16.重难题型卷(六)相似三角形-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（人教版）山西专版

、真题网数学 5.(期末·22-23运城运康中学)如图.矩形ABCD的对角线 7.问题情境： 同步仿真卷（下）九年级心8 AC,BD相交于点F,延长BC到点E,使CE=BC,连接DE, 在数学实践课上，老师出了这样一道题：如图①，正方形 16.重难题型卷（六）】 连接AE交BD于点G,交CD于点H ABCD的边AB上有一点E,以AE为边在正方形ABCD的外 都 相似三角形 (1)求证：四边形ACED是平行四边形 部作正方形AEFG,点G落在边DA的延长线上，连接BG, (2)求证：DGP=FG·BG. CF,探究CF与BG的数量关系， 题型一 基本模型 (3)若AB=14,BC=24,求线段GH的长度 初步探究： 百脚 类型1“A"字模型 (1)连接AC,AF,请你回答老师提出的问题：CF与BG的数 1.(期中·22-23山西省实验改编)如图，在 量关系是 △ABC中，∠A=78°，AB=4,AC=6,将 深入探究： △ABC沿各选项中的虚线剪开，剪下的阴影 第5题图 (2)镇密小组的同学在老师所提问题的基础上，将正方形 三角形与原三角形不一定相似的是( 第1题图 AEFG绕顶点A逆时针旋转至图②的位置，连接AC,AF,则(1) 中的结论是否仍然成立？请说明理由 拓展探究： (3)奇异小组的同学把图②中的正方形都换成矩形，如图③， 已知A =45=k,请直接写出CF与BG的数量关系 AB AG 2.(模考·2022大同云冈区二模)如图， Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC =3,CD平分∠ACB,点E是AC边上的 量 中点，连接BE,与CD交于点M,则EM 第2题图 的长为 第7题图 中 类型2“8”字模型 3.(期中·21-22运城运康中学)如图，在△ABC中，∠C= 90°，AC=1,BC=2,过点B作射线BD⊥AB,P是BC上 动点，连接AP,作PQ⊥AP,交射线BD于点Q,设AP为x PQ为y,则y与x的函数关系式为 类型3旋转模型 6.将一副三角尺(Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=60°，在 Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45)如图摆放，点D为 第3题图 AB的中点，DE交AC于点P,DF经过 第4题图 4.如图，在△ABC中，AD,BE分别为边BC,AC上的高，AD 点C,将△EDF绕点D按顺时针方向 图 .M 鼠 旋转角a(0°<a<60°），DE'交AC于 与BE交于F,连接DE,则下列结论：①△BDF∽△AEF: ②△DEF∽△BAF;③∠DEC=∠ABC;④BD·DC= 点M,DF'交BC于点N,则P兴的值 CN 第6题图 DFDA.其中正确的有()个， 为( A.4 B.3 C.2 D.1 A.5 B. C. -51 类型4一线三等角模型 题型二动点问题 题型三利用相似测高 8.(模考·2022太原二模)如图，在△ABC 10.(期中·21-22山西省实验)如图，在矩形ABCD中，BC= 13.(期中·21-22太原志达中学改编)如图，小明想要利用平面 中，AC=3,BC=4,∠C=90°，过 20cm,DC=12cm,点E,F分别为边AB,BC上的两个动点， 镜来测量学校旗杆CD的高度，他将镜子 CB的中点D作DE⊥AD,交AB于点E, 点E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，点F从点B 放置在距离旗杆底部D点16m的点M处， 则BE的长为 第8题图 出发以每秒3cm的速度向点C运动，当其中一个点到达终 然后沿DM方向后退直到从镜子中正好看 B M 9.如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与 点时，另一个点随之停止运动.若∠AFD=∠AED,设运动 到旗杆顶端C点，此时测量镜子和小明之 第13题图 点A,B重合)，分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成 时间为ts,则1的值为 间的距离BM的长为2m,小明的眼睛距离地而的高度AB 三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把￡叫做 是1.6m,旗杆CD的高度是m 四边形ABCD的边AB上的相似点：如果这三个三角形都相 14.(月考·22-23长治实验中学节选)如图①，小红家阳台上 似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点 放置了一个晒衣架.图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB, 解决问题： CD相交于点O,点B,D立于地面，经测量：AB=CD= (1)如图①，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否为 第10题图 第11题图 136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,现将晒衣架 四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由 11.（月考·20-21太原志达中学)如图，在平面直角坐标系中， 完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=5,BC=2,且A,B,C, 点B(12,10),过点B作x轴的垂线，垂足为A,作y轴的 (1)求证：AC∥BD. D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1） 垂线，垂足为C.点D从O出发，沿y轴正方向以每秒1个 (2)小红的连衣裙挂在衣架上后的总长度达到122cm,垂挂 的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形 单位长度的速度运动：点E从O出发，沿x轴正方向以每秒 在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由， ABCD的边AB上的一个强相似点E. 3个单位长度的速度运动；点F从B出发，沿BA方向以每 (参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61,9°≈0.471，可使用科学 (3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上 秒2个单位长度的速度运动.当点E运动到点A时，三点随 计算器) 的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强 之停止运动，设运动时间为1s若△ODE与以点A,E,F为 相似点，试探究AB和BC的数量关系 顶点的三角形相似，则：的值是一 12.(期中·20-21山西省实验)如图，在△ABC中，AB=12cm, BC=9cm,动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度向 点B运动；动点Q从点B开始沿BC边以2cms的速度向 点C运动，点P和点Q同时出发，当其中一个点到达终点 第14题图 时，另一点随之停止运动.设动点的运动时间为1$，请问当 第9题图 △QBP与△ABC相似时，1的值是多少？ +P 第12题图 -52一23.(1)AB=3EHCG=2EH号(2)9(3)ab AC=AB+BC=43=5. (2)【证明】：四边形ABCD是矩形，∴AD∥C, (3)[解】CF=V+1BG. 【解析】(1)如图①，过点E作EH∥AB交BG于点H, :点E是AC边上的中点，∠ABC■90， △ADG△EBG,“8C-品 提示：如图，连接AC,AF EH∥AB,∴△ABF∽△EHF ·BE=CE=5AC=25,∠EBC=∠ECB :四边形ACED是平行四边形，，AC∥DE, ,四边形ABCD和四边形AEFG都 “品-架-3，：AB和m的数量关系是AB=3E :F∥BC 是矩形。 ∴，△AGF∽△EGD, :四边形ABCD是平行四边形， .∠EFM=∠ECB,∠EMF=∠EBC, %=恶器= .∠ABC=∠AGF=90, ,AB∥CD,且AB=CD. ∴.△EMFO△EBC,∠EMF■∠EFM,∴.EM=EF BC=AD,GF=AE. ∴.DGP=FG·BG 又EH∥AB,.EH∥CD 设EM=EF=x, (3)【解】，四边形ACED为平行四边形，CE=BC. 又E为BC的中点，，EH为ABCG的中位线， CF=MF EC-EF 2.5-x. ÷△ABCn△AGF,AC=P+IAB,AF=NF+1AG. C0=2m器-品-溜- :△EMR∽△EBC, DH =T DC=148=7,4D =CE=24 ∠BC=∠GR,%=%=Ri. (2)如图②，过点E作EH∥AB交BG于点H, “既脱…嘉2兰 在R4△ADH中，Af=AD+DP,.AH=25 .∠BAC+∠BAF=∠GAF+∠BAF,即∠CAF=∠BAG. 在R△ABE中，AE=AB+BE,∴AE=50 则△ABF∽△EHF, x=急BM=2 “品-祭=m4B=m :△ADG,%=品=2 故容案为爱 4G-GE,AG-青×4E-9 CF=√2+IBG EH∥AB∥CD,∴.△BEH∽△BCG &号【解析]图，过点E作EM1BC,垂是为M, “器-器-2，CG=2Bm :GH=H-4G=等 .∠DME=∠BME=90, “器-激-受 6.D【解析】：点D为斜边AB的中点 .∠ED4∠DEM=90r ∴，CD=AD=DB, (3)如图③所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H, DE⊥AD,∠ADE=90 ∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60° 则有EH∥AB∥CD .∠CDA+∠EDM=90° 第2题容图 3 '∠EDF=90, ~Em∥CD,△BcDn△BE,器-骺=b ,∴.∠CDA=∠DEM 3.y=2x【解析】如图，设AB与PQ交于点M,连接AQ ∠CPD=60r, :CD bEH PQ⊥AP,BD⊥AB,∴.∠APM=∠QBM=90 ∴，∠MPD=∠NCD. ”点D是BC的中点.CD=D=BC=2 又品=a,4B=CD=ab8H 又：∠AMP=∠QMB,.△APMn△QBM △EDF绕点D按时针方向旋转角&(0°<a<60°) ∠C=∠DME=9,∴△ACD∽△DME EH∥AB, AM:PM QM:BM ∴，∠PDM=∠CDN=a, ∴$-器-2 ,△ABF∽△EHF, :∠AMQ=∠PMB,,△AMQ∽△PB, △PDMn△CDN2器=品 设EM=2x,则DM■3红 ∠AQM=∠PBM ∠BE=∠C=90P,∠B=∠B 设PD=x,则PC=2x, :∠APQ=∠C=90,∴.△APQ∽△ACB. 由勾殿定理得PD+CD=C严， .△BME∽△BCA, .AP:PQ=AC:CB=1:2,x:y=1:2. “y与x的函数关系式为y=2x故答案为y=2x cn-5兴-器-号 第8题答图 4,A【解析】，AD,BE分别为边BC,AC上的高， 放选D BM=誉x ∴.∠AEB=∠BDA=90° 7.(1)CF=2BG【解析】：四边形A8CD是正方形 BD =2,DMBM=2.3+=2 '∠BFD=LAFE, BC■AB,∠ABC■9 x=号BM-号aM=9 第23题答图 ∴△BDF∽△AEF,故①正确 六∠CAB=(180-∠ABC)=45, “部- AC=√BC2+AB=√2AR E=vaww=得-9 16.重难题型卷（六）相似三角形 ∠AFB=∠DFE,.△DEF△BAF,做②正确 同理可得∠EAF=45°，AF=V2AG, 故答案为号 1.D【解析】A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，放 .∠BAD=∠FPED ∠CF=∠CM∠EF=0,6=%=5 9【解】(I)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点 两三角形相似，故本选项不符合题意： :∠B4D+∠ABC=90°，∠DEC+∠FED=90°， :四边形AEFG是正方形， 理由：∠A=55, ,.∠ADE+∠DEA=125 B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相 .∠DEC■∠ABC,故③正确 ∴∠BAG=90°，.∠CAF=∠BAG, ∠DEC=55°，.∠BEC+∠DEA=125 似，故本选项不符合题意： :△AEFn△BDF,:∠DAC=∠FPBD ∴.△CAF∽△BAG 需=%=5，cF=5BG ∴∠ADE=∠BEC C两三角形对成边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本 ∠FDB=∠ADC,∴.△FBD∽△CAD ∠A=∠B,,△ADEn△BEC, 选项不符合题意； “器=品 故答案为CF=√反BG ,点E是四边形ABCD的边AB上的相似点 D.不能判定两三角形相似，故本选项符合题意.故选D. ,∴BDDC=DFDA,故④正确，故选A (2)【解】成立，理由如下： (2)点E的位置如图①②所示 2碧【解析】如图，过点M作F∥BC,交CE于点R, 5,(1)【证明】：四边形ABCD是矩形 易知∠CAB=45,AC=2AB,∠FAG=45°，AF=√2AG ∠BCM=∠CMF AD∥BC,AD=BC ·∠CMB=∠MG,6=46=5 :CD平分∠ACB,.∠BCM=∠MCE, :CE=BC,∴AD=CE ∴.∠CAB-∠EAB=∠FEAG-∠EAB,即∠CAF=∠BAG, .∠MCE=∠CMF,.FC=FM 又，AD∥CE, :△CAF∽△BAG, ,∠ABC=90,AB=4,BC=3, .四边形ACED是平行四边形 -%=5F=5G 第9题答 -101 (3):点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点， 当肥=时，△BPQ∽△BC4, 8.B【解析】抛物线y=a+hr+e(a+0)过点(-1,0)和点 13.110心°【解析】：将△ABC绕点A逆时针旋转70得到△ADE, ∴.△AEM∽△BCE∽△ECM, ·2,=音解得1= (0,1)..a-b+e=0,c=1 AB■AD,∠BAD■T0,∠ABC=∠ADE, ∴∠AEM=∠BCE=∠ECM 当x=1时，y=ar2+hx+c=a+h+e, ∠ABD=∠ADB=55=∠ADE. 由折叠可知△ECM2△DCM, 综上所述，当△QBP与△ABC相似时，1的值是号或符 .P=a+b+e=at(a+1)+1=2a+2 .∠BDE=1I0 ∴，∠ECM=∠DCM,CE=CD 13.128【解析】根据题章，得△ABM∽△CDM :顶点在第一象限且抛物线过点(-1,0)和点(0,1). 故答案为110° .∠BCE=5∠BCD=30°. AB:CD BM:DM. .a<0,b=a+10, 14.-8【解析】设D(a,b,则C0=-a,CD=AB=b. 义：CD=AB..CE=AB, ,AB=1.6m.BM:DM=2:16, ∴.-1<a<0, :矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=(x<0)的图象上。 BE-CE-148 .1.6:CD=2:16,解得CD=12.8m .0<2a+2<2,即0<P<2故选B k=ab. 故答案为128 在Rt△BCE中， 9.B【解析】过点M作MM⊥ON于点A(图略)， ,△BCE的面积是4， 14.(1)【证明】AB=CD=136cm,OA=OC=51cm. c=GE'-E-4B-传-9a, 08=00=85cm,“8器-8%-} :OM■MN,∴.ON■2OA■2AN 六×BC·0E=4,即BC…0E=8 设M点的坐标为(a,b, 又，∠AOC=∠BOD :AB∥05，∴8瓷=8即8C~B0=ABC0, 则0A■AN■a,AM■b.ON■2a .△AOCn△BOD. 六8=b×(-),即ab=-8,k=-8 △MON的而积为8， 10.号【解析】如图，：四边形ABCD是矩形 .∠OAC=∠OBD,.AC∥BD 故答案为-8 “号×0N·MM=号×2a·b=8, 158【解析】：四边形ABCD为平行四边形. :AB DC 12 cm,AD BC 20 cm (2)【解】小红的连衣相会推落到地而 根据题意知，AE=5cm,BF=3cm 理由：知图，作OML EF于点M, .ab=8 .AD∥BC,AB∥DC,AB=CD=6,AD=BC=9, 则CF=(20-3r)cm. OE OF =34 cm,EF 32 cm :M在反比例函数y=《的图象上， +∠DEC=∠ECB,∠F=∠DCE …%-品-脂-音 ∴EM=MF=16cm. ab■k,即k■8故选B CF平分∠BCD,∴.∠ECD=∠ECB. “骆=阳 在Rt△OEM中，OM=VOE-EM 第10客图 1Q.A【解析】：△ABC是等边三角形 ∴∠DEC=∠ECD,∠F=∠ECB, V342-16=30(cm). ∴AB■BC■AC,∠BAC■∠AC■∠BCA■60P .DE=DC■6，BF=BC=9, 又：∠DAE=∠ABF=90, 过点A作AH⊥D于点H, 第14题答图 D:DC■2：1，CE:AEm2:1,∴BD■CE AE=D-DE=9-6=3,AF=BF-AB=9-6=3 .△ADE∽△BAF,∠2=∠3， 同(1)可证EF∥BD, ∴△ABDa△BCE(SAS), 在Rt△DGE中，由勾股定理得 AD∥BC,.∠3=∠4，∠2=∠4 ·∠OEM=∠ABH,则△OEMn△ABH ∠BAD=∠CBE GE=DE-DG=6-(2)=2 ∠1=∠2，∴∠1=∠4 浩-册H=o2=06=120(em. OE 34 ,∠ABE+∠EBC=60, 问理CG■2，即EC=2+2■4 ∴.DF=DA=20cm :小红的连衣裙挂在衣架上后的总长度122m>晒衣架的高 ∠ABE+∠BAD=60° :AD∥BC,△AEF∽△BCF D2=DC+CP,∴20=122+(20-3)产， 度AH=120cm, :∠AFE是AABF的外角 六能=既即= 解得1-等或1=12 “小红的连衣裙会瓶落到地面 ∴，∠AFE■60，.①正确 解得EF=2, :0≤51≤12且0≤31≤20 ∠BFD=∠AFE=∠ABD=60°，∠BDF=∠ADB, △AFE的周长为EF+MF+AE■2+3+3■8 0≤1≤号，1-等 17.阶段仿真测试（二） ∴△BDF∽△ADB,BD:AD=DF:DB 故答案为8 故答案为号 1.D2.B ∴，BD=DF·DA, 16.【解】如图，延长CB,交x轴于点E, 3.A【解析】：△ABC△DEP,AB=8cm,DE=12cm, ,C=DF·DA,②正确 在口AOBC中，∠ACB=45, L夸【每折1①当△0DE∽ABF时，财有2-柴 .△ABC与△DEF的相似比为AB:DE=8:12=2:3. :∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB=∠FEA, .OA∥BC,OA=BC,∠AOB=45 “=02解得1=0（舍去5= 故选A ∴△AFEn△BAE,AF:AB■AE:BE :点A在y轴上 ②当△0DEn△AFE时，则有架= 4.D ,AF·BE=AE·AB, CE⊥x轴， 5A【解析】：反比例函数y=一2的图象位于第二四象限 ∴AF·BE=AE·AC,∴③正确 六10z=2解得1=0（舍去人5=6 ,∠B0E=45 故远A ∴BE=OE 第16题答 ,当点E运动到点A时，三点随之停止运动， 一次函数y=2x的图象过第一三象限，∴，两图象没有交点 11.(332)【解析】：以原点0为位似中心，位似比为1：3. 0≤31≤12,0≤1≤4 故选A 设B(m,m) 将△ABC放大为△DEF, 6>4,1■6不合题意，合去 6.A【解析】：∠ADC=110°，∠ABC■70， ∴点F的坐标为(1×3，√2x3),即F(3,3反) :反比例函数y=(x>0)的图象经过口AOBC的顶点B, 棕上所述，1的值为当 ∠AOC=2∠ABC=140 故答案为3,3互) m=4.∴m=2或m=-2(舍去)， 故答案为当 A0∥CD,∠AOC+∠OCD=180 B(2,2). .∠0CD=40,故选A 12.3【解析】k=6,-1×6=-6+6,×12=6,2×(-3) 设OA=n,则BC=n, 12.【解】由题意，知AB=12cm,BC=9cm.AP=4#cm,BQ= 7,B【解析】：∠ACD=∠B,∠A=∠A, =-646,-3×(-2)=6, A(0,n).C(2,+2) 2Icm,则BP=(124r)cm ·N,F两个点在反比例函数y=的图象上， ,点D是AC的中点，D(1,+1) 当既-器时，△BPQn△BMC 40ac.8器-(2-号 放所取的点在反比例函数y=的图象上的概率是子=支 :点D在反比例函数y=4(x>0)的图象上 告电=音，解得1=号 Sc1Samc4,SAnc-Sau-Sacn3 成选B 故答案为 .1×(n+1)=4,.n=3,.C(2,5). 102