5.1.2弧度制 导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦弧度制，通过对比角度制引入弧度概念，构建从定义、互化方法、特殊角对应到扇形弧长与面积公式的知识支架，衔接角度制与实数集对应关系，形成完整知识脉络。 以数学眼光对比角度制与弧度制，通过互化例题、象限角集合表示及“会圆术”变式题，培养抽象能力与推理意识，扇形公式推导与应用强化模型观念，助力学生用数学语言表达和解决问题，提升学习效率。

弧度制（导学案） 学习目标： 1．了解弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性； 2．能进行弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度制； 3．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式，会应用公式解决简单的问题。 重难点： 1、了解弧度制，理解弧度的概念，能正确进行弧度和角度的互化。 2、能在弧度制下推导扇形的弧长公式和面积公式，并熟练应用。 基础知识、基本思想： 一、弧度制 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度， 这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 二、角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 3、角的集合与实数集R的关系 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系， 如图,每个角都是唯一的实数（等于这个角的弧度数）与它对应； 反之，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的交)与之对应。 四、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 基本技能、基本活动经验： 题型一：弧度和角度的互化 例1-1：把化成弧度。 练习1：把下列角度化成弧度 练习2：把下列弧度化成角度 例1-2 ：分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合 题型二 扇形的弧长、面积公式的应用 例2-1: 利用弧度制证明下列关于扇形的公式 其中是圆的半径，为圆心角，扇形的弧长，是扇形的面积 练习1：计算半径为1m的圆中，的圆心角所对弧的长度。 练习2：已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数。 练习3：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么 变式1：若扇形的半径等于2，求弧长和面积？ 变式2：使用“会圆术”，求上题中扇形弧长的近似值。 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”。如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧。C是AB的中点，D是上, CD⊥AB，“会圆术”给出了的弧长的近似值s的计算公式： .当OA=2，∠AOB=时，s= 课后练习：已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是。 （1）若扇形的周长是一定值 ，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积； （2）若扇形的面积是一定值 ，当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长。 学科网（北京）股份有限公司 $