3.3：幂函数【九大考点+九大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

3.3幂函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点三　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【例题详解】 题型一、幂函数的概念、参数问题 【例题1】．（25-26高一上·全国）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【跟踪训练1】．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【跟踪训练2】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 题型二：幂函数的解析式或求值问题 【例2】．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪训练1】．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·安徽安庆·期末）幂函数为增函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 题型三：幂函数的基本性质 【例3】．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 【跟踪训练1】．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【跟踪训练2】．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在定义域上单调递减 题型四、幂函数的图象及应用 【例4】．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【跟踪训练1】．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（23-24高一上·新疆）下列命题中正确的是（    ） ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，函数的图象是一条直线； ④幂函数当是增函数； ⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少. A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤ 题型五、根据幂函数单调性比较大小 【例5】．（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型六：幂函数的单调性解不等式问题 【例6】．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：幂函数的奇偶性问题 【例7】．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 【跟踪训练1】．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【跟踪训练2】．（23-24高一上·浙江温州·期中）若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 题型八：常见五种幂函数问题 【例8】．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．若，则 C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象经过点，函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．为增函数 D．为减函数 【跟踪训练2】．（24-25高一上·天津河北·期中）下列关于幂函数的描述正确的是（   ） A．幂函数的图象必过定点（0，0）和（1，1） B．幂函数的图象可能经过第四象限 C．当幂指数，，3时，幂函数是奇函数 D．当幂指数时，幂函数是增函数 题型九：幂函数性质的综合问题 【例9】．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·江西赣州·期末）已知函数为幂函数. (1)判断函数的单调性，并加以证明； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一下·河北保定·期末）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（    ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 3．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 7．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数在区间上单调递减，则 C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 11．（22-23高三上·海南·阶段练习）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 12．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 13．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 14．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（   ） A．为非奇非偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．在上单调递减 三、填空题 15．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知幂函数在上是减函数，则实数 ． 16．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 17．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 18．（24-25高一上·江苏南通·期中）若，则实数的取值范围是 . 19．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 20．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知幂函数为偶函数. (1)求实数的值，并写出的单调区间（不必证明）； (2)若，求的取值范围. 21．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 22．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 23．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 24．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 25．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3幂函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点二　五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 知识点三　一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【例题详解】 题型一、幂函数的概念、参数问题 【例题1】．（25-26高一上·全国）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 【跟踪训练1】．（2025·湖南·一模）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 【跟踪训练2】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 题型二：幂函数的解析式或求值问题 【例2】．（24-25高一下·辽宁抚顺·开学考试）若函数是幂函数，且，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】设出幂函数解析式，根据条件得到方程，求出，代入求值. 【详解】设，由得，解得，所以， 所以． 故选：C 【跟踪训练1】．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合可求得的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】设，则，所以，故， 因此. 故选：A. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·安徽安庆·期末）幂函数为增函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和单调性确定的值，再代入求值即可. 【详解】由题意知，解得：或，即或， 因为增函数，则，于是. 故选：C. 题型三：幂函数的基本性质 【例3】．（24-25高一上·江苏扬州·期末）若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 【答案】B 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误； 对于B：令，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 的值域为，故D错误. 故选：B. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．是其定义域上的减函数 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出解析式，然后对选项逐个判断即可. 【详解】设，则，解得，故， 则的定义域为，故A错误； 的值域为，故B错误； ，则为偶函数，故C正确； 在和上分别单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误. 故选：C. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在定义域上单调递减 【答案】D 【分析】由条件求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质判断即可. 【详解】∵幂函数的图象过点，设， ∴，即，得， ∴，其定义域为，故B错误； ∵定义域关于原点不对称，∴为非奇非偶函数，故A错误； ∵定义域为，，∴的值域是，故C错误； ∵，∴在定义域上单调递减，故D正确. 故选：D. 题型四、幂函数的图象及应用 【例4】．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 【跟踪训练1】．（2026高三·全国·专题练习）若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·新疆）下列命题中正确的是（    ） ①幂函数的图象都经过点和点； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③当时，函数的图象是一条直线； ④幂函数当是增函数； ⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少. A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤ 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义和性质逐项判断①②③④⑤，可得出合适的选项. 【详解】对于①，当时，幂函数的图象不过原点，①错； 对于②，因为幂函数在第一象限有图象，若幂函数在第四象限有图象， 则存在，使得有两个值与之对应，与函数的定义矛盾， 故幂函数在第四象限没有图象，②对； 对于③，当时，对于函数，则， 且当时，，即幂函数的图象为两条射线，③错； 对于④，当时，在上为减函数，在上为增函数，④错； 对于⑤，当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少，⑤对. 故选：D. 题型五、根据幂函数单调性比较大小 【例5】．（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项. 【详解】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D 【跟踪训练2】．（24-25高一上·全国·课后作业）若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用幂函数知识，结合偶函数和单调性性质，转化比较大小即可. 【详解】为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减， 所以，即． 故选：B. 题型六：幂函数的单调性解不等式问题 【例6】．（24-25高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 【跟踪训练1】．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减， 则在上单调递减， 所以不等式， 即或或， 解得或无解或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【跟踪训练2】．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数， 所以，函数的定义域为， 且函数在和上单调递减，当时，，当时，， 所以不等式可化为或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 题型七：幂函数的奇偶性问题 【例7】．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知幂函数，对任意且，都有，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．等于0 C．恒小于0 D．无法判断 【答案】C 【分析】由函数为幂函数可得或，再结合函数的性质确定，结合单调性的性质可得结论. 【详解】因为函数为幂函数， 所以， 解得或； 因为对任意且，都有， 可知函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减，矛盾， 当时，，函数在上单调递增，满足条件， 所以，， 函数为奇函数，函数在上单调递增， 由，可得，所以，即， 所以. 故选：C. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为对任意，且，满足， 即对任意，都有， 故函数是幂函数且在上单调递增， 所以， 所以， 则，明显为上的奇函数， 由得， 所以， 所以. 故选：A. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·浙江温州·期中）若幂函数的图象经过点，则下列判断正确的是（    ） A．在上为增函数 B．方程的实根为 C．的值域为 D．为偶函数 【答案】D 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为，所以在上为减函数，错误； 对于B：令，所以，解得，所以方程的实根为，错误； 对于C：因为，所以，所以，所以的值域为，错误； 对于D：因为的定义域为关于原点对称，且， 所以为偶函数，正确. 故选：D 题型八：常见五种幂函数问题 【例8】．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（    ） A．函数为偶函数 B．若，则 C． D． 【答案】C 【分析】令，根据函数过点，代入求出的值，即可求出函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】令，由，得，解得，则， 所以的定义域为，则为非奇非偶函数，故A错误； 因为，所以在上单调递增， 则当时，，故B错误； 当且时， ，， 则，， 又，所以，则， 所以，故C正确； 当时，即，故D错误. 故选：C 【跟踪训练1】．（24-25高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象经过点，函数，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义与求解，从而可得的单调性，于是可得的单调性与奇偶性. 【详解】因为是幂函数，所以，即， 又的图象经过点，所以，解得， 所以，则为上的增函数， 则，则函数的定义域为， 所以非奇非偶函数，且为上的减函数. 故选：D. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·天津河北·期中）下列关于幂函数的描述正确的是（   ） A．幂函数的图象必过定点（0，0）和（1，1） B．幂函数的图象可能经过第四象限 C．当幂指数，，3时，幂函数是奇函数 D．当幂指数时，幂函数是增函数 【答案】D 【分析】根据幂函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数的图象不过，所以A选项错误. B选项，对于幂函数当时，，所以B选项错误. C选项，当时，幂函数是非奇非偶函数，所以C选项错误. D选项，当时，幂函数在定义域上单调递增， 所以D选项正确. 故选：D 题型九：幂函数性质的综合问题 【例9】．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，解出的值，再根据幂函数的单调性检验，即可得到答案； （2）分离变量，再结合基本不等式可得的范围； （3）代入，化简，因式分解，按两根的大小关系分类讨论，即得答案. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·江西赣州·期末）已知函数为幂函数. (1)判断函数的单调性，并加以证明； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，结合可得出函数的解析式，判断出函数在上单调递增，然后利用函数单调性的定义证明即可； （2）由不等式得，，令，由，得，当时，直接验证即可；当时，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数为幂函数，则，即， 因为，所以，得，则函数在上单调递增， 下面证明： 任取、且， 则， 因为，所以，而， 得，即，故函数在上单调递增. （2）由不等式得，， 令，由，得， 不等式变为：，得， 当时，上式恒成立， 当时，则，而， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 故实数的取值范围为. 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一下·河北保定·期末）若函数为幂函数，则函数在定义域内为（    ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义得进而得到函数，利用奇偶性的定义得到偶函数，再根据幂函数的性质以及奇偶性判断单调性即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以，得， 所以，定义域为， 因为， 所以在定义域内为偶函数，故C错误，D正确； 根据幂函数的性质知在单调递减， 又在定义域内为偶函数，所以在单调递增， 故A错误，B错误. 故选：D 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（    ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂函数的概念求出或，再根据幂函数在上的单调性进行选择. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或． 因为且都有成立， 所以在上单调递减，所以． 故选：D 3．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知幂函数的图像经过点，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．为减函数 D．的值域为 【答案】D 【分析】根据图象过点求出函数解析式，再由解析式判断定义域、单调性、奇偶性、值域得解. 【详解】设， 由函数的图像经过点，则，解得， 所以，故函数的定义域为，故A错误； 由定义域关于原点对称及可知函数为偶函数，故B错误； 由在上无单调性，故C错误； 因为，故的值域为，故D正确. 故选：D 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数解析式结合题意可得，代入解一元二次不等式即可. 【详解】设幂函数， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 因为，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6．（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立，所以该函数在是减函数， 所以，故A，B错误； ，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：D. 7．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 8．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据吗函数的定义和图象与性质可得，进而求出，结合二次函数在区间上单调性求出参数即可. 【详解】由幂函数的定义知，，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，故. 所以，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线， 又在上单调，则或， 解得或，即实数的取值范围为. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数在区间上单调递减，则 C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 【答案】BD 【分析】根据幂函数的概念和性质逐项判断即可. 【详解】幂函数的图象不过点，A说法错误； 当幂函数在区间上单调递减时，，B说法正确； 对于幂函数，无奇偶性，C说法错误； 任何幂函数的图象都不经过第四象限，D说法正确； 故选：BD 10．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数 【答案】BC 【分析】由幂函数的性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】A错误，当时，，此时的定义域为； B正确，当时，在上单调递增，所以； C正确，当时，，所以是偶函数； D错误，当时，，则，定义域不关于原点对称所以不是奇函数. 故选：BC. 11．（22-23高三上·海南·阶段练习）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】先代入点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断AB；由时，可得可判断C；利用展开与0比较可判断D. 【详解】设幂函数 将点代入函数得：，则， 所以， 显然在定义域上为增函数，所以A正确； 因为的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确； 当时，，即，所以C正确； 时， ，所以，又， 所以成立，所以D不正确. 故选：AC 12．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 【答案】ACD 【分析】设.根据幂函数的定义即可求得.由即可判断选项A；根据偶函数的定义即可判断选项B；作差法比较与大小即可判断选项C；对变形得，由函数单调性的性质即可判断选项D. 【详解】∵函数是幂函数，∴设. ∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴. ∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确； ∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误； ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴，故选项C正确； ∵， ∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确. 故选：ACD. 13．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例；B选项，时，，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小. 【详解】A选项，当时，，不经过原点，A错误； B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确； C选项，若，则函数在上单调递增，C正确； D选项，，， ， 故 ，当且仅当时，等号成立， 故，D正确. 故选：BCD 14．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（   ） A．为非奇非偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数的定义，运用代入法，结合幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】由函数是幂函数，设，又的图像经过点， 所以，∴，即． 对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以 ，所以，故C正确； 对于D，， 由函数单调性的性质可知，函数是上的减函数，故D正确， 故选：ACD 三、填空题 15．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知幂函数在上是减函数，则实数 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义及性质可得 【详解】因为是幂函数， 所以, 解得或. 当时，为增函数，不符合题意； 当时，在上是减函数，符合题意； 故答案为:. 16．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 17．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用是幂函数和图象经过点得到解析式，再根据单调性列不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数且图象经过点， 所以，解得，所以， 易知在上单调递增，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为： 18．（24-25高一上·江苏南通·期中）若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质可知在定义域上单调递减，结合题干列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为幂函数在定义域上单调递减， 所以， 故答案为：. 19．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，实数满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性以及奇偶性可求解，即可根据的单调性求解. 【详解】由于幂函数在上单调递减， ，解得． 或． 当时，为偶函数，满足条件， 当时，为奇函数，不满足条件， 则，不等式，即 在上为增函数，，解得． 故答案为： 四、解答题 20．（24-25高一下·辽宁·开学考试）已知幂函数为偶函数. (1)求实数的值，并写出的单调区间（不必证明）； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，单调增区间为，单调减区间为. (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数，可求出m的值，结合函数的单调性即可确定m的取值，进而求得函数单调区间. （2）结合函数的奇偶性以及单调性，将转化为关于x的不等式，即可求得答案. 【详解】（1）因为是幂函数， 故，解得或； 当时，，定义域为，满足，函数为偶函数， 当时，，定义域为，函数非奇非偶函数，不符题意； 故，，其单调增区间为，单调减区间为. （2）由（1）知为偶函数，单调增区间为，单调减区间为. 由于，故， 即且，解得或， 即的取值范围为， 21．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可； （2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以的解析式为. （2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 22．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． （2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 23．（24-25高一上·北京·期中）已知幂函数在定义域上不单调． (1)求函数的解析式； (2)函数是否具有奇偶性？请说明理由； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)奇函数，理由见解析； (3). 【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解. （2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性； （3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为. （2）函数为奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或，解得或， 所以实数的取值范围. 24．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由条件得到求解即可； （2）由条件得到的值域为值域的子集.再分类讨论求解； 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，， 则； ②当时，， 则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 25．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）令，求出函数在区间上的值域即可； （3）令，可得，不等式转化为，由参变量分离法可得，其中，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 故. （2）当时，可得， 令，因为，所以，即可得， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，，当时，. 所以函数在区间上的值域为. （3）令，因为，所以， 因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $