精品解析：黑龙江省绥化市绥棱林业局中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第一次月考 高二数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率关系可得答案. 【详解】设的倾斜角为，则， 由，故. 故选：C. 2. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以，又点为的中点，所以， 所以 . 故选：A 4. 已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【详解】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 5. 若空间向量，则下列向量可以与构成空间的一个基底的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线、共面、基底等知识应用坐标运算确定正确答案. 【详解】A选项，设， 即， 所以，解得，， 此时不能构成基底. B选项，，此时不能构成基底. C选项，设， 即， ，此方程组无解，故此时能构成基底. D选项，，此时不能构成基底. 故选：C 6. 不论m为何值，直线恒过定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵直线方程为 ∴直线方程可化为 ∵不论何值，直线恒过定点 ∴ ∴ 故选D 点睛：含参直线恒过定点的求法：（1）分离参数法，把含有的参数的直线方程改写成，解方程组，便可得到定点坐标；（2）特殊值法，把参数赋两个特殊的值，联立方程组，即可得到定点坐标. 7. 已知是圆上的动点，点的坐标为，则的最小值为（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出点到圆心的距离，减去半径得所求最小值． 【详解】由已知圆心为原点，半径为，，所以． 故选：D． 【点睛】本题考查定点到圆上点的距离的最值问题，平面上定点到圆心距离加或减云半径的值分别为定点到圆上点的距离的最大值，最小值． 8. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示点与与直线的斜率取值范围，先求出与点连线斜率，再结合题意即可得出答案. 【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围， 如图所示： ∴与点连线斜率为， 与点连线斜率为， ∴可得斜率取值范围为． 故选:A． 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9. 已知圆 ，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有一个交点 D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，将直线变形，即可得到直线过的定点.B选项，结合点到直线的距离公式，可得到结果.C选项，由定点在圆内，即可求解.D选项，由公切线条数可确定两圆位置关系，根据圆心距与两圆半径之间的关系来求解. 【详解】对于A选项，直线 ，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A选项正确. 对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为 ，故B选项错误. 对于C选项，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点.故C选项错误. 对于D选项，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确. 故选：AD 10. （多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分、、、四种情况讨论，结合正切函数的单调性可得结果. 【详解】因为正切函数在上为增函数，在上也为增函数， 分以下四种情况讨论： 当时，则、、均为锐角，且； 当时，则为钝角，、均为锐角，且； 当时，则、均为钝角，为锐角，且； 当时，则、、均为钝角，且. 故选：ABD. 11. 已知空间向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行的条件、向量的模、向量垂直的充要条件、向量夹角余弦的求法运算即可得解. 【详解】由， 则，显然，故A错误； 而， 则，故B正确； 而，则， 所以，故C正确； 而，故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知直线与直线垂直，则实数a的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以， ，解得或. 故答案为：或 13. 如图，已知四棱锥的各棱长均为，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意得到底面四边形ABCD为正方形，为边长为2的正三角形，从而得到. 【详解】因为四棱锥的各棱长均为2，则四棱锥为正四棱锥， 所以底面四边形ABCD为正方形，为边长为2的正三角形， 所以，且， 故， 因， 所以， 故答案为：2. 14. 上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】若军营所在区域为，利用圆的方程的知识画出军营区域及河岸线，作出关于河岸线的对称点，根据对称性质和圆的性质即可求得；若军营所在区域为，先画出在第一象限的军营区域，再利用对称性画出运营区域，注意观察军营区域内哪一个到最近，即可求得. 【详解】（1) 若军营所在区域为， 圆：的圆心为原点，半径为1，作图1如下： 设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点， 因为，所以线段的中点为，则， 又，联立解得：，即. 所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短， 即点到圆上的点的最短距离，即为. （2）军营所在区域为， 对于，在，时为，令，得，令，则， 图形为连接点和的线段，根据对称性得到的图形为图2中所示的菱形， 容易知道：为这个菱形的内部(包括边界). 由图2可知，最短路径为线段，连接交直线于点， 则饮马最佳点为点Q，所以点到区域最短距离. 即“将军饮马”最短总路程为. 综上：两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程相差值为. 故答案为：. 四、解答题（共计77分，解题步骤需写出必要的步骤和文字说明，只写结果不给分） 15. 已知圆，圆 （1）若，求两圆心连线的中垂线的一般式方程； （2）若，且动点满足，求点轨迹方程； （3）若两圆相切，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】 （1）求出两圆心的中点及两圆心连线的斜率，进而可得中垂线的一般式方程； （2）设，将点的坐标代入，整理化简即可； （3）分两圆外切和内切讨论，求的值. 【详解】解：（1）当时， 圆，即为，圆心为， 圆，即，圆心为， 则两圆心的中点坐标为，， 两圆心连线的中垂线为：， 整理得一般式为：； （2）设，，， ，即， ， 整理得点轨迹方程为； （3）圆，即为，圆心为， 圆，即，圆心为， 若两圆相切， 当两圆外切时：，解得； 当两圆内切时：，解得， 综合得：若两圆相切，或. 【点睛】本题考查两圆位置关系的应用，考查直接法求轨迹方程，是基础题. 16. 求直线L的方程： （1）求过点P（1，2）且与直线3x-2y+5=0平行的直线方程； （2）求过点P（1，-1）且与直线2x+3y+1=0垂直的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设该直线为，代入求出得出所求直线方程； （2）设所求直线方程为，代入点即可求得结果. 【小问1详解】 设该直线为，因为该直线过点，所以，解得. 即所求直线为 【小问2详解】 设与直线垂直直线方程为：， 代入得：，解得：. 所求直线方程为：. 17. 在平面直角坐标系中，已知三点. （1）若点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围； （2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）两点式求出的斜率，数形结合求点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围； （2）讨论截距是否为0，结合截距式及所过的点求直线方程即可 【小问1详解】 如下示意图， 当点运动到点时，直线的斜率为， 当点运动到点时，直线的斜率为， 由图知，若点在线段上运动，则直线的斜率的取值范围为. 【小问2详解】 当截距为均为0时，直线方程为，符合题意. 当截距不为0时，不妨设直线方程为，又直线经过点， 故，即，所以直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 18. 已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为中点，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角大小； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，则有，在证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为点M为中点，， 所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知可得， 因为平面， 所以即为平面PCD的一条法向量， ， 设直线与平面所成角为， 则， 又，所以， 即直线与平面所成角的大小为. 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交 于点，连接，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量为，，根据法向量夹角的余弦值求解即可. 【小问1详解】 如图，连接交 于点，连接，因为底面是正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以在中， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 因为四棱锥的底面是正方形，所以，又因为侧棱底面，所以，， 如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为，则，，，所以，， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，则，，所以， 平面的一个法向量为，则， 易知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第一次月考 高二数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. C. D. 或 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若空间向量，则下列向量可以与构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 不论m为何值，直线恒过的定点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是圆上的动点，点的坐标为，则的最小值为（ ） A 9 B. 7 C. 5 D. 3 8. 已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9. 已知圆 ，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有一个交点 D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则 10. （多选）已知三条直线、、的斜率分别为、、，倾斜角分别为、、，且，则其倾斜角的关系可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知空间向量，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 与夹角余弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知直线与直线垂直，则实数a的值为__________． 13. 如图，已知四棱锥的各棱长均为，则________． 14. 上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为__________. 四、解答题（共计77分，解题步骤需写出必要的步骤和文字说明，只写结果不给分） 15. 已知圆，圆 （1）若，求两圆心连线的中垂线的一般式方程； （2）若，且动点满足，求点轨迹方程； （3）若两圆相切，求的值. 16. 求直线L的方程： （1）求过点P（1，2）且与直线3x-2y+5=0平行的直线方程； （2）求过点P（1，-1）且与直线2x+3y+1=0垂直的直线方程. 17. 在平面直角坐标系中，已知三点. （1）若点在线段上运动，求直线斜率的取值范围； （2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍，求直线的方程. 18. 已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为中点，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角大小； 19. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $