6.重难题型卷(三)旋转-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（人教版）山西专版

真题圈数学 4.如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),C(3,0) 8.(期中·22-23忻州原平实验)如图，平行四边形ABCD绕点 刷步仿真卷（上） 九年板R心3B (1)①画出线段AC关于y轴对称的线段AB: A逆时针旋转30°，得到平行四边形ABCD(点B与点B是 6.重难题型卷（三）】 ②将线段CA绕点C顺时针旋转一定角度，得到对应线段 对应点，点C与点C是对应点，点D与点D是对应点)，点B 旋转 CD,使得AD∥x轴，请在网格图中画出线段CD. 恰好落在BC边上，BC与CD交于点E,则∠CEB'= (2)若直线y=:平分(1)中四边形ABCD的面积，请直接 题型一 网格图中的旋转图形 写出实数k的值 1.下列3×3的方格中，阴影部分是中心对称图形的是( 第8题图 第9题图 A B C D 2.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格 第4题图 9.(期中·21-22运城)如图，在Rt△ABC中，∠A=50°，将 Rt△ABC绕点B顺时针旋转，使点C落在斜边AB上的点D 点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方 题型二利用旋转的性质求角度 处，连接EA,则∠AED=」 形（简称格点正方形）.若再作一个格点正方形，并 5.(期中·20-21忻州)有两个直角三角形纸板，一个含45° 10.(开学考·22-23大同六中)如图①所示，将一个边长为2的 涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组 角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸 正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一 成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则第2题图 板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使 起，构成一个大的长方形ABEF现将小长方形CEFD绕点C 这个格点正方形的作法共有() BC∥DE,如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为() 顺时针旋转至四边形CEFD,旋转角为a A.2种 B.3种 A.159 B.30° C.45° D.60 (1)当点D恰好落在EF边上时，求旋转角a的值 C.4种 D.5种 (2)如图②，G为BC的中点，且0°<a<90°，求证：GD=ED 3.(期中·22-23大同)如图，已知△ABC在直角坐标平面内， (3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中， 三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-2,1),C(1,1)(正方 △DCD与△CBD能否全等？若能，直接写出旋转角a的值； 形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度). 若不能，请说明理由 (1)△A,B,C是△ABC绕点 逆时针旋转 得到的，B的坐标是 第5题图 第6题图 (2)小亮想以△ABC为基本图案，设计一个美丽的图案： 6.如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,以点B为旋转中心， ①以点C为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90得到△A,B,C; 取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转，得到△BA'E, ②以点C为对称中心，画出与△ABC关于点C对称的△A,B,C 连接DA',若∠ADC=60°，∠ADA'=50°，则∠DAE的大小 请你替小亮在图中画出△A,B,C和△A,B,C 为() A.130° B.150 C.160 D.1709 第10题图 7.(期末·21-22运城三校联考)如图，将△ABC绕点A按逆 时针方向旋转110得到△ABC,连接BB',若AC∥BB,则 ∠CAB的度数为 第3题图 第7题图 -17 题型三利用旋转的性质求线段长 求线段AD的长度」 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再 11.(期中·22-23大同一中)如图，在△AOB中，A0=2,BO 通过证明两三角形全等，从而探究出AM,MN,BN三条线段 =AB=3.将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°，得到 之间的数量关系， △AOB,连接AA,BB,则线段BB的长为() 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： A.3V2 B.22 如图②，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四 C.2 D.3 边形ACBD,∠ACD=45°，以D点为顶点作∠MDN,交边 2 4AC,BC于点M,N,ZMDN-)∠ADB,连接MN 第16题图 (1)先猜想AM,MN,BN三条线段之间的数量关系，再证明. (2)∠MDN绕点D旋转，当M,N分别在CA,BC的延长线上， 完成图③，其余条件不变，直接写出AM,MN,BN三条线段 第11题图 第12题图 17.(月考·20-21太原志达中学改编)如图，在△ABC中，∠C 之间的数量关系 12.（开学考·22-23大同六中)如图，在△ABC中，AB=V6, =90°，BC=3,AC=5,点D为线段AC上一动点，将线段 AC=√3，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60 BD绕点D逆时针旋转9O°，点B的对应点为E,连接AE,求 得到△AB,C,连接BC,则BC的长为() 线段AE长的最小值， A.3 B.2W5 C.2W2 D.4 13.(期末·21-22太原)如图，已知在△ABC中，AB=AC= 第19题图 5,BC=2W5,将线段AC绕点C顺时针旋转，点A的对应点 为D,当∠ACD=90时，连接BD,则线段BD的长为 第17题图 请对慧慧同学所编制的问题进行解答 第13题图 第14题图 题型四旋转问题中的半角模型 14.如图，将直角边长为5cm的等腰直角三角形ABC绕点A逆 18.(期中·21-22大同改编)如图，已知正方形 时针旋转15°后，得到△ABC',则图中阴影部分的面积是 ABCD的边长为3，点E,F分别是AB,BC cm2. 边上的点，且∠EDF=45°，将△ADE绕点 15.(期中·22-23大同)如图，在△ABC中，∠A D逆时针旋转90°得到△CDM.若AE=1, 第18题图 =45,点D是边AB的中点，将线段AD绕 则MF的长为() 点D顺时针旋转90°后，点A的对应点E A.2 B.2W2 c D.2√5 恰好落在AC边上，连接DE,CD.若AD= 19.(期中·22-23大同一中)综合与实践 √2，CE=1,则BC的长为 第15题图 在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图①， 16.把一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板按如图① 把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形 放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°， ACBD,∠ACD=30,以D点为顶点作∠MDN,交边AC, 斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE绕着点C顺时针旋 BC于点M,N,∠MDN=60°，连接MN 转15°得到△DCE(如图②)，此时AB与CD,交于点O, 探究AM,MN,BN三条线段之间的数量关系 一18一∴班所在直线的解新式为y=9。号 :四边形ACD为正方形， ∠OCE=∠A, ∠ABB=(180°-110)=35 .∠B■∠BAD=90,AB=BC■AD■6 在△OCE和△OAD中. OC-OA. 放答案为y-5x号 ∠COE=∠AOD. :AC∥BB,∠CAB=∠ABB=35P :∠DGE=∠BAD=90 ∴△OCE≌△OAD(ASA).∴CE=AD .∠CAB=∠CAC-∠CAB=110-35=75 16.【解】：把△ABC绕着点A颗时针旋转，∴AE=AC,∠B4C .GH∥AB 故答案为75°. =∠DAE=30° 'ME=CE,EH∥BM (3)CD+AC=CE. 8.45【解析】，平行四边形A5CD绕点A逆时针旋转30°，得 :点B与CA的延长线上的点D重合，∴∠CAE■150 BH=CH=BC=3. 到平行四边形ABCD,点B恰好落在BC边上，BC与CD交 又AC=AE,∴∠AEC=∠ACE=号(I80°-∠CAE)= 6.重难题型卷（三）旋转 EH为△BCM的中位线， 于点E,.∠BAB■30，AB■AB,∠B=∠ABC (180°-150°）=15°. 第22答图 1.c “EH=3BM=1 ∠B=∠ABB=∠ABC=75,∠C=105 2.C【解析】如图所示，组成的图形既是轴对称图形，又是中心 17.【解】旋转后的三角形如图所示 ∠B=∠BAG=∠AGH=90, .∠EBC=18-∠ABB-∠AB'C=180r-75-75=30r 对称图形，则这个格点正方形的作法其有4种，放选C ,四边形ABHG为矩形，，GH=AB=6,AG=BH=3。 .∠CEB=180-∠C-∠EBC=180°-105°-30P=45° .GE=GH-EH=6-1=5, 故答案为45° ,AE=√AG2+GE=√3+5=√34 2.20°【解析】将Rt△AC绕点B顺时针掩转，使点C落在 (2)【证明】由旋转得AE=EF,由(1)知AG=3, 斜边AB上的点D处， 第17题答图 DG=AD-AG=3,∴AG=DG .∠BDE■∠C■90°，∠BAC■∠DEB■50，AB■EB 18【解】：△ABC经过旋转后到达△DBE的位置，∠CBE 又，EG⊥AD.∴EG垂直平分AD.,DE=AE,,DE=EE ,.∠ABE=90-∠DEB=40 60,∴.旋转中心为点B,暖时针旋转60或逆时针旋转300 (3)I解】，DE=AE.DE=EF,,∠1=∠2.∠EDF=∠4 ∴∠BAE=∠BEA=(180P-∠ABE)+2=70° 第2容图 第3题容图 19.【解】(1)△ABC,如图所示. 在四边形AEFD中，∠AEF+∠2+∠1+∠EDF+∠4=360° .∠AED=∠BE-∠DEB=70°-50°=20 3.【解1(1)C90(1.-2) (2)△A,B,G如图所示 六.90°+2（∠1+∠EDF)■360°，∴∠1+∠EDF=135 故答案为20 (2)如图所示，△A,B,C和△A,B,C即为所求 :∠ADC=90, 0.(1)【解】长方形CD绕点C颗时针旋转至四边形CEP产D 4.【解】(1)①线段AB如图所示 ∠CDF=(∠1+∠EDF)-∠ADC=135°-90=45 CD'=CD=2. 如图，作CF⊥DF交DF的延长线于F,,∠CDF=45, 在Rt△CED中，CD=2,CE=1,六∠CDE=30 ,点F在DF上运动时，根据垂线段最短知，CF的最小值即 CD∥EF,∴.∠a=30° 为CF的长 (2)【证明1：G为BC的中点，.CG=1..CG=CE 在Rt△CDF中，∠DCF=∠CDF=45°，∴CFr=DF :长方形CEFD绕点C顺时针旋转至四边形CEFD CF24DP1=CD=36,∴CF=3互 .∠DCE=∠DCE=90°，CE=CE=CG, 第4题容图 ∴∠CDF的度数为45°，CF的最小值为32 2②线段CD如图所示 .∠GCD=∠DCE=90°+a 第19答图 23.【解】(1)如图①，四边形CDOE是正方形，理由如下： (2)k-手提示：点4(0,4，点C(3,0, CD =CD, (3)S4=4 ,点D是AC的中点 在△GCD和△ECD中，{∠GCD=∠ECD CG-CE, 20.【解】：AC▣AC, CD =4C :平行网边形8CD的中心坐标为侵2小 代人y=:,得号k=2,解得k=手 .△GCD≌△ECD(SAS,∴.GD=BD .∠ACC=∠ACC=180-∠ACB=180°-118=62 又，点O是AB的中点 (3)【解】能，此时a=135或315° 由旋转可得∠ACB=∠ACB=118°， ·OD∥BC,OD=3BC 第23题答断① 5B【解析】如图，设AD与BC交于点F 提示：，四边形ABCD为正方形，.CB=CD ∠BCB=∠ACB-∠ACC=118°-62°=56 .∠CD0+∠C=180 :BC∥DE, :CD■CD,:.△CD与△DCD'为版相等的两等题三角 21.【解】(1)AD⊥BD 又，∠DCE=90r,∠CD0=90 ∴，∠CFA=∠D=90 形，当∠BCD=∠DCD时.△BCD≌△DCD,当△BCD与 里由如下：，∠ACB=∠DCE=90 ∴.∠CDO■∠DCE■∠MON■90P..四边形CDOE是矩形 ∠CFA=∠B+∠BAD=6r+∠BAD. ∠ACB,∠BCD■∠DCE+∠BCD,即∠ACD■∠BCE :AC=BC,,CD=OD.,四边形CDOE是正方形 ∴.∠BAD=30 △DCD为纯角三角形时，则旋转角a=360,90.1350, AC=BC, 在△ACD和△BCE中， (2)CE =AD. 故选B 第5圈答图 当△BCD'与△DCD'为锐角三角形时，∠BCD'=∠DCD= ∠ACD=∠BCE CDCE. 证明如下：如图②，连接0C, 6.C【解析】，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60, ∠8CD=45,则a=360°.9=315，即旋转角a的值 .△ACD≌△BCE(SAS).,∠ADC=∠BEC=4S :AC=BC,∠ACB▣90°，·∠A=∠B▣45 ∠ABC=60,∠DCB=120 为135或315时，△DCD与△CBD全等 ∴，∠ADE=∠ADC+∠CDE=O,∴.AD⊥BD. 又：点O是B的中点，·LAC0=∠BC0=号∠4CB= ∠ADM"=50,∠DC=10,∴，∠DAB=130 L.A【解析】：将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90 (2)由(1)得∠ADB=90,△ACD≌△BCE,AD=BE 45°，OC1AB,OC=0A■0B, AE⊥BC于点E,∴.∠BAE■30° .B0=BO=3,∠BOB=90, :∠DCE=90,CD=CE=V2.∴DE=2 .∠A=∠BC0=45° :△BAE绕点B糕时针旋转得到△B术E, .BB=√B0+B0=9+9=3、2,故选A 设BD=x,期AD=BE=x+2 ∠A0C=90 :∠BAE=∠BAE=30, 12.A【解析】：将△A6C绕点A逆时针旋转60得到△AB,C 由勾股定理.得AD+BD=AB,即(x+2)2+x2=(25)只 .∠AOD+∠COD=90 ∴·∠DAE=∠Df'B+∠BAE=160.故达C AB=V6,AC=V5,·∠CAC=60,AC=AC=5 解得x=2,花，=-4（不合题意，含去，：AD=x42=4 :∠E0D=90r, 第23题容图2 7.75°【解析】：将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110得到 ∠BAC=30°，.∠B4C■30+60°=90 22(1)V34【解析】如图，作EG⊥AD于点G,延长GE交C于 .∠COD+∠COE=90..∠COE=∠AOD. △ABC,.∠BAB=∠CAC=110°，AB=AB, 在R1△BAC,中，由勾股定理，得 8C,=√AB+4C=√W6+W3=3,故进A 逆时针旋转90P得到△ADE,同更可证MDE≌△MDN(SAS), “x=-或x= 13.√5【解析】过点A作AE1BC于点E,过点D作DF⊥BC, .MV ME..BN-AM MN. 故答案为x=一-或x=} 与BC的延长线交于点F,如图 12.-1【解析】由题意得a-1+2=0,-2b-1+3=0. AB=AC, 解得a=-1,b■1， ·BE=CE=号BC=5, ∴.2a+b=2×(-1)+1■-1.放容案为-L ·AE=VAB-BE 第16延答图 第17题容图 13.24【解析】由图象经过点(3，上，(9，y)可得.对称轴为直线 =52-5=2、5 第13题答图 17.【解】如图，作EH⊥AC于点H.设CD=x,则AD=5-x =学=6，-品=高=6，解得6=24 由旋转的性质，得CD=AC=5 由旋转的性质可知BD■DE 故答案为24 ∠ACD=90°，六∠ACB+∠DCF=90 :∠ADE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90 第19题容图 14.√反+√6【解析】如图，连接AC:正方形的边长为2， ,∠ACB+∠CAE=90,∴.∠CAE=∠DCF .∠ADE=∠CBD 六由勾股定理可得AC=22,DB ∠AEC=∠CFD=90 又，∠EHD=∠C,∴△BCD9△DHE, 7.阶段仿真测试（一） 在△ACE和△CDF中， =22.∠DyAB=90 ∠CAE-∠DCF. .EH CD=x,DH BC =3. 1.B2A3B4.D AC=CD. 过点A作AE⊥DC于点E 'AD =5-x,.AH AD-DH =5-x-3=2-x 5.D【解析】由题意可得二次函数y=r+2m+e图象的对称轴 .△ACEa△CDF(AAS. 期点E为DB的中点。 在Rt△AEH中，AP=AP+EP=(2-x)+x2=224r+4 ∴AE=CF=2W5,DF=CE=5, 为直线x=一岩-上故选D =2(x-1)242. ∴DE=BE=Dm■2. ∴.D=√F+DF=V45+(W5の=8厨 6.A【解析】依题意得旋转角∠CA=40 AE=IDB=2 第14题答 .当x■1时，A取得最小值2，即线段AE长的最小值为√反 故答案为√5 :AC⊥B,.∠A=90°-40°=50°， 1&C【解析】，△DAE绕点D逆时针旋转得到△DCM 在1△EAC中，由勾股定理可得EC=√后， 14【解析】~等腰直角三角形8C绕点A递时针旋转 由旋转前后对应角相等，得∠BAC=∠A=5心，故选A ∴.∠FCM=∠CD+∠DCM=18r, 则DC=DyE+EC=√互+√6 7.A 15°后得到△ABC,.∠CMC=15. ,F,C,M三点共线，DE=DM.∠EDM=90, 故容案为√互◆后 ∴.∠CAB=∠CAB-∠CAC=45°-I5 .∠EDF+∠FDM=9r 8.A【解析】抛物线y=x+x+c与x轴的两个交点间的距离 15.)≤a≤3【解析】：正方形ABCD的顶点A,B,C的坐标 =3P,AC'=AC=5cm :∠EDF=45°，.∠FDM=LEDF=45 为4，对称轴为直线x=2,∴抛物线y=x+x+c与x轴的两 D>B 分别为(1,1).(1,3).(3,3)..D(3.1) 如图，在R:△ACD中， [DE DM. 个交点的坐标分别为2+号0和2-号0.即(4.0)和(0.0) 8 在△DEF和△DMF中，《∠EDF=∠MDF 当抛物线经过点B(1,3)时，a=3: 设CD的长为xcm,则AD=2xcm 第14题容图 代人抛物线解析式可得c■0，b■一4， DF DF, 当抛物线经过点D(3,1)时.a=号 5+r=(2x只，解得x-5 ∴抛物线的解析式为y=x4x=(-2)24, △DEF≌△DMF,EF=MR ∴.顶点P的坐标为(2，-4)， 观察图象可知。≤a≤3故答案为。≤a≤3 阴影都分的面积=号×5×多5=2(em) 设EF=MF=x:AE=CM=I,且BC=3, 二，点P关于x轴的对称点的坐标是(2,4).故选A 16【解】(1)x2-2x=5,∴，x2-2x+1=5+1.,(x-1)2=6 放答案为255 BM=BC+CM=3+1 =4,.BF BM-MF 4-x. 9.C【解析】如图，由三角板DEB绕点B逆时针旋转4S得到 EB=AB-AE=3-=2. -1=±6，x=6+1,x=-6+1 15.V5【解析】，D是AB的中点，AB=2AD=2反. △D'E"B,可设DE与直线 D (2)2x2-5x+1=0,∴.a=2,b=-5,c=1, ∴.在Rt△EBF中，由勾股定理得EB4BF=EF, AD绕点D颗时针旋转90后，点A的对应点E恰好落在AC AB交于点M,则∠EBE▣45 M)A 即24(4x)2=元，解得x=多，÷F=多故选C .b4xe=(-5)24×2×1=17, 边上，.△ADE是等腰直角三角形，.AE=2,∠A=45 ∠E=∠DEB=90P 19【解】(I)W=AM4BN.证明：，把两个全等的直角三角板 x=±匝_达亚 ∠DEB=9,∠D=30, 2×2 4 连接BE(图略)入：AD■BD=DE ∠A=∠AED,∠DEB=∠DBE 的斜边重合，组成一个四边形ACBD,∠ACD=4S°， BD=10, “x=匝，x=匝 4 4 ,∠A+∠AD+∠DEB+∠DBE=2(∠AED+∠DEB)=I80, .∠A=∠B=90°，∠ACD=∠BCD=45°，AC=BC,AD .BE=5, (3)4(2r-3)2=(3-1)3, ∴.∠AEB=∠AED+∠DEB=9O =BD,∠A=∠B=∠ACB=90, BE'=BE =5, 第9答图 4(2x-3)3(3x-1)P■0， 在Rt△ABE中，BE=√AB-AE=2 :四边形ACBD是正方形，，∠ADB=90 ∴BM=5N2 .[2(2x-3)+(3x-1月[2(2x-3)-(3x-1月=0， 在R△BEC中，由勾胶定理得BC=√BE+CE2=V5】 '∠MDN=5∠ADB,.∠MDN=45, 又∠ABC=90,∠BAC=45,AC=10,AB=52 .(4r-6+3x-1)(4x6-3x41)=0, 放答案为5 ∠ADM+∠BDN=45°=∠MDN,如图①，将△BDW绕点 ∴，BM=AB: (7x-7)(x5)=0, 16.【解】如图所示，，∠3=15°，∠E,=90 D逆时针旋转90得到△ADE,.∠B=∠DAE=90°，AE= ,点A与点M重合，点A在△DYEB的边DE上.故选C 7x-7=0或x-5=0,“x=1,x2=5 .∠1=∠2=75° BN,DN=DE,∠BDN=∠ADE, 10.D【解析】由抛物线y=x24+5=(x-2)241知，抛物线顶 17.【证明】AB=C,∴∠A=∠C 又：∠B■45，∴.∠0FE=∠B+∠1=45+75=120° ,∠DAE+∠DAC=I8O9.∠AMDE=∠ADM4∠ADE= 点的坐标是(2,1)，点C的坐标为0,5)，∴.该抛物线关于点C :△ABC,是由△ABC绕顶点B逆时针旋转而得 .∠DF0=60° ∠ADM+∠BDN=∠MDN=45 成中心对称的抛物线的顶点坐标是(-2,9)，∴该抛物线关于 ∠A=∠A,=∠C,∠A,BD=∠CBC,AB=A,B=BC ∠CDE,=30,.∠4=90 点E,A,M三点共线 点C成中心对称的抛物线的解析式为y=-(x+2)+9=-2 EC-∠A 又：AC=BC,AB=6.OA=0B=3 在△MDE和△MDN中，MD=MD,∠MDE=∠MDN,DE 4x45.故选D. 在△BCF和△BAD中，{BC=B4, ∠ACB=90,C0=3A8=7×6=3 =DN,.△MDE△MDN(sAS),MN=ME, 1.x=-或x=号【解折】3x(2x+1)=2+1, LCBF=∠ABD, 又CD,=7,0D,=CD,0C=7-3=4 MN ME AM+AE AM+BN. 移项，得3x(2x+1)-(2x+1)=0, ,△BCF≌△BA,D(ASA). 在R△AD,0中，AD,=VO+OD=V+4=5 (2)如图②，BN-AM=MN提示：如图②，将△BDN绕点D 因式分解，得(2x+1)(3x-1)=0,即2x+1=0或3x-1=0, 8.【解】(1)如图，△A,BC,即为所求