14.第一章 直角三角形的边角关系学情调研-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）陕西专版

真题圈数学九年级 .(x+1)2=(6-x)2+12, .DE AD=3, 解得x=9。 六Sam=3BC~DE=号x6x3=9 “EF=x+1=9+1=2 71 故选A 4 (3)如图②，过点A作AO⊥BD于点O. 5.A【解析】如图，连接CD,由题意得 :AD∥BC, BD2=22+22=8,CD2=12+12=2, .∠ABC+∠BAD=180° BC8=12+32=10, ∠ABC=60°，∠BAD=120°. .BD2+CD2 BC2, B M N .AB=AD, 第26题答图② ∴.△BCD是直角三角形， ∴.∠BDC=90°， B ∠ABF=∠ADF=30°， .AB AD 2A0. 小m8-品-得将 第5题答图 设A0=a,则OB=OD=V3a. 故选A. .OF=OD-DF=√3a-6. ,BE=4,DF=6, 6.B【解析】：sinA=cos(90°-∠C)= 2, ∴.BF=2V3a-6,EF=2W3a-4-6=23a-10. .∴.∠A=45°，90°-∠C=45°， :∠EAF=∠ABF=30°，∠AFE=∠AFB, 即∠C=45°， .△AFE∽△BFA, .∠B=90°，即△ABC为直角三角形.故选B. “部=票 7.D【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，CD=AB=6, .AF=BF·EF=(2V3a-6)(2N3a-10): BD=AC=V6+8=10,0C=5AC=5 AF2=A02+OF2, 过点C作CN⊥BD,垂足为N(图略)， .(23a-6)(2√3a-10)=a2+(V3a-6)2,2a2-5V3a+6=0, 则Sm=号BCCD=号BD:CN,易得Cw-24 解得4=25，马=9 MD⊥BD,.MD∥CN, 当a=2√5时，0D=√3a=√3×23=6，此时0与F重合， ∴.∠M=∠NCO, 如图③所示， .'BF DF=6,..EF=2. osM=cas∠NC0=8%=器， 故选D 在Rt△AEF中，∠EAF=30°， FO) 8.D【解析】：BD=2,AD=7,点D在AB上， ∴.AE=2EF=4=BE, .∠BAE=∠ABE=30° M N ·AB=BD+AD=9在R△ABC中，sin∠BAC=号， :∠ABM=60°， 第26题答图③ ·BC=3AB=3, ∴.∠AMB=90°，∠MBE=30°， ∴AC=VAB2-BC2=V92-32=6√2. .EM=2,∴.AM=4+2=6, 在Rt△BCA与Rt△DCE中， MWN=6=2W5, ,·∠BAC=∠DEC, 3 :△AN的面积=支4M·MN=方×6×25=65 ∴.tan∠BAC=tan∠DEC,.∴.BC:AC=DC:CE. ∠BCA=∠DCE=90°， 当a=9时，0A=908=00=3, ∴.∠BCA-∠DCA=∠DCE-∠DCA, 2 .BD=OB+OD=3<4+6=10,此种情况不成立. ∴.∠BCD=∠ACE,.△BCD∽△ACE, 综上可得，△AMN的面积为6V3. .BC:AC BD AE,..3:62=2:AE, ∴.AE=4√2.故选D. 同步调研卷（下） 926【解析】：∠C=90,osA=号4C=24, “品=浩-号解得B=26故答案为26 14.第一章学情调研 10.10【解析】：扶梯AB的坡度i=1:V3, 1.A2.B .可设BC=xm,则AC=√3xm. 3.B【解析】由题意，得AQ=500m 由勾股定理可得AB=2xm. 在Rt△AP0中，cosa=得=品解得P0=50osam, AB=0.5×40=20(m), ∴.发射点P与雷达站Q之间的距离是500 cos a m.故选B. .x=10,即BC=10m.故答案为10. 4.A【解析】过点D作DE⊥BC,垂足为E(图略)， 1山.60P【解折由愿意得sm本号=0,2-cosA-0, :sABD=部=品=手， smA-9,cosB=号，∠A=6,∠B=6, ∴.BD=5,由勾股定理可得AD=3. .∠C=180°-∠A-∠B=60°. :对角线BD平分∠ABC,∠A=∠BED=90°， 2)故答案为60°. 答案与解析 12.9万【解析过点A作AG1BC于点G,如图 17.【解】如图所示，点B即所求 :∠ADE=∠B,∠BAD=90°， ∠BGA=90°， M B GDC ·smB=骆=品= B 第12题答图 m∠D6=是- 4=号DE=9 根据勾股定理得AD=9万， XN 在R△BAD中，BD=品=3AD=205, 第17题答图 18.【解】sin75°=sin(30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45° 根据勾股定理得AB=。 31 =支×号+9x9-点，6-2+6 2 2 2 4 在Rt△BMG中，4G=AB·smB=号AB-9. 19.【解】过点C作CD⊥AB于点D,如图，则∠CDA=90°. 在Rt△AGC中，∠C=45°， 北 c=二-婴+要-曾5 放答案为智2 北： 13.8【解析】如图，过点P作PH⊥AB于 B bi东 H,:AD是△ABC的高， 第19题答图 .∠ADB=∠ADC=90° 设CD=xkm,根据题意得∠CAD=90°-60°=30°， :am∠BAD=0= ∠CBD=90°-45°=45°， ·AD=号×6=8， :BD= CD .AB=V62+82=10. 第13题答图 tan 456=x km. 在Rt△ACD中，∠CAD=30°， 设机器人从A点运动到P点用了xs,则AP-号x CD 六4D=an30=5CD=5xkm 'sin∠P4H=是=sin∠BAD=2=6=3 AB=10-5, AD-BD =AB,..3 x-x=2, PH=AP·sim∠PMH-=青xx 解得x=√5+1，即CD=(V5+1)km “机器人从A点出发沿AD以个单位s的速度走到P点所 答：船C到海岸线1的距离是（√3+1）km 用的时间相当于机器人从点H出发沿HP以1个单位s的速 20.【解】如图，过点C作CD⊥AB于点D,则∠ADC=∠BDC= 90°. 度走到P点所用的时间，.PC+PH=t 当点C,P,H共线时，PC+PH的值最小，即t的值最小，此时 CH LAB,CH=BC+sin B BC.(446)x AB 即1的最小值为8.故答案为8 14解】1)原式=2×方3×14方1-3+分-多 D (2)原式=3-2×9+2-5=5-25. 第20题答图 :∠B=60°，∠A=45°， 15.【解】：∠C=90°，AC=V5,BC=3, AB=AC2+BC=(+3=23 .∠BCD=30°，∠ACD=45°，.AD=CD 设BD=x,则CD=BD·tanB=BD·tan60°=√5x. m8=%=最-∠8=沙 AB=8,CD=AD=8-x,.5x=8-x, .∠A=90°-∠B=90°-30°=60°. 解得x=4V3-4.∴CD=12-43, 16.【解：四边形ABCD是菱形， S6c=方4AB:CD=3×8×(I2-45)=48-165. AC L BD,40 CO,CD BC,BO=DO=BD=8. 21解ACLRD,.as∠ABC=%=青BC=8 :m∠0cD=号：0c=m20C tan∠ocD= 8二6， ∴AB=10.由勾股定理得AC=√AB2-BC2=102-82=6, 43 AD=VAC2+CD2=V62+42=2√13. .根据勾股定理得CD=VOC2+OD2=10. 过点F作BD的垂线，垂足为E, 点E是边AB的中点， 如图.：BF为AD边上的中线， .OE是△ABC的中位线， 即F为AD的中点， ·0E=3BC=2CD=5 9:.DF=4D=3 e 第21题答图 真题圈数学九年级 :cosD-光-号mD=S-需， 光-器=8=号 “器全=需0=2，即=3， 设CG=2x,则CF=3x,FG=2x+3x=5x. :EF∥DG,BE=ED, ,.BE=BC+CD-ED=8+4-2=10, ·n∠FBD=需=高 ar=G=5x器-爱-号 22.【解】设一个档案盒的宽度DF=xcm, 26.【解】(1)①号 5 2 则DG=60-7x-21=(39-7x)(cm). ②4W2±5 2 在Rt△DFG中，∠DFG=53°， 分析：如图①，当点E在BD上时，在Rt△BCD中，BC=3, :sm∠DrG=8DG=DF·sin∠DPG, CD=1,∴BD=V32-12=2√2 即39-7x=x·sin53°，解得x≈5， :0E=5E=D-DE-4返气5， 2 即一个档案盒的宽度约为5cm, 如图②，当点E在BD的延长线时，同理可得BE=BD+DE= ∴.该书架中最多能竖放这样的档案盒的个数为60÷5=12. 答：该书架中最多能竖放12个这样的档案盒， 4W2+5.故答案为4D±5 2 2 23.【解】如图，过点A作AB⊥DC,交DC A 的延长线于点B. “斜坡AC的坡度1= 6 3096° D ∴.AB:BC=5:6, 故可设AB=5xm,则BC=6xm. ① 在Rt△ADB中，∠D=30.96, BD=(140+6x)m,..tan30.96°= 第23题答图 5x 140+6 -≈0.60，解得x≈60， 经检验，x≈60是方程的解，∴5x≈300. 答：该岛礁的高约为300m, C 24.【解】过点E作EH⊥AB,垂足为H,如图 ③ ④ A 第26题答图 (2如图@，：38M=5w器-号 C H :cos∠BN=3 .△MNB为直角三角形，∠BNM=90°， D B 由勾股定理易得BN=号BM 第24题答图 在BC的上方作Rt△BOC,使∠BC0=90°，OC=600m, 由题意得EH=FB,EF=BH=1.6m .0B=1000m, 设EH=FB=xm,在Rt△AEH中，∠AEH=26.6°，∴AH 器器-号 =EH·tan26.6°≈0.5xm,.AB=AH+BH≈(0.5x+1.6)m. ÷cos∠CB0=cos∠MBN-手， CD⊥FB,AB⊥FB,.∠CDF=∠ABF=90°. .∠CBO=∠MBN, ∠CFD=∠AFB,△CDF∽△ABF, .∠CBN=∠MBO,∴.△CBN∽△OBM, ·器=器小培=兰B=寻xm ÷8别==号0M=av=0(m). :寻x≈05x+16,解得x≈64,4B-子xm≈48m, .当M,O,C三点共线时，CM最大，且最大值为OM4OC= .该景观灯的高AB约为4.8m. 500+600=1100(m), 25.【獬(1)BD LAC,.∠ADB=90°. 此时，CM⊥BC,如图④，过点M作MX⊥CD于X,设CM交 在R△ADB中，4B=13,sm∠BMC=音BD=5, DF于T,则MC⊥DT .∠ABC=∠DFB=∠MCB=∠A=∠E=90°， 由勾股定理得AD=√AB2-BD2=V132-5=12. ∴.四边形FBCT、四边形AFDE都为矩形， .AC=7.2,.CD=12-7.2=48, .'AF DE 1000 m,CT=BF,FD =AE =2000 m, ∴m∠c0-品-弩-答 FT=BC=800m. D (2)如图，过点D作DG∥AF交 .CT=BF=AB-AF=1500-1000=500(m), G BC的延长线于点G, DT=FD-FT=2000-800=1200(m), 由(1)得CD=4.8. MT=M0+OT=500+100=600(m). .DG∥AF, 第25题答图 ∠在Rt△MTD中，根据勾股定理得MD=V6002+12002= 答案与解析 600√5(m). EH=V5x=5×32-36 5 5 在Rt△CTD中，由勾股定理易得CD=V5002+12002= 1300(m). 又SAm=号8D·AG=3×25×35=35,SAmE :SAmw=2CD·MX=3CM·DT, 38D·H=号×25×3g5-6 5 5 1300·MK=1100×1200,解得Mx=13200, 13m &as=5aoS6m=35-65=l5g9-695=95 5 13200 故选B。 咖∠Mwc=器--22 -13 :225 5解1)原=4×2×+5-习 答：此时处理站M到园区大门的距离为600W5m,sin∠MDC =225 =2√5-1+2-V3=V5+1. 65 2)原武=9×9+-支+号-1 15.重难题型卷（五）解直角三角形 6.【解1(1)：(1-an4)24simB- 头0， 1.B amA=1,mB=9,∠A=450,∠B=60, 2A【解折∠C=0,mA=9∠4=6， .∠C=180°-45°-60°=75°， 0sA=c0s60°=7.故选A ∴.△ABC是锐角三角形 (2).∠A=45°，∠B=60°， 3.A【解析】∠B=45°，AD⊥BC, :AD=4BsinB=2N6Xsin45°=26×5=25. 原式-(+)-21= 血C-2-94c=4 7.D 8.A【解析】如图，分别作出△ABC的边BC上的高AD(即h,), E,F分别为AB,BC的中点， △PQR的边QR上的高PE(即h). ·EF是△ABC的中位线，EF=)AC=2. 在Rt△ADC中，h,=AD=5×sin55°，在Rt△PER中， 故选A. ∠PRE=180°-125°=55°，h2=PE=5×sin55°，.h1=h 4.B【解析】连接CC,过点A作AG 故选A ⊥BC于点G,过点E作EH⊥BC C' 于点H,如图. E :D是BC边的中点， .BD CD. d HD GC .BD BC=22, 第4题答图 ∴.BC=BD=DC. 55 125 由翻折知，△ADC≌△ADC, B D C Q E B .DC=DC,∴.BD=BC=DC,.△BDC为等边三角形， 第8题答图 第9题答图 .∠BDC=∠BCD=∠CBD=60°， 9.A【解析】如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D.由图易知，点 ∴.∠CDC=180°-∠BDC=180°-60°=120°. D处为格点.则∠ADB=90°.：AD=√22+2=2V2,AB= :△ADC≌△ADC, 13 ÷∠ADC=∠ADC=i∠CDC=60, -函m8=器-2=2故速人 10.√5【解析】如图，过点A作AC⊥x :AD=3N2,AG⊥BC,∴AG=AD·sin∠ADC=3V2× 轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D, 如0=5×9-35 则∠BDO=∠ACO=90°. EH⊥BC,∠BDC=60°，设DH=x, :顶点A,B分别在反比例函数y= ∴.EH=DH·tan∠BDC=x·tan60°=√3x 2(x>0)与y=-10(x<0)的图象上， 又DG=AD·cos ADC=3W2×cos60°=35×7= 第10题答图 SA△BDo=5,S△A0c=1 3y5,BG=BD+DG=22+3y2=72 ∠AOB=90°， 2 2 .∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°， EH⊥BD,AG⊥CD,.EH∥AG, △8 EGA器=器 ∴.∠DB0=∠AOC,.△BDO∽△OCA, .BH=BD-HD =22-x, -(-月=5盟-5， S△ocA B=25x,解得x=3 5 am∠BA0=8照=5 3W67W2 2 2 35故答类为5，真题圈数学 7.(月考·23-24西安爱知中学)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,MD⊥BD交AC 同步调研卷（下） 九年级 的延长线于点M,若AB=6,BC=8,则cosM的值为() A号 B. 14.第一章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 图州 第一部分（选择题共24分） 、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 第题图 第8题图 1.（月考·23-24西安滨河学校)tan30°的值等于() 8.(期中·22-23西安交大附中)如图，Rt△ABC与Rt△EDC的直角顶点重合于点C,点D在AB上， A9 a号 C.1 D.3 ∠BAC=∠DEC,且sim∠BAC=号，连接AE,若BD=2,AD=7,则AE的长为(） D.42 2.(月考·23-24西工大附中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AC=4,sinB=( A.22 B. c. A号 B c p 第二部分（非选择题共96分） 3.(月考·22-23西安高新一中)如图，某火箭从地面P处发射，当火箭到达A点时，从位于地面 Q处的雷达站测得A,Q之间的距离是500m,仰角∠AQP为a,则发射点P与雷达站Q之间 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 的距离是( ) A.500sin a m B.500cos a m 9(月考·2-23西安高新-中)在t△48C中，若∠C=90,osA=号4C=24,则4B的 C,500 m D.500 长为 sin a 10.(月考·23-24西安滨河学校)如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=1:√5，王老师 乘扶梯从扶梯底端A以0.5ms的速度用时40s到达扶梯顶端B,则王老师上升的铅直高度BC 金 为m. 绝印 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 4.(模考·2023西工大附中九模)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=4,BC=6,对角线 BD平分∠ABC,os∠ABD=号，则△BCD的面积为( 第10题图 第12题图 第13题图 A.9 B.12 C.15 D.18 5.(期中·22-23西安滨河学校)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C均在 L(月考·21-2西安文大附中)在银角△4Bc中，若m4-写+片-m-0,则∠C等 匹0 格点处，连接AB,BC,则∠B的正切值为() 阳图 于 图 A B C.1 D.v10 5 12.(月考·23-24西安爱知中学改编)如图，在△ABC中，∠B的正弦值为，∠C=45°，过点A作 最品 6.(月考·21-22西工大附中改编)在△ABC中，inA=c0s(90°-∠C)=5(∠A,∠C为锐角， AB的垂线交BC于点D,点E在线段AB上，且∠ADE=∠B.若DE=10,则AC的长为 则△ABC的形状是( 13.如图，在△ABC中，AD是高，BD=6,CD=4,an∠BAD=子，P是线段AD上一动点，一机 A,锐角三角形 B,直角三角形 器人从A点出发沿AD以三个单位s的速度走到P点，然后以1个单位的速度沿PC走到C点， C.纯角三角形 D.不确定 共用了1s,则1的最小值为 三、解答题（共13小题，共81分.解答应写出过程） 17.(月考·21-22西安交大附中)(5分)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 14.（月考·23-24西安高新一中)(6分)计算： 已知：锐角∠0及其一边上的一点A 2 求作：在∠O的另一边上求作点B,使得tan∠OAB=anO. (1)2sin30°-3tan245°+c0s60°. -2cos30°+2-tan60°↓ 第17题图 15.(5分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=√3，BC=3,求这个三角形中未知的边和角 18.新知探索(5分)已知三角函数有如下公式：si加(a+p)=sin acos+cos asin B,利用该公式求 sin75的值 3 第15题图 精品 金皇软 19.(期中·23-24西安入十五中)(5分)如图，在一笔直的海岸线1上有相距2km的A,B两个观测 16.