精品解析：山东省名校考试联盟2025-2026学年高一上学期10月阶段性检测数学试题

山东名校考试联盟 2025年10月高一年级阶段性检测 数学试题 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，再根据交集的定义求解. 【详解】，则. 故选：A 2. 下列各选项中的两个函数为同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数三要素：定义域，对应关系，值域，可判断. 【详解】对于选项 A：的定义域为，而的定义域为 ， 因两函数定义域不同，故不是同一函数，故A错误； 对于选项 B：，由，得 ，故定义域为 则（当 )， 而，显然函数定义域为 ，则， 因两函数的定义域均为 ，且对任意 ，均有 . 故两函数是同一函数，即B正确； 对于选项 C：，由 ，得 或 ，即 定义域为 ， 而，由  且 ，可得 ，即 定义域为 ， 两函数定义域不同，故不是同一函数，即C错误； 对于选项 D：，由 ，得 ，即定义域为 ， 而的定义域为，即两函数的定义域不同，故不是同一函数，即D错误. 故选：B 3. 若，则的最小值等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将变形，即可利用均值不等式求最小值. 【详解】因为，所以，因此,当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值等于3. 故选：D. 4. 命题“若，则”的否定形式为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定形式可直接得到结果. 【详解】原命题可写为：，； 由全称量词命题的否定可知原命题的否定形式为：，. 故选：C. 5. 若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过反例可说明AB错误；根据不等式的性质可知C正确；利用作差法可知D错误. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当，时，，，则，B错误； 对于C，，，又，，C正确； 对于D，， ，，，即，D错误. 故选：C. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，取,,此时，所以不成立； 当，则,即，所以,则一定成立； 所以“”是“”的必要不充分条件 故选:B 7. 某超市计划提高某商品的售价，已知，下列方案中，使该商品的售价最高的是（ ） A. 先提价，再提价 B 先提价，再提价 C. 提价两次，每次都提价 D. 一次性提价 【答案】C 【解析】 【分析】分别列出四个选项中的产品最终售价，采用作差法可确定结果. 【详解】设超市商品原售价为， 对于A，最终售价为； 对于B，最终售价为； 对于C，最终售价为； 对于D，最终售价为； ， C方案售价高于A，B方案售价； ， C方案售价高于D方案售价； 综上所述：C方案售价最高. 故选：C. 8. 对于有限集合，用表示集合中元素的个数.现有三个有限集合，记，，.已知且，，，.则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据容斥原理可知只需求解的最大值即可，根据三个集合两两交集的元素个数可确定最小值，从而求得结果. 【详解】； ，，， ，， 最大值为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集，集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. ⫋ C. D. 的真子集共有7个 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出集合中的不等式的解集，然后根据元素与集合的关系、集合与集合的关系和运算逐项判断即可. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 在集合中，因为，所以. 因为，所以，解得. 在集合中，因为，所以. 对于A： 1是集合的元素，所以，所以A正确； 对于B： 因为，所以，B正确； 对于C： 因为，所以C错误； 对于D： 因为，所以. 所以. 所以的真子集有共7个，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若（其中），则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用一元二次不等式的解集为，得，即可求解；对于B，利用一元二次不等式的解集为，得，即可求解；对于C，根据条件，利用一元二次不等式的解法得，即可求解；对于D，根据条件得，即可求解. 【详解】对于选项A，若，即不等式的解集为， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，所以不等式的解集为时，，故A正确， 对于选项B，若，即不等式的解集为， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，所以不等式的解集为时，，故B错误， 对于选项C，若，即不等式的解集中有且仅有一个元素， 若，不等式为，得到，不合题意， 若，则，解得，此时不等式为， 其解集为时，所以，故C错误， 对于选项D，若（其中），则方程的两根为，且， 所以，又，得到，所以，故D正确， 故选：AD. 11. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，.对于函数，以下说法正确的是（ ） A. B ， C. 不等式的解集为 D. 满足方程的的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可求得A错误；假设B正确，通过讨论可知恒成立，知B错误；分别讨论、、和的情况，由此可得C正确；分别讨论、、和的情况，结合方程有解可知D正确. 详解】对于A，，A正确； 对于B，假设，使得，则， 若，则，； 若，则，； 不存在，使得，B错误； 对于C，当时，，，即； 当时，，，，即； 当时，，，，； 当时，，，； 综上所述：不等式的解集为，C正确； 对于D，当时，，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，， ，需要，； 当时，，， ，不成立； 综上所述：满足方程的的取值范围为，D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可求解. 【详解】，所以， ，所以， 所以. 故答案为：. 13. 若一次函数满足，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】设，则， 所以，解得或， 当时，，此时，， 当时，，此时， 故答案为：或 14. 已知集合，，若，使得，都满足，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据可确定或或，根据区域边界的对应性可构造方程求得结果. 【详解】，或或； ①当或，即或时， 若，则， 此时，即； 若，则，此时， 即； 由得：，； ②当，即时， 若，则，此时，即； 若，则，此时，即； 由得：，； 综上所述：或. 故答案为：或. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求，； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用交集的定义可求得集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为集合，， 所以，或，或， 故或. 【小问2详解】 因为集合，，且，则， 所以，解得， 因此，实数的取值范围是. 16. 已知命题，，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据存在量词命题为真，将其转化成“，在时有解”问题，即使即得的取值范围； （2）先利用数形结合思想求出命题为真时的范围，结合（1）的结论，先考虑全是假命题时的范围，即可求出“命题和至少有一个为真命题”时的的范围. 【小问1详解】 由命题，为真，即，在时有解， 即需使，因，故得. 即实数的取值范围是. 【小问2详解】 若为真命题， ①当时，显然成立； ②当时，需使，解得：， 综上，当为真命题时，. 由（1）知，当为真命题时，， 当全是假命题时，则有，即得， 故当命题和至少有一个为真命题时，的取值范围为. 17. 已知某无人机公司生产的机翼配件去年的年产量为100万组，每组机翼配件的售价为20元，今年公司第一次投入200万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入200万元科技成本，预计年产量每年递增10万组，第次投入后，每组机翼配件的固定成本（单位：元）与成反比，且，若机翼配件的售价保持不变，第次投入后的年利润为万元. （1）求的表达式； （2）从今年起第几年的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】（1）（） （2）第10年利润最大，最大利润为（万元）. 【解析】 【分析】（1）先由条件求的表达式，结合投入利润与科技成本的关系列出的表达式，化简即可； （2）利用（1）的结论和基本不等式即可求得利润最大值. 【小问1详解】 设，则，则，即每组机翼配件的固定成本为元， 因每组机翼配件的售价为20元，第次投入后，年产量为万组， 科技成本投入为万元，则第次投入后的年利润为： ,()； 【小问2详解】 由（1） ，当且仅当，即时取等号， 故第10年利润最大，最大利润为（万元）. 18. 已知函数. （1）若的两个零点分别为，求的最小值； （2）（i）解不等式； （ii）若且的解集为，求实数的值. 【答案】（1） （2）（i）答案见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）解方程可求得，，分别在、和的情况下讨论即可得到最小值； （2）（i）分别在、和的情况下求解不等式即可； （ii）由（i）知，化简得到，根据不等式的解集可构造方程组求得结果. 【小问1详解】 由得：， 解得：，，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上所述：的最小值为. 【小问2详解】 （i）由得：，； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （ii），由得：； 即，， 由已知的解集为， ，解得：. 19. 对于元素个数不小于3的有限集合，若中任意两个不同的元素之差的绝对值各不相同，则称为“稀疏集”.例如：集合中，，，差值的绝对值各不相同，则为稀疏集.规定：空集､单元素集和双元素集均为稀疏集. （1）判断集合是否为稀疏集，并说明理由； （2）设. （i）记中所有的稀疏子集的个数为，求； （ii）设是一个非空稀疏集，且（其中表示集合中元素个数）.证明：. 【答案】（1）不是稀疏集，理由见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据稀疏集的定义判断即可； （2）（i）根据子集元素个数和稀疏集的定义逐一列举即可； （ii）当或时，容易证得，当时，，根据裂项相消求出，再结合稀疏集的定义得出，最后结合放缩法即可求出. 【小问1详解】 不是稀疏集.理由如下： 对于，所以不是稀疏集. 【小问2详解】 （i）， 由规定，､单元素子集､双元素子集均为稀疏集，共有个； 三元素子集中，均为稀疏集，共有6个， 四元素子集中，均不是稀疏集；不是稀疏集. 所以，的稀疏子集总共有个，即. （ii）设，其中. 当或时，满足在恒成立； 当时，设， 由于是稀疏集，所以是各不相同的正整数， 所以 由于是各不相同的正整数，所以， 所以，化简得. 因为，所以， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东名校考试联盟 2025年10月高一年级阶段性检测 数学试题 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各选项中的两个函数为同一函数的是（ ） A 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 若，则的最小值等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 命题“若，则”的否定形式为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ， D. ， 5. 若，则下列结论一定正确是（ ） A B. C. D. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 某超市计划提高某商品的售价，已知，下列方案中，使该商品的售价最高的是（ ） A. 先提价，再提价 B. 先提价，再提价 C. 提价两次，每次都提价 D. 一次性提价 8. 对于有限集合，用表示集合中元素的个数.现有三个有限集合，记，，.已知且，，，.则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设全集，集合，则下列说法正确的是（ ） A. B. ⫋ C. D. 的真子集共有7个 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若（其中），则 11. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，.对于函数，以下说法正确的是（ ） A. B. ， C. 不等式解集为 D. 满足方程的的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数满足，则的取值范围为__________. 13. 若一次函数满足，则__________. 14. 已知集合，，若，使得，都满足，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求，； （2）若集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知命题，，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 17. 已知某无人机公司生产的机翼配件去年的年产量为100万组，每组机翼配件的售价为20元，今年公司第一次投入200万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入200万元科技成本，预计年产量每年递增10万组，第次投入后，每组机翼配件的固定成本（单位：元）与成反比，且，若机翼配件的售价保持不变，第次投入后的年利润为万元. （1）求的表达式； （2）从今年起第几年的利润最大？最大利润为多少万元？ 18. 已知函数. （1）若的两个零点分别为，求的最小值； （2）（i）解不等式； （ii）若且的解集为，求实数的值. 19. 对于元素个数不小于3的有限集合，若中任意两个不同的元素之差的绝对值各不相同，则称为“稀疏集”.例如：集合中，，，差值的绝对值各不相同，则为稀疏集.规定：空集､单元素集和双元素集均为稀疏集. （1）判断集合否为稀疏集，并说明理由； （2）设. （i）记中所有的稀疏子集的个数为，求； （ii）设是一个非空稀疏集，且（其中表示集合中元素个数）.证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $