16.重难题型卷(六)相似-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（人教版）河北专版

题型二相似模型 10.(月考·23-24石家庄四十二中)如图，AB∥CD,AC与BD 刷步调研卷（下） 一辉好 类型1“A”字、“8”字模型 交于点E,且AB=6,AE=3,AC=12 最 16.重难题型卷（六）】 5.(月考·23-24石家庄四十四中)如图，在△ABC中，D,E分 (1)求CD的长. 相似 别为AB,AC的中点，则△ADE与△ABC的周长比是() (2)求证：△ABE∽△ACB. A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3 出州 题型一平行线分线段成比例 1.情境题（月考·23-24石家庄外国语）如图，小明的一张书法 练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距 第10题图 离都相等，同一条直线上的三个点A,B,C都在竖格线上·若 线段AB=3.2cm,则线段BC的长为() B.8cm C.9.6cm 第5题图 A.6.4 cm D.12.8cm 第6题图 6.(期中·22-23石家庄四十二中)如图，AB∥GH∥CD,点H 在BC上，AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长 为( 类型2一线三等角模型 A.1 B.1.2 C.2 D.2.5 11.(模考·2022秦皇岛海港区一模)如图， 7.如图，在△ABC中，AD,BE分别为边BC,AC上的高，AD与 第1题图 第2题图 第3题图 在等边三角形ABC中，点D,E分别在 2.(月考·22-23保定十七中)如图，已知在△ABC中，点D, BE交于F,连接ED,则下列结论： BC,AC上，且∠ADE=60° E,F分别是边AB,AC,BC上的点，DE∥BC,EF∥AB,且 ①△AEF∽△BDF; (I)写出和∠CDE相等的角为 AD:DB=3:5,那么CF:CB等于(） ②△DEF∽△BAF; (2)若AB=3,BD=1,则CE的长 A.5:8 B.3:8C.3:5 D.2:5 ③∠DEC=∠ABC; 为 第11题图 3.如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F, ④BD·DC=DF·AD, 12.(月考·22-23邢台十二中)如图所示，已知边长为1的正方 第7题图 若AF=2,ED=3AE,则AB的长为 其中正确的有() 形ABCD,在BC边上有一动点E,连接AE,作EF⊥AE,交 4.如图，已知直线，，分别截直线于点A,B,C,截直线， A4个 B.3个 C.2个 D.1个 CD边于点E 于点D,E,F,且l∥l∥ 8.(期中·22-23秦皇岛七中改编)如图，△ABC∽△ACD,相 1)CF的长可能等于吗？ (1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长 似比为2，则Sac:S△4Cn= (2)如果DE:EF=2:3,AC=25,求AB的长 (2)点E在什么位置时，CF的长为 D 第12题图 第4题图 第8题图 第9题图 9.(中考·2022河北)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边 长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A,B的连线与钉点 C,D的连线交于点E,则： (1)AB与CD是否垂直？ (填“是”或“否”) (2)AE= 53 类型3共顶点旋转模型 题型三实际应用 题型四动点问题 13.如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作含30°角的直角三 15.如图，小明在A时刻测得某树的影长为8m,在B时刻又测 18.(月考·21-22石家庄二十八中)如图， 角形ABC和含30°角的直 得该树的影长为2m,若两次日照的光线互相垂直，则树的 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6, 角三角形ADE,CD与BE, 高度为( 并B 直线1经过点C,且I∥AB,P为1上 AE分别交于点P,M,连接 A.2m 的一个动点，若△ABC与△PAC相 PA.对于下列结论： 第13题图 B.4m 似，则PC= 第18题图 4 ①△BAE∽△CAD:②MP·MD=MA·ME:③图中有 C.6m 19.(期末·22-23邯郸二十三中)如图(1)，在四边形ABCD中， 5对相似三角形：④AP⊥CD D.8m 第15题图 AB∥DC,CB⊥AB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm, 其中正确结论的个数是( 16.(月考·23-24石家庄十七中)如图是小李设计用手电来测 动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始 A.l B.2 C.4 D.3 量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从 沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2c/s.点P和点 14.思维探究如图(1)，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4, 点A出发经平面镜反射后刚好射到 Q同时出发，设运动的时间为t(s),0<1K10. BC=2,点D,E分别是边BC,AC的中点，连接DE,将 古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥ (1)用含t的代数式表示AP △CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为a BD,CD⊥BD,且测得AB=1.1m, (2)当以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t (1)【问题发现】 BP=1.9m,PD=19m,那么该古 的值. ①当a=0时，8 AE 城墙CD的高度是m 第16题图 (3)如图(2)，延长QP,BD相交于点M,当△QMB为直角三 ②当a=180时，5 17.情境题小明想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮 角形时，直接写出1的值 (2)【拓展探究】 雨玻璃水平宽度AB,他在楼门前水平地面上选择一条直 线CH,AB∥CH,在CH上距离C点8m的D处竖立标杆 试判断：当0°≤a<360时，品的大小有无变化？请仅就图 DE,DE⊥CH,他沿着CH方向走了2m到点N处，发现他 (2)的情形给出证明 的视线从M处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的B点 (1) (2) 备用图 (3)【问题解决】 处，继续沿原方向再走2m到点Q处，发现他的视线从P处 第19题图 △CDE绕点C逆时针旋转至A,B,E三点在同一条直线上 通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的A点处，求遮雨玻 炬绝密国 时，请直接写出线段BD的长为 璃的水平宽度AB (1) (2) (3) 第14题图 D N Q 第17题图 54真题圈数学九年级RJ9G 20.【解】AB=AC,.∠B=∠C (2)如图(2)，设AC交BF于点O :∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,∠ADE=∠B, :△AED,△ABC都是等腰直角三角形， ∴.∠BAD=∠EDC, .∠EAD=∠CAB=45°，AD=√2AE,AB=√2AC, ÷△DCEn△ABD,∴品=26 ∠BAC=∠DB,是=是=5， AB=4,BC=5,BD=2, .△DAB∽△EAC, 竖=5学，解得C=月 :2=4P=2,∠ABD=LACE C龙=AE 21.【解】如图所示，过点E作EH⊥ :∠AOB=∠FOC, CD交CD于点H,交AB于点G, ,.∠BAO=∠CFO=45 由已知得，EF⊥FD,AB⊥FD, E CD⊥FD.'EH⊥CD,EH⊥AB, 故2=5，∠BrC=45 天G ,∴.四边形GBDH、四边形EFBG 为矩形， 第21题答图 .'EF GB=DH=1.5 m,EG =FB 2.5 m,GH=BD =8m, (2) .AG=AB-GB=2.4-1.5=0.9(m). 'EH⊥CD,EH⊥AB,∴.AG∥CH,.△AEG∽△CEH, “品=品即器=名解得=378m .CD=CH+DH=3.78+1.5=5.28(m). 答：树高CD为5.28m. (3) (4) 22.(1)【证明】：四边形ABCD是矩形，∴.CD∥AB, 第24题答图 ∴.∠QAP=∠DCQ,∠QPA=∠PDC,∴.△APQ∽△CDQ. (3)CE=√26或5V2. (2)【解】由题意得AP=21,,四边形ABCD为矩形， 分析：如图(3)，当C,A,D三点在同一直线上时， .∠ADC=∠ABC=∠DAP=90° :△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠C=∠AED= 又.DP⊥AC,.∠AQP=90°， 90°，.AD=V2AE=2. .∠CAB+∠APQ=∠CAB+∠ACB=90°， ∠APQ=∠ACB,.△DAP∽△ABC,DA=AC, 过点E作EH LAD于点H,A=EH=)AD=1. AB-BC· AC=6,.CH=5, 即各=号，解得1=2，即当1=2时，DP14C .CE=√EH2+CH2=V1?+52=√26， 23.(1)【证明】：CE∥DA, 如图(4)，当C,A,D三点在同一直线上时， ÷盼=∠2=∠4cE,∠1=∠E ,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠C=∠AED= 90°，.AD=V2AE=2. :AD平分∠BAC,∴.∠1=∠2， ∠4CE=∠B,4E=4C,是=0 过点E作EH⊥AD于点H,AH=EH=AD=1. AC=6,.CH=7, 2)【解：4D是△A8C的角平分线怨=品 ∴.CE=VEH+CH2=VP+7=5√2 AB 5 cm,AC=4 cm,BC=7cm, 综上所述，当C,A,D三点在同一直线上时，线段CE的长为 ·}700解得BD=曾m √26或5√2. (3)【解】·AD是∠BAC的平分线，AB=7,AC=15, 16.重难题型卷（六）相似 “器-是-0=c=吕c 1.C【解析】练习纸中的竖格线都平行，心C=名=号 送如面一c侣~- :AB=3.2cm,.BC=9.6cm故选C. 2.A【解析】AD:DB=3:5,.BD:AB=5:8. DE∥BC,∴.CE:AC=BD:AB=5:8. :F∥40，晋=器=带 .EF /AB,:CF:CB=CE:AC=5:8. .CF-CA=11=AC-CF=4 故选A. 3.14【解析如图，过点D作DH∥CF 24.【解】(1)V245 分析：如图(1)，设AC交BE于点O. 交8于点H则紧-品=， ,△AED,△ABC都是等腰直角三角形， ∴.FH=3AF=3×2=6. ∠EAD=∠CAB=45°，AD=√2AE,AB=V2AC, AD为△ABC的中线， ∠E4c=∠MB怨=是=5， ∴.BD=CD. :Dn/c,器=80=1， D ∴.△DAB∽△EAC, 第3题答图 :器=架=5，∠4BD=∠4ck .'BH=FH=6, .AB AF+FH+HB 2+6+6=14 :∠AOB=∠E0C,.∠BAO=∠BEC=45°. 2个故答案为14. 答案与解析 4.【解】(1)1∥12∥1，AB=4,BC=8,EF=12, 1.(1)∠BAD(2)号【解析1(1)：△ABC是等边三角形， ∴是-2器，即号-，解得DE=6 ∴.∠B=∠C=60°， 2):1∥%∥%2=-号4c=25, ,.∠BAD+∠ADB=180°-∠B=120°. .∠ADE=60°， 六C=即25品=号解得4B=10 .∠CDE+∠ADB=180°-∠ADE=120°， 5.A ∴∠CDE=∠BAD,∴.和∠CDE相等的角为∠BAD. 6B【解析：AB/Gh第-是，即型-是.① (2),△ABC是等边三角形，.AB=BC=3. 2 BC .BD =1,.CD BC-BD =3-1 =2. :GH∥cD,÷部-股，即=股.② 3 BC 由(1)得∠B=∠C=60°，∠CDE=∠BAD, ①+②，得型+9-是+股=1， △ABD△DcE,2=2即2=iCE=号 解得GH=1.2.故选B. 故答案为1)∠BAD:(2)号 7.A【解析】：AD,BE分别为边BC,AC上的高， 12.【解】(1)：四边形ABCD为正方形， .∠AEB=∠BDA=90°. ∴.∠B=∠C,∠BAE+∠BEA=90° :∠AFE=∠BFD,∴△AEF∽△BDF,故①正确 :EF⊥AE,∴.∠BEA+∠CEF=90°，.∠BAE=∠CEF, “架=器 六△MB5△&GR是-8膘. ∠AFB=∠DFE,∴△DEF∽△BAF,故②正确. 设BE=x,CF=y '∠C=∠C,∠ADC=∠BEC=90°， 由正方形ABCD的边长为1，得CE=1-x, △ADC BC,瓷=2瓷即器-瓷 ∠C=∠C,∴△CDE∽△CAB, y= ∴.∠DEC=∠ABC,故③正确. 当CF的长等于子时，=-+x,整理得-x+子=0 ,·△AEF∽△BDF,∴.∠DAC=∠FBD :4=(-1)2-4×1×子<0，CF的长不可能等于 又∠BDF=∠ADC=90°，∴△FBD∽△CAD, 骀=瓷BD·DC=DF·AD,故④正确， 2)当CF的长为乙时，君=-+x,解得x=号或x= 故选A 故BE=或时，CF的长为器 8.3:1【解析】：△ABC∽△ACD,相似比为2：1，故面积比 13.D【解析】如图，设AC与PB的交点为N, SABc:S△4CD=4:1.设SAARC=4k,则SA4CD=k,S△B0c ,∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°， =S△MC-S△ACD=4k-k=3k,故SABDC:S△AcD=3k:k=3:1 故答案为3：1. 六怨=%-9∠aM6=30+∠cM,∠CD=0+ 9(1)是(2)45 ∠CAE,.∠BAE=∠CAD, 5 【解析(I)如图，在△ACM和△CFD中， .△BAE∽△CAD,故①正确 (AC=CF=2, :△BAE∽△CAD,.∠BEA=∠CDA. ∠ACM=∠CFD=90°， CM=FD=1, :∠PME=∠AD△PMEAAMD,器=器. .△ACM≌△CFD(SAS), D ∴.MP·MD=MA·ME,故②正确 .∠CAM=∠FCD. 第9题答图 ~提-胎∠PM=∠BD. ,∠CAM4∠CMA=90°，∴∠FCD+∠CMA=90°， .△APM∽△DEM, .∠CEM=90°，.AB⊥CD.故答案为是. .∠APM=∠DEM=90°，∴.AP⊥CD,故④正确 (2)如图，在Rt△ABH中， 同理△APW∽△BCW,△PNC∽△AWB. AB=AH2+BH2=22+42=25 又△ABC∽△AED,∴.图中相似三角形有6对，故③不正确 AC∥BD, 故选D. ∴.∠CAE=∠DBE,∠ACE=∠BDE, .△ACE∽△BDE, 能=品-号即号 AB=45.故答案为45 第13题答图 5 5 10.(1)【解】AE=3,AC=12, 14.【解】(1)①√5②√5 .CE=AC-AE=12-3=9. (2)当0≤a<360时，二的大小没有变化， ,AB∥CD,.∠A=∠ACD,∠ABE=∠D, 证明：如题图(2)，，AB=4,BC=2,∠ABC=90°， ∴.△CDE∽△ABE ..AC=AB2+BC2=2/5. 六器-器n-8-9=1 AE :点D,E分别是边BC,AC的中点， 3 2证明骆=名分是=吕=号“骆=怨 CE=]AC=5,CD=]BC=1, ∠A=∠A,.△ABE∽△ACB. 31-5,-5-瓷 真题圈数学九年级RJ9G ,∠ECD=∠ACB,.∠ECA=∠DCB, △ECADCB,.品-=瓷=5 (3)35或5 5 分析：①如图(1)，当点E在线段AB的延长线上时， 在Rt△BCE中，CE=V5,BC=2, DN QH .BE=VEC2-BC2=V5-4=1, 第17题答图 .'AE=AB+BE =5. 18.6.4或10【解析】在Rt△ABC中，AC=8,BC=6, 2知品=50=希=5 .AB=V82+62=10. ②如图(2)，当点E在线段AB上时，同理可得BE=1, 当△ABC∽△CPA时，AB:PC=AC:AC,即10：PC=8:8, AE=4-1=3. 解得PC=10. (2)知，品=5B0=-3 当△ABC∽△CAP时，AB:AC=AC:PC,即10：8=8：PC, = 解得PC=6.4. 综上所述，满足条件的BD的长为35或5」 综上可知，若△ABC与△PAC相似，则PC=6.4或10. 故答案为6.4或10. 19.【解】(1)如图(1)，作DH⊥AB于H,则四边形DHBC是矩形， .'CD BH=8 cm,DH=BC=6cm, .AH AB-BH 16-8 =8(cm),AD =DH2+AH? 10(cm),.'AP AD-DP =(10-2t)cm y (2)已知∠PAQ=∠BAD,分两种情况： (1) ①当6=0时，得102=8解得1=智 2t :当：=智时，以点4，P.Q为顶点的三角形与△ABD相似。 ②当6-8时，得10之4-解得1=高 2t B E A 当1=常时，以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABD相似。 (2) 第14题答图 综上，1的值为智或号。 13 15.B【解析】根据题意，作出示意图如图所示，∠ECF=90°， D MD ED 2m,FD=8 m. P ,∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°， ∴.∠ECD=∠F ED ▣ 又，∠EDC=∠CDF=90°， BA→Q NH 第15题答图 ∴.Rt△EDC∽Rt△CDF, (1) (2) “器-品 M 即CD2=ED·FD=2×8=16, 解得CD=4.故选B. 16.11【解析】根据题意得∠APB=∠CPD, :AB⊥BD,CDLBD, Q H .∠ABP=∠CDP=90°， (3) .Rt△ABP∽Rt△CDP, 第19题答图 “器-器脚品= (3)1的值为35或20 27×9 解得CD=11. 分析：①当LQMB=90时，△QMB为直角三角形 故答案为11. 如图(2)，过点P作PN⊥AB于点N,过点D作DH⊥AB于点H, 17.【解】如图，过点E作EI⊥AC于点I,连接PM并延长交AC .∠PNQ=∠BHD 于点J,交ED于点K,则IE=JK=CD=8m,KM=DN= ∠QMB=90°，∴.∠PQW4∠DBH=90°. NQ =2m. :∠PQW4∠QPW=90°，∴.∠QPN=∠DBH. IE∥PJ,.∠AEI=∠EPK ·△PWQ∽△BHD,N=D盟=5=3 PNBH84 :∠AE=∠EKP=90°，∴.△AEI∽△EPK, PN∥DH,.△ANP∽△AHD, “得=焉=22=2 ·P%=D盟=6=3,4w=4H-8=4 AP=AD=10=5'AP=AD=10=5, 'AB∥MP,.△ABE∽△PME, 六品=能即号=248=4m ÷PN=号4P=10-2,4N=号4P-等10-2) 答：遮雨玻璃的水平宽度AB为4m 32a0w=40=0-20-, 答案与解析 :0-20-2 11.C【解析】：△ABC绕点C沿逆时针方向旋转得到△DEC, 30-29 解得1= .CD=CA=2,∠B=∠E,∠ACB=∠DCE. ∠ADB=∠CDE,∴.∠BAD=∠DCE, 经检验，1=是分式方程的解. ∴.∠ACD=∠BAD. 27 AB=AC,.∠B=∠ACD,∠B=∠BAD,∴BD=AD. :当1=时，△QMB为直角三角形。 :∠ABD=∠CBA,∠BAD=∠ACB,∴.△BAD∽△BCA, ②当∠MQB=90时，△QMB为直角三角形 B2=,即BD= 2 AB BC 之=BD+2: 如图(3)所示，过点D作DH⊥AB于点H 整理得BD+2BD-4=0,解得BD=√5-1， :'∠A=∠A,∠MQB=∠AHD=90°， ·△APQ∽△ADH,.4g=AD=10=5 .AD=√5-1.故选C. AQAH84 12.B【解析】如图，过点A作AM⊥y轴 1022=2,解得1= 于点M,过点B作BW⊥y轴于点N, 2t 91 .∠AMO=∠BNO=90°， M 经检验，1=9是分式方程的解 ∴.∠AOM4∠OAM=90°. ·当1=29时，△QMB为直角三角形 OA⊥OB, ∴.∠AOM4∠BON=90°， 综上，当：的值为或9时，△QB为直角三角形 ∴.∠OAM=∠BON, .△AOM∽△OBN 17.阶段学情调研（二） ,点A,B分别在反比例函数y= 第12题答图 1 1.C 2(x>0),y=8(x>0)的图象上，· 2.D【解析】，⊙O的直径为10cm,.⊙O的弦不可能比 OB 0-2x2 SABON ×8 10cm更长.故选D. 3.D 子“8器-=分故选B 4.D【解析】(m-3)x2+m2x=9x+5,(m-3)x2+(m2-9)x-5=0,由 13.4(答案不唯一，满足3≤k≤9，且k是整数均可)【解析】当 题意得m-3≠0，m2-9=0,解得m=-3.故选D. 反比例函数y=(k≠0)图象过点A(3,3)时，k=3×3=9; 5.D【解析】：△ABCn△A'B'C',AB=12,BC=2a,B'C= 当反比例函数y=(k≠0)图象过点B(3,1)时，k=3×1 a,∠B=∠B,5 wSe=(2=4,4C=2C,4"B =3.∴k的取值范围为3≤k≤9.又k是整数，∴.k可以取4故 =)AB=号×12=6A,B,C错误，D正确.故选D. 答案为4（答案不唯一，满足3≤k≤9，且k是整数均可）. 6.D【解析】因为二次函数y=ax2+bx+c的函数值永远为负值， 1448【解折：AB∥CD∥ER器=架即4存6=. 所以函数图象开口向下，即a<0,且函数图象与x轴没有交点， 解得DF=4.8.故答案为4.8. 所以b2-4ac<0,所以二次函数y=ax2+bx+c的函数值永远为负 15.3【解析】y=x2+(2-)x+t=x2+(1-x)42x,.当1-x=0, 值的条件是a<0,b2-4ac<0.故选D. 即x=1时，y的值与t无关，y=1+2=3, 7.D【解析】：CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径）， .抛物线y=x2+(2-)x+1经过定点P(1,3) AB⊥CD于点E,AE=BE,AC=BC,故A,B错误. :反比例函数y=《的图象也经过点P,k=3故答案为3 :LABC不是圆心角，.∠D≠)∠ABC,故C错误， 163((号0 【解析】解方程x2-7x+12=0,得x1= :∠CEB=∠AED,∠DAE=∠BCE, .△ADE∽△CBE,故D正确.故选D. 3,x2=4.0A,OB的长是关于 8.C【解析】由BC∥DE可得△ABC∽△ADE, x的一元二次方程x2-7x+12=0 的两个根，且OA>OB,∴.OA=4, 则AB:AD=BC:DE,即5：AD=0.4:5,解得AD=62.5, OB=3.如图所示，设点E的坐标 .BD=AD-AB=62.5-5=57.5(尺).故选C. BEO(E)C 9.C【解析】当a>0时，-a<0,二次函数y=ax2-a的图象开口 为(m,0),则OE=ml :△AOE∽△DAO, 第16题答图 向上，且顶点在x轴下方，反比例函数y=(a≠0)的图象经 过第一、三象限，故排除A,D选项； “器-器即名罕则m=号解得m=± AD OA' 当a<0时，-a>0,二次函数y=ax2-a的图象开口向下，且顶点 ·点E的坐标为餐0或（景0） 在x轴上方，反比例函数y=(a≠0)的图象经过第二、四象限， 故排除B选项.故选C. 故答案为3：（昏0或(-导0 10.C【解析】：点A的坐标为(2,1)，且⊙A与x轴相切， 17.【解1(1)把x=2,y=3代入y=5-m中，得3=5m 2 ∴⊙A的半径为1.：点A和点B是正比例函数与反比例函 解得m=-1. 数的图象的交点，且两个图象都关于原点对称，·点B的坐标 (2)由(1)知，该反比例函数的解析式为y= 为(-2，-1).同理可得⊙B的半径为1，.⊙A与⊙B关于原 点中心对称，∴.⊙A的阴影部分与⊙B的空白部分完全重合， 当x=3时，y=2;当x=6时，y=1. ∴⊙A的阴影部分与⊙B的空白部分的面积相等，∴.图中两 :k=6>0,∴当3≤x≤6时，y随x的增大而减小， 个阴影部分面积的和=π·12=π.故选C. ).函数值y的取值范围是1≤y≤2.