线y=-只有一个交点，由△MAB的面积等于4，得出M到x轴的距离为，这样的点共有2个．即可选出答案. 【详解】解：∵CO=2AO，而CO=BO，AB=3， ∴AO=1，BO=OC=2，即A（-1，0），B（2，0），C（0，-2）， ∴二次函数的解析式为y=x2-x-2，故A错误． ∵二次函数的对称轴为x=， ∴当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，故B错误． ∵此二次函数的最小值为-， ∴此抛物线与直线y=-只有一个交点，C正确． ∵要使△MAB的面积等于4，须使M到x轴的距离为，这样的点共有2个，故B错误． 故选C. 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴的判断方法是解题的关键．以y轴为对称轴，即对称轴为直线，根据二次函数性质，当一次项系数时，对称轴为y轴． 【详解】解：二次函数的标准形式为 ，其对称轴为直线 ， ∵以y轴为对称轴， ∴对称轴为直线， ∴， ∴二次函数解析式应满足，如 （其中）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，由是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可， 【详解】解：将a代入代数式可得： ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 14. 图1是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．当面汤的深度为时，汤面的直径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，求出解析式，然后当时，求出的值即可，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，直线为轴，过且平行直线为轴建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由题意得点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，，解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，等边三角形的边在x轴上，点C在y轴上，其中顶点C的坐标为．若抛物线与等边三角形的边有且只有两个公共点，则c的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．先求出，当抛物线经过时，解得，满足题意；当抛物线经过时，，此时抛物线与等边三角形的边有且只有一个公共点，结合图象即可得到答案． 【详解】解：∵顶点C的坐标为． ∴， ∵等边三角形的边在x轴上，点C在y轴上， ∴，， ∴， ∴， ∴关于y轴对称， ∵抛物线关于y轴对称， 当抛物线经过时，， 解得，，满足题意； 当抛物线经过时，， 此时抛物线与等边三角形的边有且只有一个公共点， 结合图象可知，当时，抛物线与等边三角形的边有且只有两个公共点， 综上可知，c的取值范围是或， 故答案为：或 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟悉一元二次方程的四种基本解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，是解题的依据． （1）利用公式法解一元二次方程． （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∵ ∴ ∴ ∴或． 【小问2详解】 解： ∴或． 17. 已知函数，m是常数． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】（1）； （2）且 【解析】 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【小问1详解】 解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； 【小问2详解】 当时，这个函数是二次函数， 此时：且 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）若方程有一根不小于2，求m的取值范围． 【答案】（1） ∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，利用根的情况求参数范围等． （1）计算，即可证明出本题答案； （2）利用求根公式得出，再由根的关系可得，计算出结果即为本题答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∵方程有一根不小于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围：． 19. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式； （2）观察图象，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为　 　； （3）将该二次函数图象向上平移　 　个单位长度后恰好过点（﹣2，0）． 【答案】（1）y＝（x+1）2﹣4；（2）﹣4≤y≤0；（3）3 【解析】 【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2﹣4，然后把（1，0）代入得求出a即可； （2）计算自变量为﹣2、1对应的函数值，然后利用函数图象写出对应的函数值的范围； （3）设二次函数图象向上平移k（k＞0）个单位长度后恰好过点（﹣2，0）．设平移后抛物线解析式可设为y＝（x+1）2﹣4+k，然后把（﹣2，0）代入求出k即可． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）2﹣4， 把（1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1， 所以抛物线的解析式为y＝（x+1）2﹣4； （2）当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）2﹣4＝﹣3； 当x＝1时，y＝0； 所以当﹣2＜x≤1时，y的取值范围为﹣4≤y≤0； （3）设二次函数图象向上平移k（k＞0）个单位长度后恰好过点（﹣2，0）． 则抛物线解析式可设为y＝（x+1）2﹣4+k， 把（﹣2，0）代入得（﹣2+1）2﹣4+k＝0，解得k＝3， 即将该二次函数图象向上平移3个单位长度后恰好过点（﹣2，0）． 故答案为﹣4≤y≤0；3． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质． 20. 某网络经销商购进了一批文化衫进行销售，文化衫进价为元/件．当售价为元/件时，销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨1元销售量就减少件．设销售单价为元/件，销售量为件． （1）写出与的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）当销售单价为多少元时，销售总利润为元？ （3）若每件文化衫的利润不超过，要想获得总利润最大，每件文化衫售价为多少元？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当销售单价为或元时，销售总利润为元 （3）售价为元时，利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据“售价每上涨1元销售量就减少件”即可求解； （2）由题意得：，即可求解； （3）设利润为，则；根据每件文化衫的利润不超过，推出；即可求解； 【小问1详解】 解：∵售价每上涨1元销售量就减少件． ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：； ∴当销售单价为或元时，销售总利润为元； 【小问3详解】 解：设利润为，则； ∵每件文化衫的利润不超过， ∴，解得：； ∴； ∵，抛物线的对称轴直线为； ∴当时，； 即：售价为元时，利润最大，最大利润为元； 21. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； （2）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀． 【答案】（1） （2）能达到优秀 【解析】 【分析】（1）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可； （2）当时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：依题意，抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 由抛物线过点，有， 解得， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，得， 解得，（C在x正半轴，故舍去）， ∴ 点的坐标为（，）， ∴ ， 由，可得， ∴ 小明此次试投的成绩达到优秀． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式． 22. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）用含t的代数式表示 ； ； （2）当为何值时？ （3）在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】（1）t，； （2）当时，； （3） 的值不可能为5；理由如下： 由题意可得， ， 假设的值可能为5得， ，即， ∵， ∴方程无解， 故的值不可能为5． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【小问1详解】 解：∵点D从点C开始沿运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：t，； 【小问2详解】 解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，； 【小问3详解】 解：略． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； （3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】（1） （2） （3）面积的最大值为2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可； （3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点， ∴， ∴， ∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点G的坐标为：； 【小问3详解】 解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴当面积最大时，面积最大， 设，则， ， ， ∴当时，面积取最大值4， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $