精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

达旗三中（达旗一中分校）2025-2026学年第一学期 高一年级第一次月考考试试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，水平放置的斜二测直观图为，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数满足，则复数共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知，则p是q的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设函数，则在上的单调递减区间是（ ）． A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 是直线的一个方向向量 C. D. 若点是点在平面内的射影，则 10. 如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（ ） A. 1月至7月全社会用电量逐月增加 B. 1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C. 1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D. 1月至3月全社会用电量方差比4月至6月的方差大 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公司青年、中年、老年员工的人数之比为，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，则该公司青年员工的人数为_________． 13. 已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是_____. 14. 若，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知 且，函数是指数函数，且． （1）求和的值； （2）求的解集． 16. 为庆祝新中国成立70周年，某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆，广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动，将这200人按照年龄（单位：岁）分组：第一组[15，25)，第二组[25，35)，第三组[35，45)，第四组[45，55)，第五组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.记事件A为“从这200人中随机抽取一人，其年龄不低于35岁”，已知P（A）=0.75. （1）求的值； （2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人，求这2人恰好都在第四组中的概率. 17 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的最值及相应x的值． 18. 如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． （1）若是的中点，求证：平面； （2）若平面，求的长． 19. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达旗三中（达旗一中分校）2025-2026学年第一学期 高一年级第一次月考考试试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数单调性得到，即可求解集合的交集. 【详解】集合，集合，所以， 故选:C. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 3. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原，再解三角形计算即可. 【详解】因为，，所以． 因为，所以，，所以． 还原直观图得到，如图所示． 因，，所以． 故选：B 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式，可以得到和的关系，再将所求表达式展开并代入该关系进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由，可得，即， 化简整理得， 又 ， 将代入， 得 . 故选：A 5. 已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数满足，则，可得， 故复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C. 6. 已知，则p是q的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式求得，解绝对值不等式求得，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由，则，可得， 由，则， 所以p是q的充分不必要条件. 故选：B 7. 设函数，则在上的单调递减区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性求解即可. 【详解】由已知， 令，，则，， 又，∴在上的单调递减区间为． 故选：D. 8. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数、复合函数的单调性，对数函数的定义域计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 且函数在上单调递增， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 是直线的一个方向向量 C. D. 若点是点在平面内的射影，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示计算即可判断C；根据向量的模的坐标表示计算即可判断D. 【详解】列表解析： 选项 正误 原因 A × ，，因为， 所以，解得. B √ ，， 则是直线AB的一个方向向量. C √ ， 则 D × 易知点在Oyz平面内的射影为， 可知，即可得. 故选：BC. 10. 如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（ ） A. 1月至7月全社会用电量逐月增加 B. 1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C. 1月至7月全社会用电量第75百分位数是64.3 D. 1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据折线图数据，结合各项描述及极差、百分位数的求法、极差与方差关系判断正误. 【详解】A：由图知，3月到4月用电量减少，故错误； B：由图，用电量的极差为，故正确； C：数据从小到大有，又， 所以第75百分位数是第六个数据，故错误； D：由1月至3月用电量极差为，4月至6月用电量极差为， 显然，故对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故正确. 故选：BD 11. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 的解集为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以且方程的两个根为，， 即. 因此选项A正确； 因为，，所以由，因此选项B不正确； 由可知：，因此选项C不正确； 因为，所以由， 解得：，因此选项D正确， 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公司青年、中年、老年员工的人数之比为，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是，则该公司青年员工的人数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】公司的人数为，根据题意，求得，结合分层抽样的方法，即可求得该公司青年员工的人数，得到答案. 【详解】设公司的人数为，因为抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是， 可得，解得人， 又业务公司青年、中年、老年员工的人数之比为， 所以该公司青年员工的人数为人. 故答案为：. 13. 已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由互斥事件的定义，结合对立事件求概率公式进行求解. 【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率，事件B发生的概率， 事件，都不发生的对立事件是事件A、B至少有一个发生， 所以事件，都不发生的概率为. 故答案为： 14. 若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法、数量积的坐标运算进行计算. 【详解】由，，所以； 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知 且，函数是指数函数，且． （1）求和的值； （2）求的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义求解； （2）利用换元法，结合二次不等式的解法可得答案. 【小问1详解】 由题意得，，解得或 (不符合题意，舍去)，由，且，得． 【小问2详解】 由（1）得，，即为， 设，则原不等式化为解得或， ∵，∴，∴，得，∴原不等式的解集为． 16. 为庆祝新中国成立70周年，某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆，广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动，将这200人按照年龄（单位：岁）分组：第一组[15，25)，第二组[25，35)，第三组[35，45)，第四组[45，55)，第五组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.记事件A为“从这200人中随机抽取一人，其年龄不低于35岁”，已知P（A）=0.75. （1）求的值； （2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人，求这2人恰好都在第四组中的概率. 【答案】（1）=0.035，=0.015（2） 【解析】 【分析】 （1）由第三、四、五组三个小矩形面积为0.75可求得，再由所有小矩形面积为1可求得； （2）6人中第二组中应抽取2人，分别记为，第四组中应抽取4人，分别记为，用列举法列举出所有可能，再确定满足条件的可能情况，从而可计算出概率． 【详解】（1）由题意知P(A)=10×（+0.030+0.010）=0.75，解得=0.035，又10×（+0.010）=0.25,所以=0.015. （2）在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人，则第二组中应抽取2人，分别记为，第四组中应抽取4人，分别记为，从这6人中抽取2人的所有可能情况有， ，，，，，，，，，，，，，，共15种.其中从这6人中抽取的2个人恰好都在第四组中的情况有，，，，，，共6种，所以所求概率为. 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型概率，属于基础题，其中概率问题是用列举法求解． 17. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的最值及相应x的值． 【答案】（1）， （2）当时，取最大值为，当时，取最小值为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后利用整体代入法求得函数的单调递增区间； （2）根据三角函数最值的求法求得的最值及相应x的值． 【小问1详解】 （1）因为 ， 所以令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：，， 【小问2详解】 因为，所以， 令，则函数在单调递增，在单调递减； 所以时，； 时，； 所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为． 18. 如图，在长方体中，，是的中点，是棱上一点． （1）若是的中点，求证：平面； （2）若平面，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图建系，求出相关点的坐标，由，推得，，即可由线线垂直推出平面； （2）设的长为求出平面的法向量为，由平面可得即可求得. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设可得：，，，， ，，， ∴，，, 由， ， 可得，， 又∵，平面MNC，∴平面； 小问2详解】 设的长为则，点，进而得， 设平面法向量为，因， 则，取得， ∵，且平面， ∴，即 ， 解得，即的长为． 19. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和和差的正弦函数将等式进行化简，进而可求出. （2）根据余弦定理求出，然后根据三角形面积公式求出面积即可. 【小问1详解】 由已知及正弦定理得， 又， 故. 因为，所以，所以，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得. 因为，，， 所以 解得， 所以△ABC的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $