2.第二十四章 一元二次方程学情调研-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（冀教版）河北专版

真题圈数学九年级9G ②设七年级三班在“投稿及播稿情况”方面得分为x分， 分析：根据统计表可知，n=1-(0.1+0.2+0.25+0.15+0.05+0.05+ 则七年级三班的总成绩为90×4+85×4+2x-700+2x 0.05)=0.15,.n的值为0.15. 4+4+2 10 若七年级三班当选精神文明队，则700+2x>80,解得x>50, :抽取的样本总人数为100÷0.1=1000， 10 .第二组的频数为1000×0.15=150， 因为得分均为整数分，所以七年级三班在“投稿及播稿情况” 第四组的频数为1000×0.25=250，.m的值为250. 方面的最少得分为51分， .:100+150+200=450<500,100+150+200+250=700>501, 22.【獬】(1)2025 .第500个与第501个数在第四组，中位数落在第四组. 分析：a%=100%-30%-15%-10%-20%=25%,.a=25. 由统计表知，扇形统计图中“用水量2.5<x≤3.5”部分的圆心 男子跳高运动员有2÷10%=20（人）， 角为360°×150t50=72°. 则初赛成绩为1.55m的有20×20%=4（人）， (2)0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85=85%>80%, 补全的条形统计图如图所示 .为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/化，w 至少定为3. ↑人数 6 (3)[(1×100+1.5×150+2×200+2.5×250+3×300)×4+ (0.5+1+1.5)×50×10]÷1000=10.5(元). 答：估计该市居民3月份的人均水费为10.5元 2.第二十四章学情调研 1.501.551.601.651.70成绩/m 1.A 第22题答图 2.D【解析】方程移项得x2-8x=-5,配方得x2-8x+16=11,即 (2)1.65m1.60m1.61m (x-4)2=11.故选D. 分析：在这组数据中，1.65m出现了6次，出现次数最多，故众数 3.D【解析】将x=m代入方程可得m2-4m=1, 为1.65m;将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的 ∴.4m-m2=-(m24m)=-1,故选D. 两个数都为1.60m,所以中位数为1.60+1.60=1.60(m,平均数 2 4.C5.B6.B x=1.50x2+1.55×4+1.60x5+165×6+1.70x3=161(m). 2+4+5+6+3 7.C【解析】甲将方程等号右边提取公因式，正确： (3)初赛成绩为1.65m的运动员能进入复赛 乙将方程左、右两边同除以(x+5),忽略x=-5的情况，错误； 23.【解】(1)206 丙移项错误，应为x=7+1； (2)①小亮说得对 丁计算错误，应为x,=x2=6. 理由：因为学生总人数为20， 故选C. 所以阅读册数的中位数是第10个数和第11个数的平均数。 8.A【解析】把方程(2x+3)2+3(2x+3)-4=0看作关于2x+3的 因为阅读4册的人数是5，阅读7册的人数大于2，所以阅读5 一元二次方程，所以2x+3=1或2x+3=-4,所以x,=-1,x2 册和6册的总人数小于或等于12. =-3.5.故选A. 又因为阅读册数的中位数是5， 9.A【解析】设共有x个班参赛，根据题意得-少=15，解得 所以条形图中被遮盖的阅读5册的人数大于或等于6： x,=6,x2=-5(不合题意，舍去)，则共有6个班参赛.故选A. 由图可知阅读6册的人数大于5，所以阅读5册的人数为6，故 10.B【解析】设此方程的两个根是a,B,根据题意得a+B=-p 小亮说得对. =-2,a3=9=-20,则以a,B为根的一元二次方程是 阅读7册的人数是20-5-6-6=3. x2+2x-20=0.故选B. 把条形图补充完整如图所示. 11.B【解析】设正方形ADOF的边长为x,由题意得BE=BD 人数 =4,CE CF=6,.BC=BE+CE BD+CF =10. Rt△ABC中，AC+AB=BC,即(6+x)2+(x+4)2=10,整理 得x2+10x-24=0,解得x=2或x=-12(舍去)，.x=2,即 正方形ADOF的边长是2.故选B. 2 12.C【解析】当m=0时，x=-1,方程只有一个解，①正确； 4册5册6册7册读书情况 当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，b2-4ac 第23题答图 =1-4m(1-m)=1-4m+4m2=(2m-1)2≥0，方程可能有两个 ②30%15% 相等的实数解，②错误； (3)1 把x2+x-m+1=0因式分解为(x+1)(mx-m+1)=0, 分析：因为阅读4册、5册的学生总人数为5+6=11，又因为 可得x=-1是方程mx2+x-m+1=0的一个解，③正确.故选C. 中位数仍是5，故总人数不能超过21，故最多补查1人 24.【解J(1)四2500.1572° )13.-7x-9【解析】原方程可化为2-7-2=0，故一次项为-7x, b=-7,c=-2,b+C=-9.故答案为-7x,-9. 答案与解析 14.-1【解析】：一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的一 图中大正方形的面积是(x+x+4)2,其中它又等于四个矩形的面 个根是0，.(m-1)×02+2×0+m2-1=0,解得m=±1. 积加上中间小正方形的面积，即4×15+42=76，据此易得x= 又m-1≠0，.m≠1，.m=-1.故答案为-1. 19-2. 15.9x=x2=3【解析】设“口”中为m,则x2-6x+m=0,由题 (2)能，画出图形如图② 意得，4=_4ac=6-4m≥0，解得m≤9，∴.“☐”的最大值 m m-2 为9.此时方程为x2-6x+9=0,即(x-3)2=0,.x=x2=3. m-2 16.3或-2-1【解析】由x2-x-3=3,得x=3或x=-2. 根据题意得P-1-3=t,解得t=-1或1=3.又需满足结果小 m-2 于或等于0，所以t=-1.故答案为3或-2；1 17.【解】(1)x2+3x-1=0,b2-4ac=32-4×1×(-1)=13, m-2 m x=-3± ,x=3+ 第21题答图② 2 ,53-g 2 22.【解】(1)设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为(x- (2)x2-5x+6=0,(x-3)(x-2)=0, 40)元，每天可售出20+10×60x=(140-2x)(件). 5 x-3=0或x-2=0,x1=3,x2=2. 依题意得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20, (3)方程变形得x(x+3)-7(x+3)=0, 整理得x2-110x+3000=0,解得x1=50,x2=60. 分解因式得(x43)(x-7)=0,解得x1=-3,x2=7. 又，商家想尽快销售完该款商品，.x=50. (4)x2-4x-5=0,(x-5)(x+1)=0, 答：每件售价应定为50元 x-5=0或x+1=0,x1=5,x2=-1 (2)设该商品打y折销售， 18解11)③名=25=-多 分析：2x2-x-6=0, 依题意得625×6≤50，解得y≤8， 27x=3, ,该商品至少需打八折销售 23.【解1)-21 (=+, 分析：x3+x2-2x=0, x(x2+x-2)=0, x-铝则x±子 .x(x+2)(x-1)=0, 解得x=2,3=-3 .x=0或x+2=0或x-1=0, 则开始出错的一步是③ x1=0,x2=-2,x3=1. (2)2-x1=0, (2)将方程V2x+3=x两边平方，得2x+3=x2, x2-2x-3=0, x2-2x+1=3, (x-1)2=3,则x-1=±√5， .(x-3)(x+1)=0, 解得x=V3+1,x2=-V3+1. .x1=3,x2=-1. 19.【解】(1)f(-2,5)=(-2)2-5-3=-4. 经检验，x=3是原方程的解。 (2)由题意得f(m,1)=m2-1-3=-2m, ,∴.原方程的解为x=3. 解得m,=-1+5,m,=-1-5. (3),四边形ABCD是矩形， 故m的值为-1+√5或-1-√5 .∠A=∠D=90°，AB=CD=4m 20.【解】(1)由题意得4≥0，即[-(2k-1)]24×1×(2+k-1)= 设AP=xm,则PD=(6-x)m 845≥0，解得k≤爱 BP+CP 10m,BP=AB2+AP2,CP=CD2+PD2, (2)由根与系数的关系可得x+x2=2k-1,x2=2+k-1, ∴.V42+x2+V42+(6-x)2=10, .x+x号=(x+x2)2-2xx2=(2k-1)2-2(2+k-1)=22-6k+3. ∴.42+(6-x2=10-V42+x2, x+x号=11，.22-6k+3=11,解得k=4或k=-1. 两边平方，得(6-x)2+16=100-20W16+x2+16+x2, :及≤有，k=-1 整理，得5√/16+x2=3x+16, 21.【解】(1)画出图形如图① 两边平方并整理，得x2-6x+9=0, x+4 即(x-3)2=0,解得x,=x2=3, 经检验，x=3是方程的解， 答：AP的长为3m 24解]D8-r(8-x-x)-r+4红 分析：，四边形ABCD是矩形，∠B=90° x+4 ● 第21题答图① .AP+CQ =8,PA =x,AB=1,..CQ=8-x,PB=t-x, 真题圈数学九年级9G Sam=3CQ·AB=(8-xh, 把(2)式加上(1)式的2倍得到6a+3c=0,即2a+c=0,故正确； Sarco-]CQ.PB-j(8-x)(I-x). ③若方程a2+c=0有两个不相等的实数根，则4ac>0,∴.b- 4ac>0,∴.方程a2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故正确； =:-S=400-ArOc=(0AC0)-(SAc+AC0 ④若b=2a+c,则b2-4ae=(2a+c)2-4ac=4a2+c2. =S△AcQS△Pc0' :a≠0，.4a2+c2>0,.方程有两个不相等的实数根，故正 5=(8-x)t(8-x-x)=8-x)x=-24x 确.∴.②③④都正确，故选C. （2)当S=-方24x=75时， 7.