精品解析：福建省莆田第二十五中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

莆田第二十五中学2025-2026学年上学期月考一试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在等比数列中，，则（    ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3. 已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. C. 数列存在最大值 D. 数列存在最大值 4. 设为等比数列的前项和，且，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 11 5. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 36 B. 35 C. 42 D. 38 6. 数列满足,若．则等于（　　） A. B. C. D. 7. 历史上数列的发展与研究，给人类提供了许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家莱昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即，.此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前81项和为（ ） A. 162 B. 81 C. 54 D. 27 8. 已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是递增数列 C. D. 11. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 一定是等比数列 D. 数列的前99项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，，则________. 13. 设是公差为正数的等差数列，若，，则_____________． 14. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 16. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 17. 设是公比为正数的等比数列，，.设的前项和，. （1）求与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 18. 已知数列的首项为，且满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和为； （3）求数列的前项和. 19. 已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推．记数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“类比数”． （1）将该数列的“类比数”从小到大排列，直接写出前3个“类比数”； （2）试判断50是否为“类比数”，并说明理由； （3）①求满足的最小的“类比数”； ②证明：该数列的“类比数”有无数个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第二十五中学2025-2026学年上学期月考一试卷 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴⇒d＝2 2. 在等比数列中，，则（    ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，再根据可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得q＝2，所以. 故选：A. 3. 已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. C. 数列存在最大值 D. 数列存在最大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用，可求通项公式判断AB；由可知单调性判断CD. 【详解】由可知，当时，， 因为，所以， 故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误. 将的通项公式可得，故B错误. 由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误. 由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确. 故选：D. 4. 设为等比数列的前项和，且，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求出数列公比即可由等比数列求和公式得出. 【详解】，，，则公比， ，，. 故选：A. 5. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 36 B. 35 C. 42 D. 38 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 解得，故. 故选：D. 6. 数列满足,若．则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据依次求解，得到为周期数列，最小正周期为4，从而求出. 【详解】，则， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， ……， 故为周期数列，最小正周期为4， ，故 故选：D 7. 历史上数列的发展与研究，给人类提供了许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家莱昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即，.此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前81项和为（ ） A. 162 B. 81 C. 54 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得出数列的周期，进而得解. 【详解】由题意可知“兔子数列”的每一项除以2所得的余数余数构成一个新数列为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，…… 则可得到周期为3，所以数列的前81项和为， 故选：C 8. 已知数列的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列为数列的前项和，则满足的正整数的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出的通项公式，再求出的通项公式，利用错位相减法求和，最后确定的最大值. 【详解】由题数列的前项和， 当时，； 当时，；也满足； 所以， 所以数列的各项为， 数列的各项为 所以数列与数列的公共项从小到大排列得到数列， ， 所以， 所以，① ，② 则①-②得： 则， ，， 所以单调递增； 若 当时 当时 所以的正整数的最大值为6. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 数列的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】只需把分别代入数列通项公式检验即得. 【详解】对于A项，分别把代入，即得，故A项正确； 对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误. 故选：AC. 10. 已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是递增数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用与的关系，结合数列增减性的判断、等比数列的通项公式与求和公式即可得解. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，，则， 整理得，则， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误， 则数列是递增数列，故B正确， 且，，故CD正确. 故选：BCD. 11. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 一定是等比数列 D. 数列的前99项和为 【答案】BC 【解析】 【分析】令，可求的值，判断A的真假；递推公式两边同除以，可得，可得的特征，判断B的真假；进一步可求的通项公式，判断C的真假；利用裂项求和法可求数列的前99项和，判断D的真假. 【详解】对A选项：令可得：，故A错误； 对B选项：递推公式两边同除以，可得，即， 又，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确； 对C选项：由B可知：，所以， 所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 对D选项：因为， 所以数列的前99项和为： ，故D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可. 【详解】当时，， 当时，， 此时，不符，故. 故答案为： 13. 设是公差为正数的等差数列，若，，则_____________． 【答案】39 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求得，继而求得，可求出公差，继而利用等差数列性质结合通项公式，即可求得答案. 【详解】由题意是公差为正数的等差数列，设公差为， ，， 则，则， 故，故， 故， 故答案为：39 14. 将数列按“第n组有n个数”的规则分组如下：，，，…，则第100组中的第一个数是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得前99组中的数构成以1为首项，以1为公差的等差数列，利用前n项求和公式即可得出第100组数中的第一个数. 【详解】由题意知， 前99组数共包含 个数， 则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项， 即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和．若，求． 【答案】（1）或 . （2）. 【解析】 【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m． 详解：（1）设的公比为，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题． 16. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求{an}的通项公式； （2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果； （2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 根据题意有， 解答，所以， 所以等差数列的通项公式为； （2）由条件，得，即， 因为，所以，并且有，所以有， 由得，整理得， 因为，所以有，即， 解得， 所以的取值范围是： 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 17. 设是公比为正数的等比数列，，.设的前项和，. （1）求与的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1）, （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义以及通项公式即可求得，利用和之间的关系可求得； （2）利用分组求和的方法结合等差以及等比数列的前n项和公式，即可得答案; （3）结合（1）可得的表达式，利用裂项求和法即可求得答案. 【小问1详解】 由题意是公比为正数的等比数列，，， 设公比为q，则， 故； 由的前项和，，则， 当时，， 也适合该式，故. 【小问2详解】 由题意可得 . 【小问3详解】 由（1）得， 故 . 18. 已知数列的首项为，且满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和为； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果根据等差数列的前项和公式可求. （3）分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 数列的前项和为. 【小问3详解】 因为， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以. 19. 已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推．记数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“类比数”． （1）将该数列的“类比数”从小到大排列，直接写出前3个“类比数”； （2）试判断50是否为“类比数”，并说明理由； （3）①求满足的最小的“类比数”； ②证明：该数列的“类比数”有无数个． 【答案】（1）前3个“类比数”为2，4，13； （2）不是“类比数”，理由：由题意可得数列如下： 第1组：1； 第2组：1，2； 第3组：1，2，4； … 第组：． 所以该数列的前项的和为，（*） 当时，，则， 由于，，，故50不是“类比数”． （3）①1836； ②证明：由①知，． 当，且取任意整数时，可得“类比数”，所以该数列的“类比数”有无数个． 【解析】 【分析】（1）根据“类比数”的定义直接求出该数列的前3个“类比数”即可. （2）首先根据规律求出，再根据定义看是否存在正整数p使得. （3）求出前组的和为，进而求出，让，即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以1不是该数列的“类比数”．因为，，， 所以该数列的前3个“类比数”为2，4，13. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①在（*）式中，要使，有，，易知出现在第44组之后，又第组的和为，前组的和为， 第组前项的和为，． 因为， 所以． 所以，则，当时，，所以对应满足条件的最小“类比数”． ②略 【点睛】方法点睛：解答数列新定义的基本步骤 审题：仔细阅读材料，认真理解题意； 建模：将已知的条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是前项和； 求解：求出该问题的数学解； 还原：将所求结果还原到原问题中. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $