19.重难题型卷(七)解直角三角形及其应用-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（人教版）河北专版

真题圈数学九年级RJ9G 21.解11)：sm30=方i血60=9， ∴.∠ABF≈37°.易得∠A'BA≈74°， smas-(份)+(=1，结论立。 点4运动的路径长≈-是元 (3)8-35 (2)成立.理由如下： 分析：点A'落在AB的垂直平分线上，如图(2)所示， 在Rt△ABC中，sina=g,sinB=且a+b=c2, 由旋转性质可得A'B=AB=6. C :点A'落在AB的垂直平分线上，·BJ=3, msm0-(+---1，放结论成立 .AJ=√AB2-BJ2=V62-32=35 (3)tan a sin a AD=8,..JK=AD=8,:4'K=JK-A'J=8-33 cos a 即点A'到直线CD的距离是8-3√5 22.【解】(1)：AD是BC边上的高， 4 .△ABD和△ACD都是直角三角形 在Rt△ABD中，：sinB=号，AD=12, E :铝=号解得4B=15D=B-A0=9 又BC=14,∴CD=BC-BD=5. (2)在Rt△ACD中，E为斜边AC的中点， H A C ·BD=EC=34C,∠C=∠EDC (2) (3) m∠Dc=mC=8-号 第24题答图 (4)当点F在AD上且DF=2时，AF=AB=AB=6,则四 23.【解J(1):BC⊥AB,.∠ACB+∠CAB=90. 边形ABA'F是正方形，此时点A在边BC上，如图(3)所示. :∠CAB=14°，∴.∠ACB=90°-14°=76° 过点E作EH⊥BC于点H,连接EC 又：m76=24,且8c=17m, 易得EH=BH=号AB=3,HC=BC-BH=8-3=5. ∴.AB≈4×1.7=6.8(m) 在Rt△EHC中，根据勾股定理，得EC=√EH+HC2=V32+53 即AB的长约为6.8m. (2)如图所示，过点O作OH⊥MN =网.iw6c8=祭-点- 于点D,交半圆O于点H,连接 OM,则DH的长度表示最大水深. 19.重难题型卷（七）解直角三角形及其应用 :∠BAM=7°， 1.A【解析】由题图得∠AOB=60°，.sim∠AOB=sin60°= ∴∠BOM=2∠BAM=14°， 3.故选A ∴.∠M0D=90°-14°=76°. 第23题答图 在R△M0D中，m76°=94 2A【解析：s血A=号，cosB-分，∠A,∠B都是锐角， ∴.∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°-45°-60°=75°.故选A 设OD=km(k>0),则MD≈4km. 由(1)知AB≈6.8m,.OM≈3.4m, 60【解折1m4-瓷=写乙4=30，乙B= 3.4≈+(4)2，解得k≈西（负值已舍去， 90°-30°=60°.故答案为60°. 5 4.45°或60°【解析】：tamx-(√3+1)tanx+√3=0，.(tanx- 01≈34=34=26m 5 l)(tanx-V3)=0,∴.tanx=1或tanx=V5.当tanx=1时， 即最大水深约为2.6m x=45°；当tanx=√3时，x=60°.故x=45°或60°.故答案 24.【解】(1)18 为45°或60° 分析：如图(1)所示，点A的运动轨迹为A,过点A'作 AG⊥AB. 5解)原武=1是×名-（八-=4 D 由图可知，当A'B落在边BC上时， AG最长，此时，△ABA'面积最大， (2)原式=3×9-12×号-25-1 3 6.B A'G=AB. :AB=6,由旋转性质可得A'B= 7.C【解析】由题图知AC=V22+12=V5,AB=V22+1=5! 6,∴.此时△ABA'是等腰直角三角B, BC=V32+1=V10.:AC2+AB2=BC2,∴.△ABC是直角三 形，A'G=6, 角形，∠A=90,mB=6-1,5c=号4B:4C= ·△ABA面积的最大值=)AB· s咖4=sm45°=9选项C符合题意，故选C 2 4G=3×6×6=18 8.B【解析】如图，延长CB到点D,连接AD,由题意得AD2=12+ (2)当AF=4.5时，点F在AD边上， 第24题答图(1) 12=2,AC2=22+42=20,CD2=32+32=18,.AD2+CD2= :四边形ABCD是矩形，.∠BAF=90°， AC2,.△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，CD=3V2, tan∠ABF=4g=4.5_3 AB6-4 24C=25,cosC=C2-35=30.故选B 501 AC-25-10 答案与解析 15.220【解析】如图，过点C作AB的垂线，垂足为点D. :mB=音-品， B .CD=5x cm,BC 13x cm (x>0). :am4=0-24D=2cD=10rcm 第8题答图 第9题答图 :BD=V13x)2-(5x)2=12x(cm), 9.32【解析】如图，四边形BCED是正方形，.DB∥AC, .'AB AD+BD 10x+12x 22x(cm). △CPn△D8P,部=%=3. 由22x=44,得x=2.则CD=5x=10cm 连接BE,与CD的交点为F,·四边形BCED是正方形， 故56c=3AB·CD=7×44×10=20(em). 故答案为220. DF CF CD,BF=BE,CD BE,CD LBE, .BF=CE 又DP:CP=BD:AC=1:3, DP:DF=1:2.DP=PF=BE 在△P3F中，m∠BPF=架=2 B D E ∠APD=∠BPF,.tan∠APD=2. 故答案为3；2 第15题答图 第16题答图 1,B【解析】由题意可知amC=品=2， 16.【解]1)设DE=3x,:sim∠BCD=},DE⊥BC, CD=2,..AD=4,..AD BD=4. 器-cD=5x,CE=x :AD⊥BD,∴.△ABD为等腰直角三角形， CD=5,.x=1. AB=√2AD=4√2.故选B. ∠B=45°，∴.DE=BE=3x, 11.D【解析】连接BD(图略)，：E,F分别是AB,AD的中点， ∴.BC=BE+CE=7x=7. ∴BD=2EF=12,CD2+BD2=25+144=169,BC2=169, (2)如图，过点A作AF⊥BC于点F,则DE∥AF .CD2+BD2=BC2,.∠BDC=90°， ,D是AB的中点，.DE是△ABF的中位线， anC=品-号故选D .AF=2DE,BF 2BE. 由(1)可知DE=BE=3,.AF=6,BF=6, 12.B【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴.CF=BC-BF=1,.tan∠ACB=6. ÷mA=%cosA=6mB=瓷. 17.A【解析】设此人所在的位置升高了xm, '.'sin A:cosA =2:3, ,斜坡的坡度为1：2， “%治=2：3，整理得瓷-号剂 .此人前进的水平距离为2xm, 3 由勾股定理得x2+(2x)2=(100V5)2, 六mB=瓷-2放选B 解得x=100(负值舍去)， 1D【解折】c0s8=号.∠8=45”.分情况讨论。 ∴.此人所在的位置升高了100m 故选A ①当△ABC为钝角三角形时，如图(1)，：AB=12√2，∠B= 18.1【解析】如图，在Rt△BAD中， 45°，.AD=BD=12.:AC=13,由勾股定理得CD=5, AB=5m,∠BAD=37°， .BC=BD-CD=12-5=7.②当△ABC为锐角三角形时， 如图(2)，同理可得BC=BD+CD=12+5=17.故选D. 则BD=AB·sin∠BAD≈5× 5 A =3(m). 在Rt△BCD中，∠C=30°， 第18题答图 '.BC=2BD≈6m, 则调整后的楼梯大约会加长6-5=1(m).故答案为1. 19.【解】(1)如图，过点B作BD⊥AF于点D,则四边形BDFE为 矩形，.EF=BD.设BD=xm, B -----D B D 坡面AB的坡度为1：√5， (1) (2) :'AD=3 xm. 第13题答图 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2, 14.3【解析】DE⊥AC,∴.∠ADE+∠CAD=90° 即8002=(V5x)2+x2, ,在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∴.∠CAD+∠BAC=90°， 解得x=400(负值舍去)， 第19题答图 .∠BAC=∠ADE. 则BD=400m,∴.EF=BD=400m :sin∠ADE=号，BC=AD=4, (2),坡面BC的坡度为1：1，BC=200m, m∠a4C=器-号无-号ac=i BE=CE=竖BC=100万m 由勾股定理，得AB=√AC2-BC2=3.故答案为3 ).CF=CE+EF=100V2+400≈541.4(m). 真题圈数学九年级RJ9G 20.A【解析】设AD=xm,:AB=16m, 在Rt△CBD中，∠CBD=45°， ∴.BD=AB-AD=(16-x)m 则BC=√2CD=30W2 n mile, 在Rt△ADC中，∠A=45°，.CD=AD·tan45°=xm. :救援艇到达C处所用的时间=302=3y三(h).故选D. 在R△CDB中，∠B=60,m60=品=16产=5， 40-4 25.【解(1)过点D作DH⊥BC,垂足为点H,如图 .x=24-8V5. 在Rt△DCH中，∠CDH=90°-60°=30°，CD=400W3m, 经检验，x=24-8V3是原方程的根， DH=CD·cos300=400N5×￥5=600(m, .CD=24-83=8(3-√3)m.故选A 21.40V5【解析】由题意可得，∠BDA=45°，则AB=AD=120m .点D到BC的距离为600m 又：∠CAD=30°，∴.在Rt△ADC中，tan∠CAD=tan30 (2)过点D作DG⊥AB,垂足为点G,如图. =易-9，解得CD=405m故答案为405】 由题意得BG=HD=600m, .AB=1400m, 22.【解】(1)30 ,∴.AG=AB-BG=1400-600=800(m). (2)2020√5 在Rt△ADG中，∠DAB=90°-45°=45°， 分析：：DE⊥CE,.∠DEC=90°. ,.DG=AG·tan45°=800m. 在Rt△DCE中，∠DCE=30°，CD=40m, 在Rt△BDG中，BD=VBG2+DG2=√6002+800=1000(m)】 ·DE=)CD=20m,CE=√5DE=205m 北 (3)过点D作DF⊥AB于点F,如图. ·东 D 由题意得BF=DE=20m,DF=BE, 16 设AB=xm,则AF=AB-BF=(x-20)m 在Rt△ABC中，∠ACB=45°， 六8C=经=m, .'DF BE BC+CE =(x+203)m. 第25题答图 在Rt△ADF中，∠ADF=32°， .AF=DF·tan32°≈0.62(x+20V3)m, 20.第二十九章学情调研 .x-20≈0.62(x+20V3), 1.A2.B 解得x≈108，.AB≈108m. 3.B【解析】在同一时刻阳光下树高和影长成正比例，且影子的 答：圣像的高度AB约为108m. 位置在树的同一方向上，选项B中的图形符合题意.故选B. 4.B5.C 6.B【解析】由题意画出草图，如图，平台上至少还需再放这样的 正方体2个.故选B. 32°>D 45° B E 第22题答图 正面 23.D【解析】如图所示，由题意可知，∠BAD=60°，∠CBP= 第6题答图 50°，.∠BCE=∠CBP=50°，即B地在C地的北偏西50°方 7.B8.A 向上，故A错误。 9.B【解析】设上水面所在圆的半径长为xcm,依题意有冬= ,'∠ABP=∠BAD=60°， ∴.A地在B地的南偏西60方向上，故B错误 ,解得x=3故选B ∠ACB=90°-∠BCE=40°，故C错误. 10.C【解析】如图，过点E作EQ⊥FG于点Q, E .∠BAD=60°，∴.∠BAC=30°， 由题意可得EQ=AB.EF=8cm,∠EFG “s血∠BAC=方，故D正确，故选D =45°，BQ=AB=Y G x8=4√2(cm). Q 2 故选C. 第10题答图 北 北 1L.D【解析】如图，延长PA,PB分别交x轴于点C,D,过点P G-H ·东 作PMLx轴，垂足为M,交AB y 60 60° 于点N A C B D P(3,2),A(0,1),B(4,1), N 第24题答图 .AB∥CD,AB=4, M D 第23题答图 24.D【解析]如图，过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D, PN=MN=1. ..4B=PN 第11题答图 在Rt△CAD中，∠CAD=30°，AC=60 n mile, CDPM' 则cD-方4c=30nmie 38即击-c0=8放选D O、真题圈数学 商可调研卷（下）广九牛 7.(月考·23-24石家庄同文中学改编)如图，在4×3的正方形 12.(月考·22-23邢台十九中)如图，在Rt△ABC 网格图中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上， 中，∠C=90°，a,b分别是∠A,∠B的对边， 19.重难题型卷（七） 则下列关于△ABC的说法不正确的是() 若sinA:cosA=2:3,则tanB的值是( 解直角三角形及其应用 A.是直角三角形 B.tan B =1 B C.面积为5 第12题图 出州 题型一 特殊角度的三角函数值 Ds咖A=9 c 期 13.(期中·23-24石家庄十七中)已知在△ABC中，AB=122, 1.(期中·23-24邢台襄都区)小明利用如图所示的量角器量 出∠AOB的度数，sin∠AOB的值 4C=13,cosB=5,则BC的长为( 2 ) 为( ) A.7 B.8 C.8或17 D.7或17 A B② 第7题图 第8题图 第9题图 B 14.(期中·23-24石家庄来城区)如图，在 2 第1题图 8.(模考·2022石家庄二十八中二模)如图，方格纸中的每个小 c D.3 矩形ABCD中，DE⊥AC,垂足为点E, 方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶 若i血∠ADE=手，AD=4,则AB的长 2.(期中·23-24石家庄二十七中)在△ABC中，若sinA= 2 点都在方格的格点上，则cosC=( 为 cosB=∠A,∠B都是锐角，则∠C的度数是( A号 B.3i0 10 15.(期中·22-23秦皇岛七中)已知在 第14题图 A.750 B.90° C.105o D.1209 c25 D② 4 △BC中，∠4，∠B是锐角，且mB=音，mA=,B 3.(期中·21-22石家庄二十八中)在Rt△ABC中，∠C= 9.(期中·21-22邢台信都区)如图，在边长相同的小正方形网 =44cm,则△ABC的面积等于 cm2 90Bc=号4C=9.则∠B= 格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上，AB,CD相 16.(期中·22-23那台襄都区)如图，在△ABC中，∠B=45° CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC,垂足为点E.若 4.(期中·23-24石家庄四十四中)若锐角x满足tanx-(√5+ 交于点P,则的值为 tan∠APD的值为 PB 1)tanx+V5=0,则x= CD=5,sin BCD 5.(期末·22-23唐山风凰中学)计算： 金理教前 题型三解直角三角形 (1)求BC的长. (1)tan45°-sin30°cos60°-cos245°. 10.(期中·22-23张家口桥西区)如图，AD是△ABC的高.若 (2)求∠ACB的正切值 (2)3tan30°-tan245°+2sin60° BD=2CD=4,tanC=2,则边AB的长为( A.22 B.42 第16题图 C.35 D.62 题型二格点问题 阳图 6.(期中·22-23石家庄四十八中)已知，∠a的顶点位于正方形 网格的格点上，若tana=名，则满足条件的∠a是( 第10题图 第11题图 图 11.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，若 EF=6,BC 13,CD=5,tan C=( A号 c高 D号 63 题型四实际应用 21.(月考·21-22石家庄外国语)如图，从甲楼底部A处测得乙 类型3方向角问题 类型1坡度、坡角问题 楼顶部C处的仰角是30°，从甲 23.(期中·23-24邢台信都区)如图，嘉淇一家驾车从A地出发， 17.(期中·23-24张家口宣化区)某人沿若坡度为1：2的山坡 楼顶部B处测得乙楼底部D处 沿着北偏东60的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的 前进了100W5m,则此人所在的位置升高了() 的俯角是45°，已知甲楼的高AB 楼 方向行驶到C地，且C地恰好位于A地的正东方向上，则下 A.100m B.505 m C.50m D.205m 是120m,则乙楼的高CD是 列说法正确的是() 北 18.情境题某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角 m.(结果保留根号) 第21题图 A.B地在C地的北偏西40°方向上 由37°减至30°，已知原楼梯长为5m,则调整后的楼梯 22.(期中·23-24石家庄二十七中改编)某数学实践小组利用 B.A地在B地的南偏西30°方向上 大约会加长 m. 参考数据：sn37P心号cos379号 所学的数学知识测量一圣像的高度AB,如图，该数学实践小 C.∠ACB=50° 组在点C处测得圣像顶端A的仰角为45°，然后沿斜坡CD D.sim∠BAC= 第23题图 行走40m到点D处，在点D处测得圣像顶端A的仰角为 tan37≈ 24.(期中·22-23石家庄外国语)如图，一艘渔船从港口A沿北 4 32°.已知∠ACD=105°（点A,B,C,D在同一平面内）. 偏东60°方向航行60 n mile到达 19.情境题如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山 (I)过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,则∠DCE C处时突然发生故障，位于港口A 坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得 正东方向的B处的救援艇接到求 坡长AB=800m,BC=200m,坡面AB的坡度为1：√5， (2)填空：DE= m,CE= m(结果保留 救信号后，立即沿北偏东45方向 坡面BC的坡度为1：1. 根号) 以40 n mile/h的速度前去救援 (1)求AB段山坡的高度EF (3)求此圣像的高度AB(结果精确到1m,参考数据：√2 第24题图 救援艇到达C处所用的时间为( (2)求山峰的高度CF(√2≈1.414,5≈1.732) ≈1.4，√3≈1.7，sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tn32° A多hBh C.33h D.32h ≈0.62) 4 25.(期末·23-24唐山路南区)如图，甲、乙两人从A点出发去牛 游玩，约定在点C处会合。 甲的路线：从点A出发，先沿着正东方向行走1400m到达 点B处，再沿着正北方向行走到达点C; 第19题图 45 乙的路线：从点A出发，先沿着东北方向行走到点D处，再 第22题图 由点D处沿者南偏东60方向行走400W3m到达点C (1)求点D到BC的距离 (2)求BD的长， 类型2仰角、俯角问题 20.情境题如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点 第25题图 A处测得树顶C的仰角为45°，在 点B处测得树顶C的仰角为 60°，且A,B,D三点在同一直线 上，若AB=16m,则这棵树CD 的高度是() 第20题图 A8(3-5)m B.8(3+√5)m C.6(3-5)m D.6(3+√5)m 64