8.重难题型卷(三)解直角三角形-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（冀教版）河北专版

真题圈数学九年级9G (2)2 QG⊥AD,交AD的延长线于点G. 分析：易得∠DMN=90°，DM=2√2，MN=√2. 设PE=x CE∥MW,.∠MND=∠CPN, 易证△PBE≌△QPG,∴PE=QG=x,EB=PG=8, ∴.tan∠MND=tan∠CPN .DG=AE+PE+PG-AD=x-1. .∠DMN=90°， ·CD∥AB,.∠GDQ=∠A, m∠v=m<0=微-号=2 m∠G00=mA=等=88音=号=4， 故tan∠CPN的值为2. .PE=4,.PB=VPE2+BE2=V42+82=4V5, ∴.BQ=V2PB=4V10. ③如图④，当点Q落在AD上时，易知PB=PQ=8,BQ= 分析：如图，取格点Q,连接QM, 8W2 CQ,易得∠CMQ=90°，CQ∥ 综上所述，B,Q两点之间的距离为16或4V10或8√2. AN,,∴.∠CPN=∠QCM,CM= QM=5, 8.重难题型卷（三）解直角三角形 ∴.△QCM是等腰直角三角形， 2 ∴.∠CPN=∠QCM=45°， 第23题答图 1.A【解析]由题图得∠A0B=60,∴s血∠40B=如60=5 2 sin∠Cpw=sin450=￥2 故选A 2 24.【解】(1)70°或110° 2C【解析]：血A=号血B=∠∠B都是领角。 (2)如图①，连接BQ,过点P作PMLAB于点M .∠A=45°，∠B=30°，.∠C=180°-45°-30°=105°. .tan /ABP tan 4=3:2,tan A= ，tan∠ABP=2 4 故选C. 在Rt△APM中，tanA=P4=号」 AM-3 3.C【解析如图，：将三角尺绕原点O顺 设PM=4k(k>0),则AM=3k 时针旋转75°，∴.旋转后OA与x轴的夹 30° 在Rt△PBM中，an∠ABP=器=2， 角为45°.0A=2,.0A=2,.点A ∴MB=2k,.AB=5k=10, 的横坐标为04·c0s45°=2x 2 .k=2,∴PM=8,MB=4,.PB=V⑧2+42=45 V2,纵坐标为-0sin45°=-2× 2 :△BPQ是等腰直角三角形，∴.BQ=√2PB=4V10 =-√2，点A'的坐标为（√2，-√2）. B 即点Q与点B间的距离为4V10, 第3题答图 故选C D 0 430《折水o4-名源=号∠4=3欢放格案 E 为30°. 5.45或60【解析】.tan2x-（V3+1)tanx+V3=0, M .(tanx-l)(tanx-√3)=0，∴.tanx=1或tanx=√3 ② 当tanx=1时，x=45°；当tanx=√3时，x=60°. D 故x=45°或60°.故答案为45或60. （2)原武=3×9-2×9-=25-1 B ③ 7.B【解析】A观察图形可得tana=多，不符合题意； 第24题答图 B,观察图形可得ana=号，符合题意； (3)B,Q两点之间的距离为16或4V10或8V2 分析：分情况讨论：①如图②，当点Q落在直线BC上时，作 C观察图形可得ama=分，不符合题意： BE⊥AD于点E,PF⊥BC于点F,则四边形BEPF是矩形 D.观察图形可得ama=号，不符合题意. 在t△4B巾，”mA=器-号，4B=10, 故选B. 8.C【解析】由题图知，AC=V22+12=√5，AB=√22+12=√5， ∴.BE=8,AE=6,∴.PF=BE=8. BC=V32+12=10. :△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ, .PF BF=FQ=8,.BQ 16. :ACP+AB=BC,.△ABC是直角三角形，故选项A不符合 题意 ②如图③，当点Q落在CD上时，连接BQ,作BE⊥AD于点E, 答案与解析 ”如B=侣=1，选项B不符合题意 s血B=音-品，m4-光=2， :S。c=号4B×4C-昌，放选项C符合题意。 设CD=5xcm(x>0),则BC=13xcm,AD=10xcm, :血4=s血45”=竖，选项D不符合题意，故选C .BD=V3x)2-(5x)2=12x(cm), .'AB AD+BD 10x+12x 22x(cm). 9.B【解析】延长CB到点D,连接AD,如图. 由22x=44,解得x=2.∴.CD=10cm AD2=12+12=2,AC2=22+42=20,CD2=32+32=18, ∴.AD+CD2=AC,.△ADC是直角三角形 ÷S6x=号4BCD=号×4x10=220(cm),. 在Rt△ADC中，CD=3V2,AC=2W5, 故答案是220. mC=爱-渠-识故选B 15.3【解析】：四边形ABCD为矩形 ∴.∠BAD=∠B=90°，BC=AD,BC∥AD. .DE⊥AC,.∠ADE+∠CAD=90°」 '∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°，.∠BAC=∠ADE. :sin∠ADE=号AD=4,sm∠BAC=号，BC=4, D =号是=4c=5 由勾股定理得AB=√AC2-BC2=3.故答案为3. 16.【解】(1)设DE=3x(x>0). 第9题答图 第10题答图 10.(1)9(2)号【解析1(1)如图，连接AC,根据题意得BC= 5 :DLC,m<8c0=32器-， V3+4=5,Sac=4×47×1×47×3×4=8 .'CD =5x,..CE=4x. .CD=5,.x=1,.CE=4 :AD1BC,2AD·BC=8,解得AD=9 :∠B=45°，.△BDE为等腰直角三角形， 16 2)oas∠BD=器=享-号设D=x60则B=, .BE DE =3x=3,..BC=BE+CE=7. (2)如图，过点A作AF⊥BC于点F A ·BD=5-(4=3x,m∠BMD=發=号放答案 5x :DE⊥BC,.DE∥AF 为(1)9；(2)2 :D是AB的中点， ∴DE是△ABF的中位线， 1山.30【解析如图所示，连接AE,EF, .AF 2DE,BF 2BE. 10 E F 由(1)可知DE=BE=3, 则AE∥CD,∴.∠FAE=∠BOD. 第16题答图 .AF=6,BF=6, 设每个小正方形的边长为a ∴.CF=BC-BF=7-6=1, (a>0),则AE=√2a,AF=2√5a, .tan∠ACB=6. EF=32 a, 17.D【解析】过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,如图所示 .(V2a)2+(3V2a2=(2√5a)2, A 在Rt△CAD中，∠CAD=30°， ∴△FAE是直角三角形，∠FEA D 第11题答图 AC=60 km, 北 =90°， “sin∠ME=F=3,即sin∠BOp=3@ 则cD=24C=30km 609 '45 AF 10 10 在Rt△CBD中，∠CBD=45°， 故答案为30 则BC=√2CD=30W2km, B D 10 第17题答图 2.B【解析)由题意可知amC=品=2 ∴.轮船到达C处所用的时间为 BD 2CD =4,..CD=2,..AD =4,.AD BD 4. 302=32(h).故选D. 40 4 :AD⊥BD,.△ABD为等腰直角三角形，AB=V2AD 18.【解】(1)3045 =4√2.故选B. (2)如图，过点P作PQ⊥AB于点Q,此时Q处到P小区铺设 13.D【解析】连接BD(图略)，：E,F分别是AB,AD的中点， 的管道最短. 北 P ∴BD=2EF=12,∴.CD+BD2=25+144=169.:BC= 设PQ=xm,在Rt△APQ中， 75° 169,CD+BD2=BC,·∠BDC=90,tanC=B2 :∠PAQ=30°， CD 号故选D ∴AQ=3PQ=V3x(m) 30 在Rt△PBQ中， 14.220【解析】如图，过点C作AB -D B ∠PBQ=45°， 的垂线，垂足为D. D 第14题答图 5 ∴.BQ=PQ=x(m) 第18题答图 真题圈数学九年级9G AB=2000m,x+√5x=2000, NA=2N=15(m). 解得x=1000(5-1), 在Rt△MTA中，∠MTA=45°，∴.MA=TA=15V3m, ∴.AQ=(3000-1000V3)m. ∴.MN=MA-NA=(15√5-15)m.故选C. 答：A小区与支管道连接点Q的距离为(3000-1000√3)m 19.A【解析在R△AG中，m∠AG=瓷 M459 AG AG ·FG=amrG=3 在Rt△4CG中，m∠4CG=怒. D AG 30° Bi b CG tan ZCG=3 AG. 水平地面M 又：CG-FG=20m,即5AG-4g=20m, 第23题答图 第24题答图 3 24.【解】如图，延长CD交AB于点E,过点D作DH LAB于点H. AG=10W3m,∴AB=(10W5+1)m故选A. 20.40√3【解析】由题意可得∠BDA=45°， 由i=124,易得m∠CM=4=最器=音 则AD=AB=120m. AC=7.2 m,:CE =3 m,..AE =AC2+CE2 =7.8 m. 又∠CAD=30°， CD=0.4m,DE=2.6m 在△0C中，如∠CD=m30-器-9， :∠EDH+∠DEH=90°，∠CAB+∠CEA=90°， ∴.∠EDH=∠CAB, 解得CD=40√3m.故答案为40V5 cos∠EDH=cos∠CAB=4S=2=12」 21.【解】(1)2020√3 AE7.8=3, 分析：DE⊥CE,∠DEC=90°. :DH=DE×cos∠EDH=26×号=24m 在Rt△DCE中，∠DCE=180°-45°-105°=30°，CD=40m, 答：该车库入口的限高为2.4m :DE=]CD=20m,CE=/3 DE=203 m. 9.第二十七章学情调研 (2)过点D作DF⊥AB于点F,如图， 易得BF=DE=20m,DF=BE. 1.D2.D 设AB=xm(x>0),则AF=AB-BF=(x-20)m. 3.D【解析】当反比例函数的图像在第二、四象限时，有1-2m<0, 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，.BC=AB=xm, 解得m>故选D. .DF BE BC+CE =(x+203)m. 4.B【解析】依据k的几何意义可得△A0B的面积等于)风=1， 在Rt△ADF中，∠ADF=32°， 解得k=±2. .AF=DF·tan32°≈0.62(x+20√5)m, :反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图像在第二、四象限， ∴.x-20≈0.62(x+20V3),解得x≈108. .k=-2.故选B. 答：石像的高度AB约为108m. 5.C【解析】：直线y=2x与双曲线y=2的图像均关于原点 对称，.它们的另一个交点与点(1,2)关于原点对称，.它们 的另一个交点的坐标为(-1，-2).故选C 6.D【解析】由反比例函数y=-(k≠0)的图像在第一、三象 32D 限，可知->0，.<0，.一次函数y=x-k的图像经过第一、 45⊙X B20° B D 二、四象限，故A,B选项错误；由反比例函数y=-(k≠0) 第21题答图 第22题答图 的图像在第二、四象限，可知-k<0,.>0,.一次函数y= 22.C【解析】过点A作AD⊥BC于点D,如图所示. x-k的图像经过第一、三、四象限，故C选项错误，D选项正 ·AB=AC,AD⊥BC,.BC=2BD.在Rt△ABD中，BD= 确，故选D AD 0.8 1.6 tanZABD-an20m,六BC=tan20m,A选项说法错误 7.D【解析】a+1>0,∴.反比例函数的图像在第一、三象 AD .0.8 4B=sm乙ABD一s20m,B选项说法错误 限，在每一象限内，y随x的增大而减小.：yy2<0<y, ∴.x2<x<0<x,即x>x>x2故选D. 斜坡AC的坡度是an20°，C选项说法正确. 8.B【解析】由题表数据可得100×60=6000,90×67=6030， 斜坡AB的坡角是20°，D选项说法错误.故选C. 23.C【解析】如图，过点T作TA⊥MN,交MN的延长线于点A, 80×75=60.60x100=600,P-60.当V=70时， 则∠NTA=30°，∠MTA=45°. 解得P≈85.7.故压强值a最接近86kPa.故选B. .TN=30m, 9.C【解析】一个人完成需12天， ∴.TA=TN·cos∠NTA=30·cos30°=15V3(m), 16:-人-天的工作量为、真题圈数学 题型二格点问题 题型三解几何图形 刷步调研卷（上） 九年级90 7.(期中·22-23石家庄四十八中)下列选项中，∠a的顶点位于 12.(期中·22-23张家口桥西区)如图，AD是△ABC的高，若 8.重难题型卷（三） 正方形网格的格点上，若ama=号，则满足条件的是( BD=2CD=4,tanC=2,则边AB的长为() 解直角三角形 A.2W2 B.4N2 C.35 D.62 题型一 特殊角度问题 1.(期中·23-24邢台襄都区)小明利用如图所示的量角器量出 ∠AOB的度数，sin∠AOB的值为() A 8.(（月考·23-24石家庄同文中学改编)如图，在3×4的正方形 第12题图 第13题图 B② C. 13.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，若 网格图中，小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上， EF=6,BC=13,CD=5,tan C=( 下列关于△ABC的说法不正确的是() A.△ABC是直角三角形 B.tan B=1 A号 B高 c D.号 C.△ABC的面积为5 D.kA=2 14.(期中·22-23秦皇岛七中)已知在△ABC中，∠A,∠B是 锐角，且s血B=言，m4=方B=44em,则△ABC的 第1题图 第3题图 面积为cm. 2.(期中·23-24石家庄二十七中)在△ABC中，若如A=2 15.(期中·23-24石家庄来城区)如图，在 矩形ABCD中，DE⊥AC,垂足为E.若 smB=,∠A,∠B都是锐角，则∠C的度数是() 第8题图 第9题图 sim∠ADE=号，AD=4,则AB的长 A.75° 9.(模考·2022石家庄二十八中二模)如图，方格纸中的每个小 B.90° C.105° D.120° 为 3.(月考·23-24石家庄十七中)将含有30°角的三角尺按如图 方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在 第15题图 方格的格点上，则cosC=() 16.(期中·22-23邢台襄都区)如图，在△ABC中，∠B=45°， 所示的方式放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA =2,将三角尺绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A A号 B.30 CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC,垂足为E.若CD 10 的坐标为( =5,sn∠BcD=号 A(5,-1) B.(1,-V5) c2s D号 (1)求BC的长 C.(2,-√2) D.(-√2，√2】 10.(期中·22-23邢台襄都区)如图，在4×4的正方形网格中 (2)求∠ACB的正切值 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的 点A,B,C均为网格交点，AD⊥BC,垂足为D,连接AB,则 对边，已知c=2反，b=√6，那么∠A= (1)AD= 5.若锐角x满足tanx-(V5+l)tanx+√5=0，则x= (2)sin∠BAD= 第16题图 6.(期末·22-23唐山风凰中学)计算： (1)tan45°-sin30°cos60°-cos245° 匹 阳图 (2)3tan30°-tan245°+2sin60° 第10题图 第11题图 11.(月考·22-23张家口一中)在如图所示的正方形方格纸中 每个小的四边形都是相同的正方形，点A,B,C,D都在格点 上，若AB与CD相交于点O,则sin∠BOD的值等于 25 题型四实际应用 类型2仰角、俯角问题 类型3坡度（坡比人坡角问题 类型1方向角问题 19.(期末·22-23邯郸凌云中学)某市进行城区规划，工程师需 22.(期中·22-23石家庄外国语)如图①为一个土堆，我们可以 17.(期中·22-23石家庄外国语)一艘渔船从港口A沿北偏东 测某楼AB的高度，工程师在点D处 把它的截面看成一个等腰三角形ABC(如图②)，其中斜坡 60°方向航行60km到达C处时 用高1m的测角仪CD测得楼顶端 AB和AC与水平地面BC所成锐角均为20°，最高处A距离 突然发生故障，位于港口A正东 必 A的仰角为30°，然后向楼的方向前 地面0.8m,则下列说法正确的是() 方向的B处的轮船接到求救信号 进20m到达点E处，又测得楼顶端 飞0 后，立即沿北偏东45°方向以 60 A的仰角为60°，楼AB的高为( ) 第19题图 20 40km/h的速度前去救授，轮船到 A.(10W5+1)m B.(20W3+1)m ① 达C处所用的时间为( 第17题图 C.(55+1)m D.(155+1)m 第22题图 A.h B号h c.35h D.32h 20.(月考·21-22石家庄外国语)如图，从甲楼底部A处测得乙 A.BC= 0.8 tan 20s m B.AB =0.8 4 4 楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼 c0s20°m 18.情境题如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，并沿 C.斜坡AC的坡度是tan20°D.斜坡AB的坡度是20° 顶部B处测得乙楼底部D处的俯 A小区的北偏东60°方向往前铺设.测绘员在A处测得另一 楼 23.(期中·23-24石家庄晋州)如图，坡角为30°的斜坡上有一 个需要安装天然气的P小区位于A小区北偏东30°方向，测 角是45°，已知甲楼的高AB= 棵大树MW(MN垂直于水平地面)，当太阳光线与水平线成 绘员从A小区出发，沿主输气管道方向前行2000m到达B 120m,则乙楼的高CD=m, 第20题图 45°角沿斜坡照下时，在斜坡上树影NT的长为30m,则大树 处，测得P小区位于B处北偏西75方向 (结果保留根号) MN的高为( M45 (1)∠PAB= 。,∠PBA= 21.(期中·23-24石家庄二十七中改编)某数学实践小组利用 A.15m (2)现要在主输气管道AB上选择一个支管道连接点Q,使 所学的数学知识测量一石像的高度AB,示意图如图所示，该 B.15√5m 从Q处到P小区铺设的管道最短，求A小区与支管道连接 数学实践小组在点C处测得石像顶端A的仰角为45°，然后 C.(155-15)m 水平地面 点Q的距离.（结果保留根号） 沿斜坡CD走40m到点D处，在点D处测得石像顶端A的 D.(15√3+15)m 第23题图 仰角为32°.已知∠ACD=105°，DE⊥CE(点A,B,C,D 24.(期中·23-24石家庄四十中)如图为某地下停车库人口的 在同一平面内). 设计示意图，已知AC⊥CD,AC∥BM,坡道AB的坡度i= (1)填空：DE= m,CE= m.(结果保留 1:2.4,AC的长为7.2m,CD的长为0.4m按规定，车库坡道 .60 根号) 口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶 (2)求石像的高度AB.(结果精确到1m,参考数据：√2≈ 第18题图 人，根据所给数据，请确定该车库入口的限高（即点D到AB 1.4,√3≈1.7，sin32°≈0.53，c0s32°≈0.85，tan32≈0.62) 的距离). 第24题图 第21题图 -26