4.1 线段、射线、直线知识清单与题型归纳学案－2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

4.1 线段、射线、直线 知识梳理 知识点一、直线 1. 直线的概念与表示方法 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序；也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写字母一小写字母来表示。如图所示， 2. 直线的基本事实 经过两点有且只有一条直线。这一事实简述为：两点确定一条直线 3. 直线的特点：直线没有端点，没有长度，不可度量。 【注意】“延长直线”的说法是错误的 知识点二、射线 1. 射线的表示方法 与直线的表示方法类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。如图所示， 2. 射线的特点：射线只有一个端点，没有长度，不可度量。如上图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB” 知识点三、线段 1. 线段的表示 线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示。如图所示， 2. 线段的基本事实及两点之间的距离 （1） 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短。简述为：两点之间，线段最短。 （2） 两点之间的距离：我们把两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离。如图所示， 【注意】线段与两点之间的距离含义不同：线段是图形，距离是数量，不是一回事；但二者又有紧密的联系：两点之间的距离是连接这两点的线段的长度，不是随便一条线段的长度。 【归纳总结】线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段FE或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 只能向一方无限延伸 可以向两方无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 3. 比较线段长短的方法 方法 观察法 度量法（从“数”的角度） 叠合法（从“形”的角度） 原理 对于两条线段的长短相差很明显的，一般直接观察比较两条线段的长短 用刻度尺分别量出线段的长度，然后根据测量结果进行比较（从“数”的角度） 把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起进行比较 示例 【注意】 （1） 采用度量法比较线段的长短时，要求测量标准相同、单位统一、精确程度一致。 （2） 只有线段才能比较长短，直线和射线不能比较长短。在用“>”“<”或“=”连接两条线段时，字母前的“线段”二字不可省略。 4. 线段的中点 把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点。如图，若AM=MB，则M是线段AB的中点。此时，AM=MB=AB（或AB=2AM=2MB）. 【拓展】 线段的n等分点：若线段上（n-1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n-1）个点为这条线段的n等分点。 知识点四、尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段 如图，已知线段a，作线段AB=a. 作法：（1）作射线AC； （2）以A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B，则线段AB就是所求的线段。 题型精讲 题型一、线段、射线、直线的认识 1. 下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 【答案】D 【分析】本题考查直线、射线、线段的表示方法，由直线、射线和线段的表示方法，即可判断． 【详解】解：A、直线上的点用大写字母表示，不能用小写字母表示，直线用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用两个小写字母表示，故A不符合题意； B、线段用两个大写字母或一个小写字母表示，不能用一个大写字母表示，故B不符合题意； C、表示射线，应该把表示端点的字母放在前面，应该表示为射线，故C不符合题意； D、表示正确，故D符合题意．故选：D． 2. 下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线、射线、线段的概念．由直线、射线、线段的概念，即可判断． 【详解】解：A、延长线段到C，故选项不符合题意；B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意；D、射线与线段有交点，故选项不符合题意．故选：C． 3. 已知三点M，N，G，①画直线MN；②画射线MG；③连接NG．按照上述语句画图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直线、射线和线段，解题的关键是掌握直线、射线、线段的概念． 根据直线、射线和线段的概念求解可得． 【详解】解：A、表示的是射线，表示的是线段，表示的是直线，不符合题意； B、表示的是直线，表示的是射线，表示的是线段，符合题意； C、表示的是直线，表示的是射线，表示的是射线，不符合题意； D、表示的是直线，表示的是射线，表示的是线段，不符合题意．故选：B． 4. 小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确；故选A． 题型二、直线与线段的基本事实 5. 在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键．根据直线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”；②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”；③固定挂钩架，体现了基本事实“两点确定一条直线”；所以，在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有个，故选：D． 6. 在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的性质：两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．，根据线段的性质解答即可． 【详解】解：A、B、D依据两点确定一条直线；C依据两点之间，线段最短．故选：C． 7. 如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A，B的距离和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是（   ） A．经过一点能画无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 【答案】B 【分析】本题考查了线段的性质，利用线段的性质即可求解． 【详解】解：这里用到的数学基本事实是：两点之间线段最短．故选：B． 题型三、画线段、射线、直线 8. 如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： （1）画射线； （2）作直线； （3）画线段； （4）找到一点，使点到、、、四点距离之和最短． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查画直线、射线、线段，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握基本概念． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据直线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可； （4）根据两点之间线段最短，连接、交于点F，点F即为所求． 【详解】（1）解：射线即为所求， （2）解：直线即为所求， （3）解：线段即为所求， （4）解：点即为所求． 9. 已知A，B，C，D四点（如图）： （1）画线段，射线，直线； （2）连，与直线交于点； （3）连接，并延长线段与射线交于点； （4）连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题主要考查了直线、射线、线段的特征，准确掌握直线、线段、射线的特征是解题的关键，属于基础题． （1）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （2）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （3）根据直线，射线，线段的特征可作图求解； （4）根据直线，射线，线段的特征可作图求解． 【详解】（1）解：根据题意画出图如图所示； （2）解：根据题意画出图如图所示； （3）解：根据题意画出图如图所示； （4）解：根据题意画出图如图所示． 题型四、线段、射线、直线的数量问题 10. 如图，网格纸中有七个黑点和六个白点，经过同色的三点可以画 条直线． 【答案】3 【分析】本题考查了直线，根据直线的特点在图中画出满足条件的直线，即可作答． 【详解】作图如下：经过同色的三点可以画3条直线，故答案为：3． 11. 如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 【答案】 3 6 1 【分析】本题考查了直线、射线和线段的认识，直线没有端点，是无限长的；射线有一个端点，可以向一端无限延伸，不能度量长度；线段有两个端点，可以度量长度．据此解答． 【详解】解：由图可知，直线上有A、B、C三个点，根据直线的特征可知，图中有1条直线； 根据射线的特征可知，以A为端点时，有2条射线；以B为端点时，有2条射线；以C为端点时，有2条射线， 所以一共有（条）射线；根据线段的特征可知，图中有线段、线段、线段，3条线段． 即图中有1条直线，6条射线，3条线段．故答案为：1；6；3． 12. 如图，由长沙南始发，终点至邵阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是长沙南—韶山南—娄底南—双峰北—邵阳，那么要为这次列车制作单程车票的种类为 种． 【答案】10 【分析】本题考查直线、射线、线段，掌握线段的性质以及线段条数的计算方法是正确解答的关键．根据线段条数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由长沙南始发终点至邵阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是长沙南—韶山南—娄底南—双峰北—邵阳，要为这次列车制作的单程车票的种类为：（种），故答案为：． 13. 如下图． （1）【试验观察】 如果每2个点画1条直线，那么 第1组最多可以画________条直线； 第2组最多可以画________条直线； 第3组最多可以画________条直线；…… （2）【探索归纳】如果平面上有个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过个点最多可以画________条直线（用含的式子表示）． （3）【解决问题】某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握一次手问好，那么一共需要握多少次手？ 【答案】（1）3，6，10；（2）；（3）一共需要握990次手． 【分析】本题主要考查规律的探究，找出其中的规律是解题的关键． （1）先根据图中点的个数，画出图形，从而可确定出图形中直线的条数； （2）由（1）规律求得即可； （3）根据（1）（2）规律应用求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 直线的条数分别可表示为：，故答案为：3，6，10； （2）解：由（1）规律可得，如果平面上有个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过个点最多可画，故答案为：； （3）解：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好， 那么共握手次数（次），答：一共需要握990次手． 题型五、直线相交的交点个数问题 14. 小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 【答案】 10 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可． 【详解】解：（1）∵两条直线最多有1个交点，∴有n条直线，每一条直线与其他条直线都最多有1个交点，且两条直线的交点只算作一个，∴有n条直线，两两相交最多有个交点， ∴5条直线两两相交最多有个交点，故答案为：10； （2）由（1）得n条直线两两相交最多有个交点，故答案为：． 15. 某市2020年计划投资160亿同时建设9条地铁轨道线，假设要在每个轨道线交叉口建一个报刊亭，且任意两条轨道线至多交叉一次，那么这样的报刊亭最多可建 个． 【答案】36 【分析】此问题相当于“9条直线相交，最多有几个交点”的问题，利用公式直接计算即可. 【详解】∵9条地铁轨道线相当于有9条直线，每一条直线最多与其它直线有8个交点， ∴最多有个交点，即这样的报亭最多有个，故答案为：． 题型六、两点之间的距离 16. 下列说法正确的是（   ） A．过A，B两点的直线的长度是A，B两点之间的距离 B．线段AB就是A，B两点之间的距离 C．在A，B两点之间的所有连线中，其中最短连线的长度是A，B两点之间的距离 D．乘火车从石家庄到北京要行驶283km，是说石家庄与北京的距离是283km 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离的概念是解题的关键．根据两点之间的距离的概念，逐一判断． 【详解】解：A、过、两点的线段的长度是、两点之间的距离，不符合题意； B、线段的长度就是、两点之间的距离，不符合题意； C、在、两点之间的所有连线中，其中最短连线的长度是、两点的距离，符合题意； D、石家庄与北京的距离是石家庄与北京之间线段的长度，不符合题意；故选：C． 17. 关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是（　　） A．连接两点的线段可以有无数条 B．如果线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离 C．连接两点的线段的长度是两点间的距离 D．连接两点的线段是连接两点的所有的线中，长度最小的 【答案】A 【分析】本题考查线段，两点间的距离，线段的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】连接两点的线段只有1条，故A错误； 线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离，故B正确； 连接两点的线段的长度，是两点间的距离，故C正确； 两点之间的距离是连接两点的所有线的长度中，长度最短的，故D正确；故答案为：A 18. 已知直线l上两点A，B之间的距离是． （1）如果点C到A，B两点之间的距离之和恰好等于，那么点C的位置在什么地方？ （2）如果点D到A，B两点之间的距离之和大于，那么点D的位置在什么地方？ （3）小明说存在一点E使点E到A，B两点之间的距离之和等于，你同意他的说法吗？为什么？ （4）你发现平面上任意一点到A，B两点之间的距离之和与线段的长度有什么关系？ 【答案】（1）点C在线段上任意位置都可以；（2）点D在直线上且在点A的左侧，或在直线上且在点B的右侧，或在直线l外；（3）不同意，见解析；（4）平面上任意一点到A，B两点之间的距离之和都大于或等于线段的长度 【分析】本题考查了两点之间的距离，“两点之间，线段最短”，线段的长度，点与直线的位置关系，掌握线段的基本概念是解题的关键． （1）根据两点之间的距离，线段的长度计算即可； （2）根据两点之间的距离，线段的长度，点与直线的位置关系，可得出结论； （3）根据两点之间，线段最短，即可解答； （4）根据两点之间，线段最短，即可解答． 【详解】（1）解：点C到A，B两点之间的距离之和恰好等于，即， 则点C在线段上任意位置都可以． （2）当点D到A，B两点之间的距离之和大于时，点D的位置在线段外．有三种情况均符合要求，如图所示，点D在直线上且在点A的左侧，或在直线上且在点B的右侧，或在直线l外． （3）不同意．理由：根据两点之间，线段最短，可知E到A，B两点之间的距离之和最小等于． （4）平面上任意一点到A，B两点之间的距离之和都大于或等于线段的长度． 题型七、尺规作图 19. 如图，已知线段，用直尺和圆规画出线段c，使它等于．（只写出作法） 解：（1）画射线； （2）在射线上顺次截取______； （3）在线段上截取______，线段______即为所求． 【答案】（2）a；（3）b； 【分析】本题主要考查了线段之间的关系作图，根据第一二步得到，第三步截取后得，线段即为所求． 【详解】解；（1）画射线； （2）在射线上顺次截取； （3）在线段上截取，线段即为所求． 20. 如图，已知线段，，． （1）请用尺规按下列要求作图；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长到，使； ②反向延长线段到，使． （2）在（1）的条件下，如果，，，点为的中点． ①求线段的长度； ②若点在线段上，且，则线段的长为__________． 【答案】（1）见解析；（2）①；②1或5 【分析】本题考查了作线段，与线段中点有关的计算，线段的和差关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据延长到，使，得出点的位置，再结合反向延长线段到，使得出点的位置，即可作答； （2）①先根据点为的中点进行作图，再结合线段的和差关系进行列式得出，然后运用线段的中点进行分析，即可作答． ②理解题意，得出，结合点在线段上，且，进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：①∵，，，∴，∴， ∵点为的中点．∴，∴． ②由①得出，∵，∴，∵点在线段上，且， ∴当点在线段上，则；∴当点在线段上，则． 题型八、线段的中点（等分点）及线段和差的计算 21. 如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【详解】解：∵点在线段上，且，∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且，∴点是线段的中点，故A选项说法错误；即，∴， ∴，，即点是线段的三等分点，故D选项说法正确；点是线段的四等分点，故C选项说法错误．故选：D． 22. 已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段，，那么A、C两点间的距离为（  ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和与差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． 根据题意，分两种情况画出图形分析：①当点C在点B的左侧时；②当点C在点B的右侧时．根据两点间的距离，线段的和差计算解答即可． 【详解】解：分两种情况：①如图所示，当点C在点B的左侧时， ，，； ②如图所示，当点C在点B的右侧时， ，，；综上所述，A、C两点间的距离为或．故选：C． 23. 如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论．先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则，故，点D是的中点，故， 点E是的三等分点，故，，∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立，∴正确的结论为①②④．故选：B ． 24. 如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且． （1）线段AC的长为 cm． （2）若点E在线段AD上，，则线段BE的长为 cm． 【答案】（1）5；（2）4 【分析】（1）先根据中点求出的长度，再用的长度减去的长度得到； （2）先求出的长度，再确定点的位置，求BE的长度． 【详解】（1）因为B为线段的中点，且，所以 又因为，所以． （2）由（1）知所以 已知，所以点E在之间，． 【点睛】本题考查了线段的中点性质和线段的和差计算，掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． （1）如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 （2）如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 【答案】（1）；（2）MN=AB，理由见解析 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据点M、N分别是线段、的中点，由线段的中点定义可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案； （2）同（1）可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段、的中点，∴，， ∴，∵，∴； （2）解：MN=AB，理由如下：∵点M、N分别是线段、的中点，∴，， ∴，∵，∴MN=AB． 26. 如下图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． （1）若，求的长． （2）若，是的中点，求BE的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】  （1）根据，可求得，据此即可求得答案； （2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴． ∵，∴． （2）解：∵，∴．∵，∴，∴， ∴．∵是的中点，∴，∴． 【点睛】本题主要考查线段的和差关系，线段的中点的有关计算问题，掌握线段和差关系和中点定义是本题的关键． 27. 如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． （1）求线段的长度． （2）若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，三等分点的定义， （1）根据，即可求解； （2）先求出的长，再根据三等分点的定义可求解；根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵点为线段的中点，∴，∴线段的长度为； （2）当时，则，∵，∴，， ∵，∴； 当时，则，∵，∴，， ∵，∴；∴线段的长度为或． 28. 小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】（1）；（2）；；． 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． （1）首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； （2）①由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，，， 点、分别是、的中点，，，；故答案为：； （2）因为、分别是、的中点，，，， ，；故答案为：； ，，，，， ，； ，，，，， ，，故答案为：． 29. 【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，线段的和差，关键是注意分类讨论． （1）根据线段中点进行求解即可； （2）①根据已知先得到，再利用求出最后结果； ②分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论． 【详解】解：（1），点是的中点，． 点是线段的中点，． （2）①，，，，． ②，，． 当点在点左边时，，，． 当点在点右边时，，，．综上可得的长为7或1． 题型九、线段、直线、射线上的动点问题 30. 如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． （1）当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； （2）当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】（1）①出发6秒后，；②见解析；（2）①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后，则，， 为中点，，，解得：，出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，；理由：如图 设，为中点，，， 为的中点，①，长度不变； ②，长度变化；①长度不变， 31. 如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． （1）当时，，请求出的长； （2）若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； （3）在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查线段的和差运算，动点问题，熟练掌握数形结合，并会分类讨论是解题的关键． （1）由题意，当时，，，得出，结合，得出，可得，结合即可求解； （2）设运动时间为，则，，得，同（1）方法即可求解； （3）分类讨论，当点在线段上时和点在的延长线上时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， 则， ∵，∴，即， ∴，，∴，则； （2）解：设运动时间为，∴，，∴， ∵，∴，即， ∴，，∴，则； （3）解：当点在线段上时， ∵，∴,∵，∴， 由（2）知，∴，∴，∴； 当点在的延长线上时， ．综上所述，或． 32. 如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： （1）当时，______；当时，______． （2）若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【答案】（1），；（2）①，②线段的长为或 【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键； （1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解； （2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解； ②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：当时，，，， 当时，，，， 故答案为：， （2））①由题意，得，，当点，相遇时，，，则，所以， 因为，所以，所以； ②由①可得，，因为，所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，，故线段的长为或． 33. 已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． （1）若，求和的长； （2）若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】（1），；（2）①6.5；②或． 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，，根据点E是的中点，可得出，由，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，，∴，即，∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，，∴， ∴，， ∵点E为的中点，∴，∵，∴， ∴； ②分两种情况： （i） 如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，，∴，∵，∴， ∴，综上所述，的长为或． 34. 如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． （1）求线段的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； （3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】（1）厘米；（2）；（3）①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米，厘米； （2）∵点, 分别是的中点,，； （3）解：①当 时，为线段的中点，，解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) ,综上所述：或 35. 如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm． 【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可． 【详解】解：（1）图形补充完整如图， ∵CB＝AB，∴CA＝，，故答案为：； （2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒， cm，cm，， ②当时，∵AB ＝ 9cm， cm，∴cm，∴cm，cm， 运动时间为：18÷3=6（秒），则cm，cm，cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm， 当时，∵AB ＝ 9cm， cm，∴cm，∴cm， 运动时间为：36÷3=12（秒），则cm，cm，cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴cm，cm，cm， 综上，MN的长是12cm或24cm． 【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 线段、射线、直线 知识梳理 知识点一、直线 1. 直线的概念与表示方法 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序；也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写字母一小写字母来表示。如图所示， 2. 直线的基本事实 经过两点有且只有一条直线。这一事实简述为：两点确定一条直线 3. 直线的特点：直线没有端点，没有长度，不可度量。 【注意】“延长直线”的说法是错误的 知识点二、射线 1. 射线的表示方法 与直线的表示方法类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。如图所示， 2. 射线的特点：射线只有一个端点，没有长度，不可度量。如上图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB” 知识点三、线段 1. 线段的表示 线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示。如图所示， 2. 线段的基本事实及两点之间的距离 （1） 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短。简述为：两点之间，线段最短。 （2） 两点之间的距离：我们把两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离。如图所示， 【注意】线段与两点之间的距离含义不同：线段是图形，距离是数量，不是一回事；但二者又有紧密的联系：两点之间的距离是连接这两点的线段的长度，不是随便一条线段的长度。 【归纳总结】线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段FE或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 只能向一方无限延伸 可以向两方无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 3. 比较线段长短的方法 方法 观察法 度量法（从“数”的角度） 叠合法（从“形”的角度） 原理 对于两条线段的长短相差很明显的，一般直接观察比较两条线段的长短 用刻度尺分别量出线段的长度，然后根据测量结果进行比较（从“数”的角度） 把其中的一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起进行比较 示例 【注意】 （1） 采用度量法比较线段的长短时，要求测量标准相同、单位统一、精确程度一致。 （2） 只有线段才能比较长短，直线和射线不能比较长短。在用“>”“<”或“=”连接两条线段时，字母前的“线段”二字不可省略。 4. 线段的中点 把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点。如图，若AM=MB，则M是线段AB的中点。此时，AM=MB=AB（或AB=2AM=2MB）. 【拓展】 线段的n等分点：若线段上（n-1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n-1）个点为这条线段的n等分点。 知识点四、尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段 如图，已知线段a，作线段AB=a. 作法：（1）作射线AC； （2）以A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B，则线段AB就是所求的线段。 题型精讲 题型一、线段、射线、直线的认识 1. 下列图形及其表示方法正确的是（   ） A．直线： B．线段： C．射线： D．直线l： 2. 下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 3. 已知三点M，N，G，①画直线MN；②画射线MG；③连接NG．按照上述语句画图正确的是（   ） A． B． C． D． 4. 小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 题型二、直线与线段的基本事实 5. 在如图所示的现象中，体现了直线的基本事实“两点确定一条直线”的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6. 在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 7. 如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A，B的距离和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是（   ） A．经过一点能画无数条直线 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 题型三、画线段、射线、直线 8. 如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： （1）画射线； （2）作直线； （3）画线段； （4）找到一点，使点到、、、四点距离之和最短． 9. 已知A，B，C，D四点（如图）： （1）画线段，射线，直线； （2）连，与直线交于点； （3）连接，并延长线段与射线交于点； （4）连接，并延长线段与线段的反向延长线交于点． 题型四、线段、射线、直线的数量问题 10. 如图，网格纸中有七个黑点和六个白点，经过同色的三点可以画 条直线． 11. 如图，点，，在直线上，则图中有 条线段， 条射线，有 条直线． 12. 如图，由长沙南始发，终点至邵阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是长沙南—韶山南—娄底南—双峰北—邵阳，那么要为这次列车制作单程车票的种类为 种． 13. 如下图． （1）【试验观察】 如果每2个点画1条直线，那么 第1组最多可以画________条直线； 第2组最多可以画________条直线； 第3组最多可以画________条直线；…… （2）【探索归纳】如果平面上有个点，且任意3个点均不在1条直线上，那么经过个点最多可以画________条直线（用含的式子表示）． （3）【解决问题】某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握一次手问好，那么一共需要握多少次手？ 题型五、直线相交的交点个数问题 14. 小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有 个交点； （2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，） 15. 某市2020年计划投资160亿同时建设9条地铁轨道线，假设要在每个轨道线交叉口建一个报刊亭，且任意两条轨道线至多交叉一次，那么这样的报刊亭最多可建 个． 题型六、两点之间的距离 16. 下列说法正确的是（   ） A．过A，B两点的直线的长度是A，B两点之间的距离 B．线段AB就是A，B两点之间的距离 C．在A，B两点之间的所有连线中，其中最短连线的长度是A，B两点之间的距离 D．乘火车从石家庄到北京要行驶283km，是说石家庄与北京的距离是283km 17. 关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是（　　） A．连接两点的线段可以有无数条 B．如果线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离 C．连接两点的线段的长度是两点间的距离 D．连接两点的线段是连接两点的所有的线中，长度最小的 18. 已知直线l上两点A，B之间的距离是． （1）如果点C到A，B两点之间的距离之和恰好等于，那么点C的位置在什么地方？ （2）如果点D到A，B两点之间的距离之和大于，那么点D的位置在什么地方？ （3）小明说存在一点E使点E到A，B两点之间的距离之和等于，你同意他的说法吗？为什么？ （4）你发现平面上任意一点到A，B两点之间的距离之和与线段的长度有什么关系？ 题型七、尺规作图 19. 如图，已知线段，用直尺和圆规画出线段c，使它等于．（只写出作法） 解：（1）画射线； （2）在射线上顺次截取______； （3）在线段上截取______，线段______即为所求． 20. 如图，已知线段，，． （1）请用尺规按下列要求作图；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①延长到，使； ②反向延长线段到，使． （2）在（1）的条件下，如果，，，点为的中点． ①求线段的长度； ②若点在线段上，且，则线段的长为__________． 题型八、线段的中点（等分点）及线段和差的计算 21. 如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 22. 已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段，，那么A、C两点间的距离为（  ） A． B． C．或 D．不能确定 23. 如图所示，在线段上，且是线段的中点，是的三等分点（靠近），则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的有（　　） A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 24. 如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且． （1）线段AC的长为 cm． （2）若点E在线段AD上，，则线段BE的长为 cm． 25. 如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点． （1）如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 （2）如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 26. 如下图，为线段延长线上一点，为线段上一点，． （1）若，求的长． （2）若，是的中点，求BE的长． 27. 如图，点为线段上一点，点为线段的中点，且，． （1）求线段的长度． （2）若点在线段上，且点是线段的三等分点，求线段的长度． 28. 小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 29. 【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 题型九、线段、直线、射线上的动点问题 30. 如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． （1）当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； （2）当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 31. 如图，是线段上一点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左运动（在线段上，在线段上），运动的时间为． （1）当时，，请求出的长； （2）若、运动到任一时刻时，总有，请求出的长； （3）在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的长． 32. 如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： （1）当时，______；当时，______． （2）若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 33. 已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． （1）若，求和的长； （2）若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 34. 如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． （1）求线段的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； （3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 35. 如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 学科网（北京）股份有限公司 $