(期中·23-24西安爱知中学改编)(5分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O, 站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60的方向上，从B站测得船C在东北 若BD=16,am∠0CD=号，点E是边AB的中点，求OE的长， 方向上，则船C到海岸线1的距离是多少千米？ 北 北 B 东 第19题图 第16题图 一46一 20.(期中·22-23西工大附中)(5分)如图.已知在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=8,求 23.(月考·21-22西工大附中改编)(7分)如图是个岛礁示意图，若某测量船在海面上的点D △ABC的面积， 处测得与斜坡4C坡脚点C的距离为140m,测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡 4C的坡度1-名，求该岛醮的高（即点A到海平面的铅垂高度）.（结果保留整数）（参考数据： sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.86，tan30.96≈0.60) 60 墨脚 第20题图 第23题图 21.(月考·23-24西安交大附中)(6分)如图，已知在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4, cos∠ABC=手，BF为AD边上的中线.求an∠FBD的值 65 24.(中考·2023陕西)(7分)一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯 第21题图 杆底部不可到达)的高AB.如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影 子长为DF,测得DF=2.4m:当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角a为 精品 26.6°.已知爸爸的身高CD=1.8m,小明眼睛到地面的距离EF=1.6m,点F,D,B在同一 条直线上，EF⊥FB,CD⊥FB,AB⊥FB,求该景观灯的高AB.(参考数据：sim26.6°≈0.45， c0s26.6≈0.89，tan26.6°≈0.50) 22.(期中·22-23西安交大附中)(7分)如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中 左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，其顶点D在书架底部，顶点 F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧BG的长为60cm,∠DFG=53°，ED的长 为21cm,求出该书架中最多能竖放几个这样的档案盒.（点A、点B、点C、点D、点E、点F点G 在同一平面内.参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33》 第24题图 些0 第22题图 47一 25.(月考·21-22西工大附中)(8分)如图，在△ABC中，si∠BAC=音，4B=13,4C=7.2, 问题解决： BD⊥AC,垂足为点D,点E是BD的中点，AE与BC交于点E (2如图③所示，五边形ABCDE是某工厂园区的平面图，点B、点C分别是生产车间和办公楼.已 (1)求∠CBD的正切， 知∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=1500m,AE=2000m,BC=800m,DE=1000m.现 (2)求器的值 要在矩形AFDE区域内修一个处理站M(不考虑处理站的面积)，处理工业废水和生活废水，同 时要在园区内修建3条地下管道BM,MN,CN将废水输送到处理站，根据园区的自然环境和实 际需求，要求CW=400m,3BM=5MN,且cos∠BMN=号，因处理站具有一定的污染性，因此 需建在离办公楼尽可能远的区域，当处理站M到办公楼C的距离MC最大时，连接MD,求此 第25题图 时处理站M到园区大门（点D)的距离以及si∠MDC (注：图③中，DF⊥AB) 页圈 盗印必穷 关学子 金配欢 绝盖回 26.探究性问题（月考·23-24西安铁一中）(10分)】 问题提出： (1)如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2,BC=3,点D,E分别为边AC,BC的中点， 连接DE.如图②所示，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，在此过程中， ⑦0 D品=—，4D,BE所在直线相交所成的较小夹角为a,则ana=； ②当D,E,B三点共线时，线段BE的长为 ② 3 第26题图 一48一