专题04 圆应用题相关计算（计算专项训练）数学北师大版六年级上册

专题04：圆应用题相关计算 （一）圆的周长 圆的周长公式：C=πd 或C=2πr （二）圆的面积 圆的面积公式：Ｓ＝πｒ²　或者S=π（d÷2）² 或者S=π（C÷(2π)）² （三）圆环的面积 一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 S=πR²－πｒ²或S=π（R²－ｒ²）。（其中R＝r＋环的宽度．） （四）半圆的周长 半圆的周长公式： Ｃ＝πd÷2＋d或Ｃ＝πr＋2r （五）半圆的面积 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为：Ｓ＝πｒ²÷2 题型1：自行车车轮问题 题型特征：车轮路程就是周长 典型例题： 一辆自行车的车轮直径是0.9米，车轮向前滚动十圈大约前进了多少米？ 解题思路：车轮是圆形，滚动一圈前进的距离等于圆的周长。根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14，d表示直径）。已知车轮直径为0.9米，代入公式可得：3.14×0.9＝2.826（米）。用一圈的距离乘滚动圈数10圈解答即可。 解题过程： 3.14×0.9＝2.826（米） 2.826×10＝28.26（米） 答：车轮向前滚动十圈大约前进了28.26米。 跟踪训练： 淘气和他的同学们低碳出行，组织了一场秋季最美环岛共享单车环游，共享单车车轮的外直径是0.7米。淘气说：“如果平均每分钟转200周，通过一座长3000米的桥，大约需要7分钟。”你认为淘气说得对吗？请通过计算并说明理由。 题型2：周长的实际应用 题型特征：找准周长，利用周长公式求解 典型例题： “天宫一号”与“天宫二号”目标飞行器是中国自主研制的载人空间实验平台，地球的半径大约是6400千米，“天宫一号”在距地球340千米高的圆形轨道上运转，“天宫二号”在距地球390千米高的圆形轨道上运转，“天宫二号”比“天宫一号”的轨道长多少千米？ 解题思路：“天宫一号”在距地球340千米高的圆形轨道上运转，可以得出“天宫一号”运转一周的路程是一个半径为6400＋340＝6740（千米）圆的周长，“天宫二号”在距地球390千米高的圆形轨道上运转，可以得出“天宫二号”运转一周的路程是一个半径为6400＋390＝6790（千米）圆的周长，用“天宫二号”运转圆的周长和用“天宫一号”运转圆的周长相减。 解题过程： 2×3.14×（6400＋390）－2×3.14×（6400＋340） ＝2×3.14×6790－2×3.14×6740 ＝2×3.14×（6790－6740） ＝6.28×50 ＝314（千米） 答：“天宫二号”比“天宫一号”的轨道长314千米。 跟踪训练： 为了更好地提高学生的核心素养，科学老师带领学生去观察树木，探求树木的生长情况。科学老师用一根20米长的绳子测一棵树的树干周长，绳子在树干上绕了6圈，还剩余1.16米。你能求出这棵树的树干的半径是多少米吗？ 题型3：半圆的周长 题型特征：根据实际情况，确认周长 典型例题： 笑笑和淘气分别从A、B两处出发，沿半圆形跑道走到C、D。两条跑道相距1.2米，则淘气比笑笑多走多少米？ 解题思路：分析题目，笑笑走的路程是以10米为半径的圆周长的一半；淘气走的路程是以（10＋1.2）米为半径的圆周长的一半，据此结合圆周长的一半＝πr列式分别求出笑笑和淘气走的路程，最后用淘气走的路程减去笑笑走的路程即可解答。 解题过程： 10×3.14＝31.4（米） 3.14×（10＋1.2） ＝3.14×11.2 ＝35.168（米） 35.168－31.4＝3.768（米） 答：淘气比笑笑多走3.768米。 跟踪训练： 如图，是一个拱形城门，其上方是一个半圆，下方是一个正方形。如果这个拱形门半圆的长度为12.56米，拱门的高度是多少米？ 题型4：组合图形的周长 题型特征：复杂图形，周长需要描线 典型例题： 将4根PVC管道如图用铁丝捆扎在一起，每根管道外圈直径为8厘米，捆扎2圈至少需要多长的铁丝？（接头处长度忽略不计） 解题思路：观察截面可知，一圈的长度由四个直径和一个整圆周长组成，根据外圈直径为8厘米，圆的周长＝圆周率×直径，代入数据可算出一圈的长度，再乘2即为捆扎2圈的铁丝长度。 解题过程： （3.14×8＋4×8）×2 ＝（25.12＋32）×2 ＝57.12×2 ＝114.24（厘米） 答：捆扎2圈至少需要114.24厘米长的铁丝。 跟踪训练： 东东去超市买了3瓶相同的电解质饮料。售货员阿姨帮他用丝带将饮料捆扎起来（横截面如下图）。若打结处用去15厘米的丝带，则共需要多长的丝带？ 题型5：圆面积的实际应用 题型特征：利用面积公式求解 典型例题： 如图，一张直径为16分米的圆桌上面铺了一块直径是18分米的圆形桌布。这块桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 解题思路：因为一张直径为16分米的圆桌上面铺了一块直径是18分米的圆形桌布，桌布下垂部分可看作是一个圆环。圆桌的半径（内圆半径）为16÷2＝8分米，圆形桌布的半径（外圆半径）为18÷2＝9分米。根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2）（π取3.14，R为外圆半径，r为内圆半径），把数据代入计算即可。 解题过程： 18÷2＝9（分米） 16÷2＝8（分米） 3.14×（92－82） ＝3.14×（81－64） ＝3.14×17 ＝53.38（平方分米） 答：这块桌布下垂部分的面积是53.38平方分米。 跟踪训练： 王爷爷用一根绳子测量一张圆桌桌面的面积。他是这样测量的：如果用绳子绕桌边3周，绳子余下212厘米；若用绳子绕桌边4周，绳子则缺102厘米。 （1）请用图示和文字简述题意。 （2）这个桌面的周长是多少？ （3）这个桌面的面积是多少呢？ 题型6：半圆的面积 题型特征：圆面积的一半 典型例题： 李奶奶用37.68米长的篱笆在房前的空地上围了一个圆形的鸡舍，现在由于养鸡数量的增加，她利用一面墙和原来的篱笆将鸡舍改成了一个半圆形，改变后面积增加了吗？若增加，增加了多少？ 解题思路：已知用37.68米长的篱笆围成一个圆形鸡舍，那么圆形鸡舍的周长是37.68米；根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再利用圆的面积公式S＝πr2求出圆形鸡舍的面积； 现在利用一面墙和原来的篱笆将鸡舍改成了一个半圆形，即用37.68米长的篱笆围成半圆的弧长，根据C＝2πr可知，半圆的弧长是πr，由此求出半圆的半径；再利用半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出半圆形鸡舍的面积； 最后把改变前后鸡舍的面积进行比较，得出改变后面积是否增加，如果增加，用减法求出增加的面积。 解题过程： 改变前： 37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 改变后： 37.68÷3.14＝12（米） 3.14×122÷2 ＝3.14×144÷2 ＝226.08（平方米） 226.08＞113.04 增加了：226.08－113.04＝113.04（平方米） 答：改变后面积增加了，增加了113.04平方米。 跟踪训练： 刘大爷家的养鸡场一面靠墙，他用31.4米的篱笆围成一个半圆。这个养鸡场的面积有多大？ 题型7：圆的面积与时钟问题 题型特征：时钟是半径，再求面积 典型例题： 一个挂钟时针长8厘米，从上午6时到上午9时，它的针尖走了多少厘米？时针扫过的面积是多少平方厘米？ 解题思路：时针从上午6时到上午9时，经过3小时；时针转一圈是12小时，那么3小时占12小时的； 求从上午6时到上午9时，长8厘米的时针针尖走过多少厘米，就是求半径为8厘米的圆的周长的，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解； 求从上午6时到上午9时，长8厘米的时针扫过的面积是多少平方厘米，就是求半径为8厘米的圆的面积的，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 解题过程： 9时－6时＝3小时 3÷12＝ 2×3.14×8×＝12.56（厘米） 3.14×82× ＝3.14×64× ＝50.24（平方厘米） 答：它的针尖走了12.56厘米，时针扫过的面积是50.24平方厘米。 跟踪训练： 妈妈新买了一个挂钟，时针长5厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是多少平方厘米？时针针尖走过的路程是多少厘米？ 题型8：圆环的面积 题型特征：大圆面积-小圆面积 典型例题： 有一个环形铁片（如图），它的内圆直径是4米，外圆半径是3米，这个环形铁片的面积是多少平方米？ 解题思路：求这个环形铁片的面积，就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 解题过程： 4÷2＝2（米） 3.14×（32－22） ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方米） 答：这个环形铁片的面积是15.7平方米。 跟踪训练： 捣药罐由捣药筒、捣药杆和盖子组成，是家庭日常用品，主要作用是将放入其中的物品（如中药、大蒜等）捣碎。如图是一个捣药罐盖子的形状（近似一个圆环），已知外圆半径为10厘米，内圆半径为2厘米，请你求出盖子面（涂色部分）的面积。 题型9：最大面积问题 题型特征：画出扇形图，求面积 典型例题： 草地上有一个木桩，把一头牛用绳拴在木桩上，若绳子长4米，这头牛最多可以吃到多少平方米的草？ 解题思路：根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出半径是4米的圆的面积，也就是牛最多可以吃到多少平方米的草，据此解答。 解题过程： 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：这头牛最多可以吃到50.24平方米的草。 跟踪训练： 如图，院子两堵墙的长度分别为5米和7米，墙外是一片草地，如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米（绳子两端连接处忽略不计），画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据并求其面积。 题型1：自行车车轮问题 跟踪训练： 淘气和他的同学们低碳出行，组织了一场秋季最美环岛共享单车环游，共享单车车轮的外直径是0.7米。淘气说：“如果平均每分钟转200周，通过一座长3000米的桥，大约需要7分钟。”你认为淘气说得对吗？请通过计算并说明理由。 【答案】见详解 【分析】可以根据圆的周长公式求出车轮的周长，再乘200求出一分钟车轮行走的距离，再乘7求出7分钟行走的路程与3000米比较即可。圆的周长C＝πd。 【详解】3.14×0.7×200×7 ＝2.198×1400 ＝3077.2（米） 3077.2≈3000。 答：我觉得淘气说得对。因为7分钟可以走3077.2米。 题型2：周长的实际应用 跟踪训练： 为了更好地提高学生的核心素养，科学老师带领学生去观察树木，探求树木的生长情况。科学老师用一根20米长的绳子测一棵树的树干周长，绳子在树干上绕了6圈，还剩余1.16米。你能求出这棵树的树干的半径是多少米吗？ 【答案】0.5米 【分析】先算出绕树干6圈所用绳子的长度，然后除以6，就可以得到树干1圈的长度，也就是树干的周长，再根据r＝C÷π÷2，代入数据计算，就可以求出这棵树的树干的半径，据此解答。 【详解】（20－1.16）÷6 ＝18.84÷6 ＝3.14（米） 3.14÷3.14÷2＝0.5（米） 答：这棵树的树干的半径是0.5米。 题型3：半圆的周长 跟踪训练： 如图，是一个拱形城门，其上方是一个半圆，下方是一个正方形。如果这个拱形门半圆的长度为12.56米，拱门的高度是多少米？ 【答案】12米 【分析】拱门的高度＝正方形的边长＋圆的半径，根据半圆弧长的公式：（其中是圆的半径），用半圆的周长除以3.14，可得圆的半径，圆的直径是半径的两倍，因为下方是正方形，所以正方形的边长等于圆的直径，即可求解。 【详解】圆的半径：（米） 圆的直径：（米） 拱门的高度：（米） 答：拱门的高度是12米。 题型4：组合图形的周长 跟踪训练： 东东去超市买了3瓶相同的电解质饮料。售货员阿姨帮他用丝带将饮料捆扎起来（横截面如下图）。若打结处用去15厘米的丝带，则共需要多长的丝带？ 【答案】51.84厘米 【分析】根据题意，用丝带将3瓶半径是3厘米的饮料捆扎起来，则所需丝带的长度＝半径为3厘米的圆的周长＋6条3厘米的线段＋打结处用的长度，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 【详解】2×3.14×3＋3×6＋15 ＝18.84＋18＋15 ＝51.84（厘米） 答：共需要51.84厘米长的丝带。 题型5：圆面积的实际应用 跟踪训练： 王爷爷用一根绳子测量一张圆桌桌面的面积。他是这样测量的：如果用绳子绕桌边3周，绳子余下212厘米；若用绳子绕桌边4周，绳子则缺102厘米。 （1）请用图示和文字简述题意。 （2）这个桌面的周长是多少？ （3）这个桌面的面积是多少呢？ 【答案】（1）见详解 （2）314厘米 （3）7850平方厘米 【分析】（1）画一条线段，表示出绳子长度，分4份，其中3份相同，剩下的长度要小些，标出剩余的长度；再画一条和上面相等的线段，其中的3份和上面线段的3份相同，剩下部分再用虚线补齐，等于3份中的一份，标出缺少部分的长度，再根据图形，说明题意，据此解答（画法不唯一）。 （2）绕桌子3周的长度＋加上剩余的长度＝用绳子绕桌子4周后的长度－缺少的长度；设圆桌的周长为x厘米，3周是3x厘米，4周是4x厘米；列方程：3x＋212＝4x－102，解方程，求出圆桌的周长； （3）圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷2÷π，据此求出桌子的半径，再根据圆的面积＝π×半径2，求出桌子的面积，据此解答。 【详解】（1）如图： 王爷爷要用一根绳子测量圆桌的面积，王爷爷先用绳子绕圆桌3周，绳子还剩下212厘米；再用绳子绕圆桌4周，绳子还缺少102厘米。 （2）设圆桌的周长是x厘米。 3x＋212＝4x－102 4x－3x＝212＋102 x＝314 答：这个桌面的周长是314厘米。 （3）314÷2÷3.14 ＝157÷3.14 ＝50（厘米） 3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方厘米） 答：这个桌面的面积是7850平方厘米。 题型6：半圆的面积 跟踪训练： 刘大爷家的养鸡场一面靠墙，他用31.4米的篱笆围成一个半圆。这个养鸡场的面积有多大？ 【答案】平方米 【分析】篱笆的长度正好等于半径相等的圆的周长一半，用篱笆的长度×2，求出这个圆的周长；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出半径；半圆的面积等于半径相等的圆的面积一半；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】31.4×2÷3.14÷2 ＝62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝314÷2 ＝157（平方米） 答：这个养鸡场的面积有157平方米。 题型7：圆的面积与时钟问题 跟踪训练： 妈妈新买了一个挂钟，时针长5厘米，经过一昼夜，时针扫过的面积是多少平方厘米？时针针尖走过的路程是多少厘米？ 【答案】157平方厘米；62.8厘米 【分析】时针长度相当于圆的半径，经过一昼夜，时针旋转2圈，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的周长＝2×圆周率×半径，分别计算出旋转1圈的面积和周长，再分别乘2即可。 【详解】3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（平方厘米） 2×3.14×5×2 ＝31.4×2 ＝62.8（厘米） 答：时针扫过的面积是157平方厘米，时针针尖走过的路程是62.8厘米。 题型8：圆环的面积 跟踪训练： 捣药罐由捣药筒、捣药杆和盖子组成，是家庭日常用品，主要作用是将放入其中的物品（如中药、大蒜等）捣碎。如图是一个捣药罐盖子的形状（近似一个圆环），已知外圆半径为10厘米，内圆半径为2厘米，请你求出盖子面（涂色部分）的面积。 【答案】301.44平方厘米 【分析】观察图形可知，求盖子面（涂色部分）的面积，就是求圆环的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【详解】3.14×（102－22） ＝3.14×（100－4） ＝3.14×96 ＝301.44（平方厘米） 答：盖子面（涂色部分）的面积是301.44平方厘米。 题型9：最大面积问题 跟踪训练： 如图，院子两堵墙的长度分别为5米和7米，墙外是一片草地，如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4米（绳子两端连接处忽略不计），画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据并求其面积。 【答案】28.26平方米；图见详解 【分析】通过观察图形可知，这只小羊能吃到草的面积等于半径为4米的圆面积的加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×42×＋3.14×22× ＝3.14×16×＋3.14×4× ＝50.24×＋12.56× ＝25.12＋3.14 ＝28.26（平方米） 答：这只小羊吃草的面积是28.26平方米。 作图如下： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $