精品解析：天津市第三中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

月考试题 一、单选题 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定集合，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】由题意可得集合，集合， 所以. 故选：D． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 4. 函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察图象，利用函数值的正负和导数法求单调性一一排除得到答案. 【详解】，，解得或； ，解得；所以排除选项C. ，， 当或时，，在和上是增函数； 当时，，在上是减函数； 所以排除选项A和 D，选择B. 故选：B 5. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 6. 已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，根据题中条件，结合勾股定理，可得半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】因为圆柱上、下底面圆周均在以为球心的球面上， 所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心， 且与底面圆心的连线垂直底面， 因为圆柱底面半径为，高为， 所以球心到底面的距离， 因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径， 所以由勾股定理得， 则球的表面积． 故选：C． 7. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 8. 已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（ ） A. 是函数图象的一个对称中心 B. 函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合正弦型函数的图象与性质，逐项分析求解，即可得到答案. 【详解】由是函数图象的一个对称轴， 可得，可得，即， 因为，所以，所以， 对于A中，由， 所以是函数图象的一个对称中心，所以A正确； 对于B中，将函数图象向左平移个单位长度得到，所以B正确； 对于C中，由，可得， 因为函数在上单调递减，所以在区间上递减，所以C正确； 对于D中，，可得， 当时，即时，可得，即是的一个零点； 当时，即时，可得，即是的一个零点， 所以函数在上有两个零点，所以D错误. 故选：D. 9. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 二、填空题 10. 若复数满足，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，结合复数运算可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 11. 已知的展开式中，的系数为80，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，求出的系数，即可得出 【详解】由题意， 在中，通项为， ∵的系数为80， ∴当即时，， ∴，解得， 故答案为：. 12. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 13. 甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为______；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为______.（结果均以既约分数表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】借助概率乘法公式与全概率公式计算即可得. 【详解】设“甲恰有两轮通过测试”为事件A，则； 设“选中甲”为事件B，“选中乙”为事件C，“通过测试”为事件D， 根据题意得，，，， 则， 所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为. 故答案为：；. 14. 已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解，结合韦达定理求出，再利用1的妙用求出最小值，进而求解一元二次不等式即可. 【详解】由不等式的解集为或， 得和是方程的两个实数根且，则，解得， 于是，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 15. 如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则________；若点F为线段上的动点，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意得，从而；对于第二问，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【详解】由题意 所以， 设， ， ， ， ， 设，对称轴是， 故单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 三、解答题 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【小问1详解】 因为，边化角可得， ， 即， 又因为， 且， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，， 所以，即，所以， 所以的面积为. 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直，进而证明平面； （2）分别求出与平面法向量，再应用直线与平面所成角的正弦公式求值即可； （3）求出，结合平面法向量，应用点到平面的距离公式求值即可. 【小问1详解】 证明：因底面，平面，所以. 同理可证，又因为， 所以以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）. 依题意可得，，，,,,,, 则，是面的一个法向量， 因为，所以， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 解：,,, 设平面的法向量，则，即， 取，则，所以平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 解：因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为, 18. 已知椭圆的离心率，上顶点是，左､右焦点分别是，，若椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）点和是椭圆上的两个动点，点，，不共线，直线和的斜率分别是和，若，求证直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）；（2）直线过定点 【解析】 【分析】（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点，，列方程组，解得，，，即可得出答案． （2）设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，再计算，解得，即可得出答案． 【详解】解：（1）因为椭圆的离心率，椭圆经过点， 所以，又， 解得，，， 所以椭圆的方程为． （2）证明：设直线的方程为，，，，， 联立，得， 所以，， 所以，， 所以， 解得， 所以直线过定点． 19. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值是，没有极大值；(2)答案见解析；(3). 【解析】 【详解】试题分析： （1）的定义域为，且，结合导函数的解析式研究函数的极值可得的极小值是，没有极大值； （2），则，分类讨论可得： ①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，函数在上单调递增； （3）原问题等价于“函数在上的最小值大于零” 结合（2）的结论分类讨论：①；②；③；④四种情况可得的范围是：. 试题解析： （1）的定义域为， 当时，，， 3 — 0 + 极小 所以的极小值是，没有极大值； （2）， ， ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以，函数在上单调递增； （3）“对内任意一个，都有成立”等价于 “函数在上的最小值大于零” 由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以，解得； ②当，即时，在上单调递减， 所以的最小值为可得， 因为，所以； ③当，即时，在上单调递增， 所以最小值为，由可得，所以； ④当，即时，可得最小值为， 因为，，所以， 故，恒成立. 综上讨论可得所求的范围是：. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 月考试题 一、单选题 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 5. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（ ） A. 是函数图象的一个对称中心 B. 函数的图象可由图象向左平移个单位长度得到 C. 函数区间上单调递减 D. 函数在区间上有且仅有一个零点 9. 双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A B. C. D. 二、填空题 10. 若复数满足，则_____ 11. 已知展开式中，的系数为80，则______________． 12 ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 13. 甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是.若甲单独答题三轮，则甲恰有两轮通过测试的概率为______；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为______.（结果均以既约分数表示） 14. 已知关于的不等式的解集为或.并且，且满足时，有恒成立，的取值范围为________. 15. 如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则________；若点F为线段上的动点，则的取值范围为________． 三、解答题 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若，求的面积. 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的离心率，上顶点是，左､右焦点分别是，，若椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）点和是椭圆上的两个动点，点，，不共线，直线和的斜率分别是和，若，求证直线经过定点，并求出该定点的坐标. 19. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数单调区间； （3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $