18.第二十八章 锐角三角函数学情调研-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（人教版）河北专版

真题圈数学 7.如图，在平面直角坐标系中，第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为a,点P在射线OA上， 同步调研卷（下） 九年城RU9G 最 若sina=号，则点P的坐标可能是() A.(3,5) B.(5,3) C.(4,3 D.(3,4) 18.第二十八章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分） 1.(期中·21-22石家庄二十入中)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,AB=5,则 第7题图 第8题图 第9题图 cosA的值为( 8.(期中·21-22邢台襄都区)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，则下列选 B月 项中不能表示tanB的是( c A. B品 c D 2.(期中·21-22邢台信都区)若tan30°的值用一个点表示在数轴上，这个点的位置可能落在图 9.(期中·23-24石家庄四十一中)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点A,B, 中段( C都在格点上，则sinB的值为( A.① B.② C.③ D.④ 4.2g 13 B.313 13 c D. 10.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=8,AB=4,则BC的长是( A45 B.47 C.6 D.8 0.7 09 第1题图 第2题图 第5题图 3.(月考·23-24邢台七中)把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值( A.不变 B.缩小为原来的 第10题图 第11题图 第12题图 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 11.(期中·22-23石家庄二十八中)如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是 4.(期末·22-23秦皇岛海港区)在△ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，如果+b= 169,小正方形的面积为49，则sina·cosa=( ) 2,那么下列结论正确的是( ) A.bcos B=c B.atan A=b A器 B.1 c1器 D渴 C.csin A=a D.ctan B=b 12.情境题某限高曲道路阿口如图所示，AB垂直地面1于点A,BE与水平线，的夹角为a(0°≤a 5.(月考·22-23石家庄二十三中)如图，AB是河堤横断面的迎水坡，坡高AC=1,水平距离 ≤90°)，EF∥1∥2，若AB=1.4m,BE=2m,车辆的高度为h(单位：m,不考虑闸口与车辆 驱加 BC=√3，则斜坡AB的坡度为( 阳图 的宽度，给出下列说法： B.3 图 ①当a=90时，h<3.3m的车辆均可以通过该闸口； 品 C.30° D.60 ②当a=45时，h=2.9m的车辆不可以通过该闸口： 感 6(潮中·21-2张家口宝化区)在△A8C中，若都in4-号+学号-c0sB 0,∠A,∠B都是锐 ③当a=60°时，h=3,1m的车辆不可以通过该闸口 则上述说法正确的个数为() 角，则∠C的度数是(） A750 B.90 C.105 D.120 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 19.(8分)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=25,求AB的长. 13.(期中·23-24石家庄九中)sin30°+√2c0s45°= 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边的中点，连接CD,若BC=4,CD=3,则 sin∠DCB的值为 第19题图 第14题图 第15题图 第16题图 15.(模考·2023唐山路南区二模)四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4 的平行四边形，则cosa的值为·若a=30°，则平行四边形的面积为 16.(期中·23-24石家庄四十四中)如图，已知点A的坐标为（√3,1），B为x轴正半轴上一动点，则 ∠AOB的度数为 ;在点B运动的过程中，AB+】OB的最小值为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 20.情境题（期中·22-23秦皇岛七中）(8分)某数学活动小组实地测量互相平行的一段东西走 17.(8分)计算：(1)8sin260°+an45°-3tan30° 2)}-5八4m45°+6eos60°-+5 向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B在其南偏东45°方向，然后向北走 20m到达点C处，测得点B在点C的南偏东33方向，求出这段河的宽度.（结果精确到1m,参 精品 考数据：sin33°≈0.54，cos33≈0.84，tan33°≈0.65，√2≈1.41) 金皇软停 18.(月考·23-24邢台七中)(6分)在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a:b:c= 第20题图 3:4:5求证：sinA+simB=} 一60一 21.新知深索(8分)嘉嘉在某次作业中得到如下结果： 22.(期中·22-23石家庄四十二中)(10分)如图.在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的 sin27°+sin283°≈0.12240.992=0.9945， 中点，BC=14,AD=12,simB=号.求： 需 sin222°+sin268°≈0.3产+0.932=1.0018， (1)线段DC的长 sin29°+sin61°≈0.482+0.87=0.9873， (2)tan∠EDC的值 sin37°+sin253°≈0.602+0.80=1.0000. 书州 回脚 sin245°+sin245= ((-1 据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角a,B,若a+B=90°，均有sina+simB=1, (1)当a=30°，B=60时，验证sim2a+sin2B=1是否成立？ (2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示的Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边 为a,∠B所对的边为b,斜边为c;若不成立，请举出一个反例 第22题图 (3)利用上面的证明方法，直接写出tana与sina,cosa之间的关系 直题圈 第21题图 盗印必究 关爱学子 途型纹前 绝溶 一 61 23.(中考·2022河北)(11分)如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其中水面截线 24.(模考·2023石家庄二十八中一模改编)(13分)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,把AB MN∥AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已 绕点B顺时针旋转a(0°<a<I80°)得到AB,连接AA',过点B作BE⊥AA'于点E,交直线AD 知爸爸的身高为1.7m (1)求∠ACB的大小及AB的长 于点E参考数据：sm37°≈号，cos37≈号m37P≈号 (2)请在图中画出线段DH,用其长度表示最大水深（不必说理由），并求最大水深约为多少米（结 (1)△ABA'面积的最大值是 果保留小数点后一位). (2)当AF=4.5时，求点A运动的路径长 (参考数据：tan76°≈4,17≈4.1) (3)当点A'落在AB的垂直平分线上时，点A'到直线CD的距离是 (4)当点F在线段AD上时，若DF=2,求cos∠ECB的值 第23题图 备用图(1) 备用图(2) 盗印必究 第24题图 直题圈 金皇效商 关学子 绝篇国 一62真题圈数学九年级RJ9G 18.【解(1)如图所示，线段A,B即所求 23.【解11)61 (2)如图所示，线段A,B,即所求。 A 分析：把点B16,)的坐标代人另=套x>0)得1=会 六k=6,反比例函数解析式为与= 把点4(m.6)的坐标代入为=得m=1A1:6), (2)把点A(1,6)和B(6,1)的坐标代入y=kx+b中， 得人+b=6,解得人= 6k+b=1, b=7, .直线AB的解析式为y=-x+7, 第18题答图 当y=0时，x=7,.M(7,0),.OM=7, (3)20 分析：由图可得，四边形A4,B,4,为正方形， 六5am=Saom-5ow=oMx小)0Mx以=2 ·四边形A4,B,4,的面积是(V22+42)2=(√20)2=20. (3)设点E的坐标为a,-a+7)则点F的坐标为a名， 19.【证明】(1)：四边形ABDE内接于⊙O,.∠CDE=∠CAB ∴EF=-a+7-6 又∠C=∠C,∴.△CDEn△CAB. a (2)如图，连接AD.,'AB是⊙O的直径， 又EF=2,-a+7-6=2,整理，得-5a+6=0, ,.∠ADC=∠ADB=90°， 解得a,=2,a2=3, 又：∠C=60°，.∠CAD=30°， 经检验a,=2,a,=3都是原方程的解，且符合实际意义， .CD_1 AC=2· ∴.点F的坐标为(2,3)或(3,2) 由(I)得△CDE∽△CAB, 24.【解】(1)设经过xs,△PBQ的面积等于8cm2,则BP=(6- 胎-是=方dDE=34 x)cm,BQ 2x cm. 第19题答图 20.【解】理解应用：34(3,4) 根据题意，可得S60=(6-x)·2x=8,即x2-6x+8=0, 拓限延神：0y=5-2》*3=品忆， 解得x,=2,x,=4.经检验，x,x,均符合题意， x+1 x+1 .经过2s或4s,△PBQ的面积等于8cm2. “函数y=2x+5的图象可由反比例函数y=3的图象向左平 (2)线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分 x+1 移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，∴.k=3 理由如下：设经过ys线段PQ能将△ABC分成面积相等的两 (2)不等式.2<r-m(m为常数)的解集是-V2+m<r<m或 部分 x一m x2+m. :Sae=2×6x8=24(cm2,S6m=号(6-y月：2ycm2, 21.【解11)电流1是电阻R的反比例函数，设1-只， 号（6-y)·2y=12.即y2-6412=0. .图象经过点(8,6)， ,4=b2-4ac=(-6)2-4×1×12=-12<0, 6=,解得U=6x8=48,∴1=袋 .该方程无实数根， R ∴.线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分 (2)蓄电池的电压是6×8=48(V). (3)设当PQ∥AC时，P,Q运动了ms, (3:1≤10,1=餐餐≤10，解得R≥48， BP =(6-m)cm,BQ 2m cm, 即用电器的可变电阻应控制在4.8Ω及以上的范围内. 由PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC, 22.(1)【解】①18 分析：：∠OBA=∠OAC,且∠O为公共角，.△AOB∽ ·治-瓷即6。”-智解得m-号 AB BC △c0182-8器g-8e=18 :当PQ∥4C时，运动时间为号s ②号 18.第二十八章学情调研 分析：△40B△C01把=82-8盟 1.A2.A3.A :84c=1482-8器= 4.C【解析】+b2=c2,.△ABC是直角三角形，且∠C= 90°，∴.sinA=a,即csin A=a,.C选项正确.故选C 0C=40A,0B=10A, 4 5.A【解析】：坡高AC=1,水平距离BC=V5 c=0c-0B=o1.80-青 4 3 (2)【证明：∠OBA=∠OAC,∠O=∠O,∴：△AOB∽△COA 六斜技松的拨度为m8=瓷-方-号放选A .on0. 入2 ·82=8盟01=0B0c,即d2=c 6.C【解析】由题意知sinA- 对于一元二次方程x2+(b+c)x+2=0(b≠c) :根的判别式4=(b+c)2-4a2=(b+c)2-4bc=b2+2bc+c2-4bC sin 2 =0, 2 -cosB=0,…simA=2 2,cos B=3 =b2-2bc+c2=(b-c)2>0, ∴.∠A=45°，∠B=30°，∴.∠C=180°-∠A-∠B=105° 0 .方程必有两个不相等的实数根 e 故选C. 答案与解析 ?.C【解折由sima=号可得六-号.设，。=3a则0P=5a AH=4x,AC=A'C'=5x,.CH=AC2-AH2=3x, 由勾股定理可得xp=4a,则P(4a,3a).故选C. ·cosa=CH_3 8.D :当a=30时，A=号4C,平行四边形的面积=CD: 9.A【解析】如图，取格点D,连接AD, :AD=V22+22=22,AB=VP+5 AH=)CD·AC=CD·C'=.故答案为： =√26，BD=V32+32=32 .AD2+BD2=26,AB2=26, .△ABD为直角三角形，∠ADB=90°， .'sin B 4D=212 2v13 B AB26-13 第15题答图 故选A 第9题答图 16.30°√5【解析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C,延长AC 10.B【解析】如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E. 到点D,使AC=CD,过点D作 .∠BAC=120°，.∠CAE=180°-120°=60°， DE⊥OA于点E,与x轴交于点F, :AE=AC·c0s60=8×=4, 连接AF,BD,过点B作BM⊥AO 于点M,则BD=AB. BC=4C·sm60=8×9=45 :点A的坐标为（√3,1），AC= F、'B :AB=4,∴.BE=AB+AE=8, CD=1,OC=V3,.tan∠AOB BC=√BE2+EC2=V82+(4V3)2=4V万.故选B. =瓷=方-5∠408 ·D 第16题答图 30°，·.∠DAE=60,BM=30B,EF=3OF,·DE= AD·sin60°=5，AB+)OB=BD+BM当D,B,M三点共 线时，AB+)OB最小，此时，点B与点F重合，AB+号OB 第10题答图 AF+)OF=DF+EF=DE=V5.·AB+号OB的最小值为 第11题答图 11.B【解析：小正方形的面积为49，大正方形的面积为169， √3.故答案为30°；√3 .小正方形的边长是7，大正方形的边长是13. 如图，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, 1l解1)原式=8x(91-3×9=61-5=75 3 即AC2+(7+AC)2=132,整理得AC2+7AC-60=0, (2)原武=1-4×1+6×)-5=1-4+3-5=-5. 解得AC=5或AC=-12(舍去)， 18.【证明】设a=3k,b=4k,c=5k(k>0) .BC=AB2-AC2=12, 4B-13:cos a BC12 ·sina=4S=5 a2+b2=(3k)2+(4k)2=(5k)2=c2, AB-13 ∴：△ABC是以c为斜边的直角三角形， ·Sma·cosa=音×是=9放选B ∠C=0m4m8=装+装-号 12.C【解析】由题知，限高曲臂道路闸口高度为(1.4+2sima)m 19.【解】如图，过点C作CD⊥AB于点D, ①当a=90°时，1.4+2sina=1.4+2,即h<3.4m的车辆可通过 ∴.∠ADC=∠BDC=90° 该闸口，故①正确. ∠B=45°， ②当a=45时，14+2sina=1.4+2×5,即h<(1.4+2)m ∴.∠BCD=∠B=45°， A30 45 B .CD=BD. D 的车辆可通过该闸口，，2.9>1.4+√2，.h=2.9m的车辆不 :∠A=30°，AC=23, 第19题答图 可以通过该闸口，故②正确 ③当a=60时，142na=14+2×9,即K(145)m 六AD=AC·cosA=2W5× 2 =3, 的车辆可通过该闸口，：3.1<1.4+√5，∴.h=3.1m的车辆可 CD=AC·sinA=25×2=5, 以通过该闸口，故③不正确.故选C. .BD CD=3,..AB AD+BD=3+3 13号【解折原式-方+万×竖-+1-故答案为号 AB的长是3+√3 20.【解】如图，延长CA交BE于点D,则CD⊥BE 14.5【解析】：∠ACB=90°，点D为AB边的中点，CD= 由题意知∠DAB=45°，∠DCB= C-→东 33°，设AD=xm, 3,CD=7AB=BD,AB=2CD=6,·∠DCB=∠B, 则BD=xm,CD=(20+x)m. AC=VAB2-BC2=V62-42=25,∴.sin∠DCB=sinB= 在Rt△CDB中， 希-2普-9放答案为5 m∠cB=5. 南 AB 6 15.号多【解析】如图，作AHLCD-于H,:4CCD=5. .tan33°=20+x x≈0.65， E D B 解得x≈37. 第20题答图 mh=48:-青兴-号 5答：这段河的宽度约为37m 真题圈数学九年级RJ9G 21(解1：sm30°=m60°=5。 ∴.∠ABF≈37°.易得∠A'BA≈74°， 2 点4运动的路径长≈74π×6=37 ∴sns-(+(=1,结论成立。 180=15元 (3)8-35 (2)成立.理由如下： 分析：点A'落在AB的垂直平分线上，如图(2)所示， 在Rt△ABC中，sina=g,sinB=b且a+b=c2, 由旋转性质可得A'B=AB=6. 点A'落在AB的垂直平分线上，.BJ=3, =1,故结论成立。 c2 .4J=4B-BJ=6-3=33 (3)tan a=sina AD=8,.JK=AD=8,:.A'K=JK-4J=8-33 cos a 即点A到直线CD的距离是8-3V5 22.【解】(1)：AD是BC边上的高， A D F .△ABD和△ACD都是直角三角形 在Rt△ABD中，：sinB=号，AD=12, :治-号解得8=15D=A8-D=9 4 又，BC=14,.CD=BC-BD=5. (2)在Rt△ACD中，·E为斜边AC的中点， B H A C ·ED=BC=34C,∠C=∠EDC, (2) (3) m∠EDc=amC=品=号 第24题答图 (4)当点F在AD上且DF=2时，AF=AB='B=6,则四 23.【解J(1).'BC⊥AB,.∠ACB+∠CAB=90° 边形ABAF是正方形，此时点A在边BC上，如图(3)所示. :∠CAB=14°，∴∠ACB=90°-14°=76° 过点E作EH⊥BC于点H,连接EC 又：m76=20≈4.且8c=17m 易得EH=BH=7AB=3,HC=BC-BH=8-3=5. ∴.AB≈4×1.7=6.8(m) 在Rt△EHC中，根据勾股定理，得EC=VEH+HC2=√32+5 即AB的长约为6.8m (2)如图所示，过点O作OH1MN =网.w08=瓷-- 于点D,交半圆O于点H,连接 OM,则DH的长度表示最大水深. 19.重难题型卷（七）解直角三角形及其应用 ∠BAM=7, 1.A【解析】由题图得∠AOB=60°，∴.sin∠AOB=sin60°= ∴.∠BOM=2∠BAM=14° 互，故选A .∠M0D=90°-14°=76° 第23题答图 在R△M0D中，m76°=804 2.A【解析】：snA=5,cosB=),∠A,∠B都是镜角， .∠A=45°，∠B=60°，∴.∠C=180°-45°-60°=75°.故选A. 设OD=km(k>0),则MD≈4km. 由(1)知AB≈6.8m,.OM≈3.4m, 又60【解新：m4-光-5∠A=30,∠B- AC 3.≈+(4)2，解得k≈万（负值已舍去）， 90°-30°=60°.故答案为60°. 5 4.45°或60°【解析】：tan2x-(√3+1)tanx+√5=0，.(tanx DH≈3.4≈34-426(m. 5 5 1)(tanx-V5)=0,.tanx=1或tanx=V5.当tanx=1时， 即最大水深约为2.6m x=45°；当tanx=√3时，x=60°.故x=45°或60°.故答案 24.【解](1)18 为45°或60° 分析：如图(1)所示，点A的运动轨迹为AA,过点A'作 A'G⊥AB. 5解11原式=1x号-（号-号 O 由图可知，当A'B落在边BC上时， (2)原式=3× AG最长，此时，△ABA'面积最大， E 9-12×9-25-1 3 G-- A 6.B A'G=AB. :AB=6,由旋转性质可得AB= 7.C【解析】由题图知AC=V22+1P=5,AB=V22+1P=√5， 6,∴.此时△ABA'是等腰直角三角B BC=V32+1P=V10.:AC2+AB2=BC2,·△ABC是直角三 形，AG=6, 角形，∠4=90，mB=6=1,56x=号4B·4C=多 ·△ABA'面积的最大值=)AB· 2 s加51=5如45°=.选项C符合题意，故选C 4G=7x6×6=18 8.B【解析】如图，延长CB到点D,连接AD,由题意得AD2=12+ (2)当AF=4.5时，点F在AD边上， 第24题答图(1) 12=2,AC2=22+42=20,CD2=32+32=18,AD2+CD2= :四边形ABCD是矩形，.∠BAF=90°， AC2,∴.△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，CD=32, ·tan∠ABF=4F=4.5_3 AB-6-41 36c=a5.mc-光-沿-0选n 01