-1【解析】根据题意，得b2-4ac=22-4×(-m)=0,解得m 有x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5, =-1.故答案为-1. 即PA=3或5. 8.(1)【证明】4=b2-4ac=[-(3k+1)]2_-4·(22+2k)=2- :E是AB的中点，点P是线段AE上的一个动点， 2k+1=(k-1)2≥0， :AE=3AB=7×7=35,则M≤3.5， ∴.无论k取何值，方程总有实数根. .PA=3. (2)【解】：等腰三角形的底边长为3， (3)①12②2③2或6 ∴.另两边长即等腰三角形的腰长 分析：当S=-344x=6时， ·另两边长恰好是这个方程的两根， .该方程有两个相等的实数根， 有x2-8x+12=0,解得x1=2,x2=6, 4=(k-1)2=0,解得k=飞2=1. 即PA=2或6. :E是AB的中点，AE=号AB=方 将k=1代入方程，得x2-4x+4=0,解得x1=x2=2, 此时该等腰三角形的三边长为3,2,2，周长为3+2+2=7. 又AP≤AE, 9.B【解析】：方程x2-3x-m2=0的两个根分别为x1,x2, 当PA=2时，有21≥2，解得1≥4； ∴.b-4ac=9+4m2>0,∴.x1≠x2,故C不符合题意. 当PA=6时，有21≥6，解得1≥12 x+x=3>0,A不符合题意 :当4≤K12时，x=6>故舍去， :xx2=-m2≤0，∴.方程的根有可能为0，故B符合题意，D 不符合题意故选B. .AP=x=2. :当1≥12时，x=2号x=6≤， 10.2子【解析】：xx是关于x的方程+x-2b=0的两实数 .AP=x=2或6. 根心x怀=0=-2x%=-2b=1,解得a=2,b=-2, -（=4故答案为2：好 3.重难题型卷（一）一元二次方程 11.7【解析】由实数a,b分别满足a2-7a+2=0,b2-7b+2=0, 1.C【解析】倒数是它本身的数为1或-1，①当x=1时， 可得a,b是方程x2-7x+2=0的两个不等实数根，由根与系数 1+m+1+0.5=0,解得m=-2.5;②当x=-1时，1-m-1+0.5 的关系可得a+b=7.故答案为7. =0,解得m=0.5.所以m的值为-2.5或0.5.故选C. 12.2023【解析】：m,n是一元二次方程x2-2x-2025=0的两 2.1【解析】.·关于x的一元二次方程x2+x+b=0有一个非零 个实数根，∴.m2-2m-2025=0,m+n=2.:'m2-3m-n=m2 根-b,.b2-ab+b=0. 2m-m-n=2025-2=2023.故答案为2023. :-b≠0，.b≠0，方程b2-ab+b=0两边同时除以b,得b-a+1 13.士4【解析】：两根的绝对值相等，.x=x,或x+x2=0. =0,即a-b=1.故答案为1. ①当x1=x2时，b2-4ac=m2-16=0,解得m,=4,m2=-4. 3.【解】根据题意得2m2-7m+1=0,∴.2m2-7m=-1, ②当x+书，=0时，-受=0，解得m=0. .∴.m(2m-7)+5=2m2-7m+5=-1+5=4. 当m=0时，b2-4ac=m2-16=-16<0, 4.A【解析】：关于x的方程x2+2xr-t=0没有实数根，且a=1, .方程无解，.m≠0. b=2,c=-t,∴.b2-4ac=22-4×1×(-t)<0,解得1K-1.观察 综上，m的值为±4.故答案为士4 选项，t的值可能是-2.故选A. 14.【解】(1)，关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0有实 5.A【解析】由数轴看出m>0,n<0,,2x2-(m+n)x+mn=0是 数根， 关于x的一元二次方程，∴.4=(m+n)2-8mn.:m>0,n<0, .-8mm>0,.4=(m+n)2-8mm>0,∴.原方程有两个不相等的 -4ac=[2(m-1)]2-4×1×m≥0，解得m≤2： 实数根.故选A. ·实数m的取值范围为m≤号 6.C【解析】①当x=1时，有a+b+c=0,即方程有实数根， (2):x,x2是关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的 .b2-4ac≥0，故错误； 两实数根，∴.x+x2=-2(m-1),x2=m2 ②把x=-1代入方程得到a-b+c=0,(1) (x+x)2=18+4x52, 把x=2代入方程得到4a+2b+c=0,（2) .[-2(m-1)]2=18+4m2,真题圈数学 8.(月考·22-23邯郸二十五中)已知方程2+3x-4=0的解是x,=1,x2=4,则方程(2+3)2+ 同步调研卷（上） 九年级9G 3(2x+3)-4=0的解是()》 Ax=-1,x2=-3.5 B.x1=1,x2=-3.5 2.第二十四章学情调研 C.x1=1,2=3.5 D.x=-1,x2=3.5 (时间：120分钟满分：120分)】 9.(期中·22-23衡水六中)某中学组织九年级学生参加篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛 一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班参赛( A.6 B.5 C.4 D.3 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分） 10.(期末·22-23唐山凤凰中学)在解一元二次方程x2+π+9=0时，小红看错了常数项q,得到方程 1.(月考·22-23石家庄二十三中)下列方程中，属于一元二次方程的是(） 的两个根是-3,1，小明看错了一次项系数P,得到方程的两个根是5,4，则原来的方程是( A.3x2-5x=6 B1-2=0 C.x2+y2=4 D.6x+1=0 A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0 2.(期中·22-23石家庄四十八中改编)用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0,将其化成(x+a)?= C.x2-2r-20=0 D.x2-2x-3=0 b的形式，则变形正确的是() 11.数学文化我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分制 A.(x+4)2=11 B.(x-4)2=21 C.(x-8)2=11 D.(x-4)2=11 成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，BD=4, 3.(期中·21-22邢台信都区)若m是一元二次方程x2-4x-1=0的根，则代数式4m-m㎡的值为( CF=6,则正方形ADOF的边长是( A.1 B.-22 C.2 D.-1 A.2 B.2 C.5 D.4 第11题图 4.数据分析（月考·23-24廊坊有人中学）根据下列表格的对应值，判断方程x+x-1=0的一个解 12.（期末·21-22保师附校)关于x的方程m2+x-m+1=0,有以下三个结论：①当m=0时，方程 的取值范围是( 只有一个实数解：②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负 x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 数解，其中正确的个数是( x2+x-1 -0.061 -0.04 -0.018 0.0044 0.027 A.0 B.1 C.2 D.3 A0.59<x<0.60 B.0.60<x<0.61 C.0.61<x<0.62 D.0.62<x<0.63 5.(月考·23-24承台十二中)下列方程中，以x=5土25+4c为根的是( 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 2 Ax2-5x-e=0 B.x2+5x-c=0 13.将方程x2-2=7x化成x2+bx+c=0的形式，则一次项是 ,b+c= C.x2-5x+4c=0 D.x2+5x+c=0 14.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0有一个根为0，则m的值是 6.(期中·22-23邯郸二十三中)某品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已 15.嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2-6x+口=0.若“口”表示一个字母，且一元二次方程x2 知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正 6x+口=0有实数根，则“口”的最大值为，此时方程的解为 确的是() 16.程序框图（期中·23-24石家庄八十一中改编）观察如图所示的程序示意图，初始端输人x后经 A.560(1+x)2=315 B.560(1-x)2=315 式子x2-x-3处理后得到一个结果.若这个结果大于0，则输出此结果；否则就将得到的结果作为 输入的x再次运行程序…直到输出结果为止 些加 C.560(1-2x)2=315 D.560(1+x2)=315 阳图 7.情境题老师设计了一个游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是每老师：-1++33 -3 结果大于0？ 是 输人x 输出结果 图 人只能看到前一个人计算的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下 甲：x-1r+5=7z+5 最品 个人，最后得到方程的解，过程如图，接力中，自己负责的一步出现错误 乙：x-17 丙：x7-1 第16题图 的学生人数是() 丁：x,=x=5 若输人x的值，式子处理后没有循环，直接输出的结果为3，则x的值为 若该程序满足 A,1 B.2 第7题图 条件：存在实数1，当输入x的值等于1时，结果仍然为1，则该程序的运算无法停止（即会一直循 C.3 D.4 环运行)，则1的值为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 19.衙定义问题(6分)对有序数对(m,n),定义新运算：f(m,n)=m2-n-3.例如f(3,2)=32-2-3=4. 17.(期中·21-22石家庄二十三中)12分)解方程： (1)求f八-2,5)的结果. (1)x2+3x-1=0. (2)x25x+6=0. (2)f(m,1)=-2m,求m的值 (3)x(x+3)=7(x+3). (4)x2-4x-5=0. 18.(月考·23-24石家庄二十入中)(6分)(1)小明用配方法解方程22-x6=0的过程如下： 20.(月考·23-24石家庄二十七中)(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x++k-1=0有 2x2-x=6,…① 实数根。 7x=3,② (1)求k的取值范围 +3+… 精 (2)若此方程的两实数根x,x,满足x+=11,求k的值 金皇牧何 绝盗国 x=号④ 王老师说他解错了，他开始出错的步骤是 (填序号)，此方程的解是 (2)用配方法解方程：)-x-1=0, 一6 21.数学文化（月考·23-24那台十二中）(8分)我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载用 23.方法探索(10分) 几何法对一元二次方程进行求解的方法，以求方程x2+2x=35的正根为例，记载的方法是：如 【阅读材料】各类方程的解法， 梁 图所示，构造出4个长为x+2,宽为x的矩形，围成一个边长为x+2+x的正方形，所以S=S= 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=α的形式：求解二元一次方程组 S=S=x(x+2),S=4,得到大正方形的面积为4×x(x+2)+22=4×35+4=144,大正方形 把它转化为一元一次方程来解；类似地，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组： 的边长为12，所以x=5. 求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解：求解分式方程，把它转化为整式方程来 出州 (1)请利用上面方法画出图形，求出方程x2+4x-15=0的正根，并写出分析过程 解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它 反期 (2)你能否用几何法画出图形求方程m2-2m-5=0的正根？如果可以，请直接画出图形，标注相 们有一个共同的基本数学思想—转化，把未知转化为已知 关信息 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x+x-2x=0,可以通 x+2 过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x+x-2x=0的解 (1)【问题仿程x+x2-2x=0的解是x1=0,x2= (2)【拓展】用“转化”思想求方程√2x+3=x的解 (3)【应用】如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=6m,宽AB=4m,小华把一根长为10m的 x+2 第21题图 绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P,然后 沿草坪边沿PD,DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C处.求 AP的长 22.(期中·22-23石家庄四十八中)(10分)直播购物逐渐走进了人们的生活，某平台对一款成本价 第23题图 为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现， 每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件， (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)李先生的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件625元.为提高市场竞争力，促进线 下销售，李先生决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少 需打几折销售？ 24.(期中·23-24石家庄晋州)(12分)如图，在矩形ABCD中，AB=1,1为正数，点E是AB的中点， 点P是线段AE上的一个动点（不与点A重合），点Q是BC的延长线CF上的一个动点（不与 点C重合)，且AP+CQ=8,连接PC,AQ,AC与PQ交于点O.设PA=x,△AOQ的面积为S, △POC的面积为S,并设S=S-S, (1)嘉淇认为，能用含有x的式子表示S,她的推理过程如下，请你补充完整： S=S,-S,=Sa4oo-Saoc=(S64ootS△co)-(S6oc+S)=S△Co-S且SAWo= 2CQ·AB= (用含x和1的式子表示)： Saew=2CQ·PB= (用含x和1的式子表示)： S=SA400-SARQ= (用含x的式子表示) (2)若t=7,当S=7.5时，求PA的长度（即x的值）. (3)若S=6,请结合1值的不同范围，写出PA的长度是多少.（结合表格进行分析，直接填写表 格下面的三个空即可) t的取值范围 0<1×4 4≤长m t≥m PA的长度(x) 不存在 42 ①m= ②▲，处填写： ③▲，处填写： 品书 盗印必究 关学子 柜绝盆国 A P E B 第24题图 一8一