精品解析：四川省成都市树德中学2025-2026学年高二上学期10月阶段性测试数学试题

树德中学高2024级高二上学期10月阶段性测试数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出点的坐标，再求出向量的坐标. 【详解】因为点与点关于平面对称且，所以点， 又，所以 故选：D 2. 下面说法正确的是（ ） A. 设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C. 天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D. 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【详解】对于A，次品率描述的是次品的可能情况，从中任取10件，不一定正好1件是次品，故A错误； 对于C，天气预报：“明天降雨概率为”，则明天可能不下雨，故C正确； 对于B和D，概率是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该试验抛一枚硬币出现正面的频率是， 但是抛一枚质地均匀的硬币出现正面的概率是，故B、D错误. 故选：C． 3. 如图，空间四边形OABC中，、分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，则，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合空间向量的运算法则可得，据此确定的值即可. 【详解】由向量的运算法则有： ，① ，② ，③ 又，，∴①＋②＋③，得， 故可得x＝，y＝，z＝. 故选:D. 4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为， 高中生的近视人数为，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题. 5. 春天是鲜花的季节，水仙花就是其中最迷人的代表，数学上有个水仙花数，它是这样定义的：“水仙花数”是指一个三位数，它的各位数字的立方和等于其本身.三位的水仙花数共有个，其中仅有个在区间内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则在集合“水仙四妹”，共个整数中，任意取其中个整数，则这个整数中恰有一个比“水仙四妹”大的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先计算出“水仙花妹”是153，再根据古典概型的计算公式即可求得结果. 【详解】由题意知“水仙花妹”是153， 所以在集合，共5个整数中， 任意取其中2个整数，则基本事件总数, 这个整数中恰有一个比“水仙四妹”大所包含的基本事件个数， ∴概率是. 故选：A. 6. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ） A. B. A与C相互独立 C. A与C对立 D. B与C互斥 【答案】B 【解析】 【分析】先罗列所有可能结果，由古典概型依次计算、、，结合独立事件定义、对立和互斥事件定义即可逐项判断各选项. 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数， 有，， ，， ，，共36个不同结果， 对于A，事件A为“第一次的点数是2”，包含6种情况，则，A错误； 对于B，事件C为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则， 事件AC，即包含3个结果，则， 则有，事件A、C相互独立，B正确. 对于C，事件A、C可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误； 对于D，事件C、B可以同时发生，不互斥，D错误； 故选：B 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 8. 在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则由得， 可令，得，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：， 又，. 所以， 将代入上式整理得： ， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 10. 进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1．日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（ ） A. 中央大街日旅游人数的极差是1.2 B. 冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3 C. 冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大 D. 冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据折线图可求中央大街日旅游人数的极差、冰雪大世界日旅游人数的中位数，故可判断AB的正误.同样根据折线图可求两者的均值和方差，故可判断CD的正误. 【详解】对于A，中央大街日旅游人数的最大值为万，最小值为万， 极差为万，故A错误. 对于B，冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为：， 其中位数为，故B正确. 对于C，冰雪大世界日旅游人数的平均值为， 中央大街日旅游人数的平均值为， 因，故C正确. 对于D，冰雪大世界日旅游人数的方差为： ， 中央大街日旅游人数的方差为： ， 故冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小，故D错误， 故选：BC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三棱锥的体积公式计算的结果；作图得到截面；空间向量法计算线面所成角的正弦值；先求得三棱锥的外接球的半径，再计算球的表面积； 【详解】对于A，连接，因为，平面，平面， 所以平面， 又点是棱上的动点（含端点），所以点到平面的距离为定值，设为， 则，为定值，故A正确； 对于B，如图，延长交延长线于点，连接交于点，连接， 四边形为过的平面截正方体所得的截面图形，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，故，则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时等号成立，又，故C正确． 对于D，如图所示，连接，取的中点为，连接， 设外接圆圆心为，四面体的外接球球心为，连接， 在中，设其外接圆半径为，由正弦定理知， ，所以，即， 依题易得，故， 且和同对弦，故四点共圆， 则，设外接球半径为，过作，交于， 由正方体性质知平面，而平面，则， 又平面，则，所以是矩形，则， 则在中，，即，①， 在中，，即②， 联立①②，解得，，故外接球的表面积为，故D正确； 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.3，且两人下成和棋的概率为0.5，则乙不输的概率为______________． 【答案】0.7. 【解析】 【分析】乙不输分两种情况：乙赢或两人和棋.由条件确定乙赢的概率，可得答案. 【详解】因为甲获胜的概率为0.3，且两人下成和棋的概率为0.5，所以乙赢的概率为1-0.3-0.5=0.2，所以乙不输的概率为0.2+0.5=0.7.故答案为0.7. 【点睛】本题考查两个对立事件的概率性质，属于基础题. 13. 已知样本数据 都为正数，其方差 ，则样本数据 、的平均数为______. 【答案】11 【解析】 【分析】设样本数据的平均数为，由条件结合方差公式可求，再根据平均数的性质可求结论. 【详解】设样本数据的平均数为，则，， 所以 所以 所以， 又， 所以，又，所以， 所以样本数据 、的平均数为. 故答案为：. 14. 在正四棱锥中，，，设平面AEF与直线PC交于点G，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间的一个基底表示相关向量，再利用向量共面的充要条件列式求解. 【详解】， 又，，则， 而，则，因此， 由平面AEF与直线PC交于点G，得A，E，F，G四点共面，则，所以. 故答案为： 四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题各15分，第18，19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知空间中三点，，． （1）求以AB，AC为边的平行四边形的面积； （2）求，其中O是空间坐标系的原点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角公式和同角三角函数关系得到，从而求出平行四边形的面积； （2）求出平面ABC的法向量，求出点O到平面ABC的距离和的面积，由体积公式求出. 【小问1详解】 ， ， ，， ， 所以， 所以AB，AC为边的平行四边形的面积为； 【小问2详解】 设平面ABC的法向量为，由（1）可知：，， 所以有，， 点O到平面ABC的距离为， 由（1）可知， 所以. 16. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值（保留两位小数）以及估计该地区月均用水量的分位数； （2）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于分位数，现从该4人中随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数的概率. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再估算分位数. （2）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式计算得解. （3）利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，解得； 数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率和为，则用水量的分位数， 由，解得， 所以，估计该地区月均用水量的分位数为. 【小问2详解】 设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，， 事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，， 因此， 所以所求概率为. 【小问3详解】 试验的样本空间(甲,乙)，(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)，(丙,丁)，共6个样本点， 事件表示所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数， 则(甲,丙)，(甲,丁)，(乙,丙)，(乙,丁)，共4个样本点， 所以. 17. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对总次数分三种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算可得； （2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率为； 【小问2详解】 若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解. 18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，二面角的大小为60°. （1）求证：平面； （2）已知，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 在四棱锥中，平面，平面 ，， 为二面角的平面角，， 又，. 又平面，平面， 所以平面. （2）存在，G为线段AB的中点. 【解析】 【分析】（1）由二面角定义知，进而得到，再利用线面平行的判定定理证得结论； （2）设，取的中点，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，再利用空间向量求得线面角即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在点G为线段AB的中点. 设，取的中点，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设，得，所以， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则，解得， 所以当G为线段AB的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：本题考查线面平行，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角： 设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两直线所成的角为(),； ②直线与平面所成的角为(),； ③二面角的大小为(), 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （2）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 取中点，连接，由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 过作，则平面，又平面，于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问2详解】 连接，由，得，而，则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为，则， 令，得，设平面的法向量为， 因为，， 则，令，得， 设平面和平面为， 则 令，，则，即，则当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为． 【点睛】利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2024级高二上学期10月阶段性测试数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C. 天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D. 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 3. 如图，空间四边形OABC中，、分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，则，则（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 春天是鲜花的季节，水仙花就是其中最迷人的代表，数学上有个水仙花数，它是这样定义的：“水仙花数”是指一个三位数，它的各位数字的立方和等于其本身.三位的水仙花数共有个，其中仅有个在区间内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则在集合“水仙四妹”，共个整数中，任意取其中个整数，则这个整数中恰有一个比“水仙四妹”大的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ） A. B. A与C相互独立 C. A与C对立 D. B与C互斥 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，分别是棱，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 10. 进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1．日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（ ） A. 中央大街日旅游人数的极差是1.2 B. 冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3 C. 冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大 D. 冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 C. 若与平面所成的角为，则 D. 若是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.3，且两人下成和棋的概率为0.5，则乙不输的概率为______________． 13. 已知样本数据 都为正数，其方差 ，则样本数据 、的平均数为______. 14. 在正四棱锥中，，，设平面AEF与直线PC交于点G，，则_______． 四、解答题：（本大题共5小题，第15题13分，第16，17题各15分，第18，19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知空间中三点，，． （1）求以AB，AC为边的平行四边形的面积； （2）求，其中O是空间坐标系的原点． 16. 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值（保留两位小数）以及估计该地区月均用水量的分位数； （2）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4位居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于分位数，现从该4人中随机选2人，求所选2人中恰有1人月均用水量大于分位数的概率. 17. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次，且乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，二面角的大小为60°. （1）求证：平面； （2）已知，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点， （1）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （2）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $