4.重难题型卷(二)二次函数-【真题圈】2024-2025学年九年级全册数学练考试卷（人教版）山西专版

真题圈敛学 其中正确的个数是( ) (1)求桥拱所在抛物线的解析式 刷步仿真卷（上） 九年板心3B A.1 B.2 C.3 D.4 (2)问桥拱最高点到水面的距离是多少米？ 4.重难题型卷（二） 题型二实际应用 深 二次函数 6.(期中·22-23大同一中)如图，某公司准备在一个等腰直角 题型一 图象与系数的关系 三角形ABC的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBW,其中 1.已知抛物线y=(m+1)x2+x的开口向上，则m的取值范围 点P在AC上，点N,M分别在BC,AB上，记PM=x,PN= 是() y,图中阴影部分的面积为S,若NP在一定范围内变化，则y A.m>1 B.m<1 C.m>-1 D.m<-1 与x,S与x满足的函数关系分别是( 2.(联考·22-23临汾尧都区)已知抛物线y=ar2+2ar-3(a A.一次函数关系，一次函数关系 9.(期中·20-21吕梁)丑八怪是一种杂柑水果，水果经销商王 为常数，且a0)与x轴交于A(m,0),B(n,0)两点（点A在点 B.二次函数关系，一次函数关系 经理以10元kg的价格购进6000kg丑八怪，王经理将其放 B的左侧)，下列关于该抛物线的描述中，说法正确的是() C.二次函数关系，二次函数关系 D.一次函数关系，二次函数关系 在冷库中并收集到以下信息： A.该抛物线的开口向下 第6题图 7.(期中·22-23大同)如图，某小区在足够大的空地上利用旧 ①该水果市场价格每天每千克上涨0.1元： B.m+n=-2 ②平均每天有10kg水果损坏不能出售； C.点B在x轴的正半轴 墙N和栏杆围成一个矩形区域ABCD,已知墙长20m(即 MN=20m,AD≤MN,矩形区域的一边靠墙，另三边共用 ③冷库放这些水果每天需支付各种费用共240元： D.当x>-1时，函数y随x的增大而增大 ④水果在冷库中最多放110天. 3.（月考·22-23大同一中)已知二次函数y= 了100m长的栏杆，请你求出矩形区域ABCD面积的最大值 (1)若王经理想将这批水果存放x天后一次性出售，则x天 ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正 后这批水果的销售单价为元，这批水果的销售量是 确的有( kg. ①abc<0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0； (2)王经理将这批水果存放多少天后一次性出售所得的销售 ④a+b≥m(am+b)(其中，m为任意实数)： 第7题图 总金额为100000元？ ⑤(a+c)2<b. 第3题图 (3)若想在这批水果一次性出售后获得最大利润，则应存放多 A.2个 B.3个 C.4个金 D.5个 少天？最大利润是多少？ 4.已知二次函数y=ar2+br+c+2的图象如图所示，顶点坐标 为(-1,0)，下列结论：①abc>0:②b2-4ac =0;③a>2;④ar2+bx+c=-2的根为x 8.(期中·21-22吕梁离石区)如图①所示，漪汾桥是太原市首 =名=-1：⑤若点(y小c(24为 座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线型，桥拱如 长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一，如图 函数图象上的两点，则yy?其中正确的个数 第4题图 ②所示，若单个桥拱在桥面上的跨度OA=60m,在水面的 是() 跨度BC=80m,桥面距水面的垂直距离OE=7m,以桥面 A.2 B.3 C.4 D.5 所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系 5.(期中·20-21大同)抛物线y=ar2+bx+c(a 图 ≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个 鼠 交点在(-3,0)和(4,0)之间，其部分图象如 图所示，则下列结论：①3a-c<0;②abc<0; 付2可o 第5题图 ③诺点（号小(4小(）是该抛物 目用用目目用用用用用目用用用用用用 ① 线上的点，则y,y,y:④4a-2b≥a+bt(1为实数). 第8题图 一11一 题型三二次函数与几何综合 (2)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA,PD 14.（中考·2021山西节选)综合与探究 类型1二次函数中的特殊三角形 求当△PAD的面积最大时点P的坐标及该面积的最大值 如图，抛物线y=+2-6与x轴交于A,B两点（点A在 10.(模考·2022山大臀中节选)如图，抛物线y=-君+x+ 点B的左侧)，与y轴交于点C,连接AC,BC 3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C, A (1)求A,B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数 70 抛物线的对称轴为1与x轴交于点D. 解析式. 第12题图 (备用图) (1)求A,B,C三点的坐标 (2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作 (2)若点M是直线1上的动点，当△ACM是以AC为直角 BC的平行线1，交线段AC于点D. 边的直角三角形时，求点M的坐标， 试探究：在直线I上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为 顶点的四边形为菱形？若存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由。 A0D云 第10题图 类型3二次函数中的特殊四边形 13.(模考·2022吕梁孝义三模节选)综合与探究 如图，抛物线y=-号+号x44与x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C.点M是y轴右侧抛物线上一动点，过点M作 AC的平行线，交直线BC于点D,交x轴于点E. 第14题图 (1)求点A,B,C的坐标及直线BC的解析式 (2)试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A,C,E,M, 精品 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐 金星软停 标：若不存在，请说明理由 第13题图 (备用图) 类型2面积问题 1山，如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 经过平移得到抛物线)=2-2x,平移后抛 物线的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部 分的面积为() 第1山题图 A.2 B.4 C.8 D.16 12.(模考·2022太原师院附中节选)如图，抛物线y=a2+ br+3与x轴交于A(-2,0),B(6,0两点，与y轴交于点C.直 线1与抛物线交于A,D两点，点D的坐标为(4，n） (1)求抛物线的解析式与直线1的解析式. 一12一21.(1)y=x2-3x-4 .点D的坐标为(-25,25-6)， x>-1时，函数y随x的增大而减小，故原说法不正确，不符合 (100-2x)m, (2)4和-1互为相反数 ∴点E的坐标为(2-25,251. 题意.故选B. 根据题意，得y■x(100-2x)■-2x24100x■-2(x25)41250 【解析】二次函数y=+3x-4的亲密函数为y=x3红-4 综上所述，存在点E,使得以D,C,B,E为顶点的四边形为菱形。 3.D【解析】，抛物线开口向下，a<0.:抛物线的对称轴为 x>0 令x2-3x-4=0,解得x=4或x=-1, 且点E的坐标为(-6，-8)或(2-25,25). 直线x=1,.-名=1,6=-2a>0,即2a4b=0,放②正确 由题意.知100-2x>0,解得40≤x<50 ,抛物线y=2-3x-4与x轴交点横坐标为4和-1 100-2x≤20. ,抛物线与y轴的交点在x轴上方，c>0,∴abc<0,故①正确 ”抛物线y=m4cc的对轴为直线x=一名少=m心4 -2<0,.当40≤x<50时，y随x的增大而诚小，.当x= 当x=0时，y>0,抛物线的对称轴为直线x=1,.当x= 40时，y有最大值，最大值为-2×(40-25)41250=800 如0的亲密函数y=a一红c的对称装为直线工=名， 2时，y■4a+2h+c>0,放③正确 答：矩形区城ABCD面积的最大值为800m2 ,y=a+br+c与其亲密函数图象关于y轴对称， 当x=1时，y取得最大值，.a+b+c≥am+bm+c,.a4 8【第】(1)设抛物线的解析式为y=2+r ∴·两图象与x轴交点的横坐标互为相反数 b≥m(am+b),故④正确 由题意可得.点B的坐标为-10.-71，顶点的横坐标为30 (3)【解】-号和22.提示：y=+x-203的图象与 由图象可知当x=-1时，y=ab+c<0.当x=1时，y=a+b+ [100a-10b=-7, 第23题答图 c0.(a-be)(a+b+e）=(ae-0,.(ae)2<,故6①正确 20 x轴交点的横坐标为1和-2023，∴.y■x2-b-2023与x轴 ②30.提示：如图③，：抛物线y=+2x-6的对称轴 故选D, 交点的横坐标为-1和2023.y=4r2-2bx-2023=(2x)2 即桥拱所在抛物线的解析式是y=-0.01x+0.6 b2x-2023,∴2x=-1和2x=2023时.4-2b-2023=0. 是直线x=-2 4.C【解析】①油抛物线开口向上可知a>0: =-2, (2)y=-0.01x406x=-0.01(x-30)249, × 即-号和202贮是图象与x轴交点的横坐标 由对称轴可知-会<0.b>0: ,当x=30时，y取得最大值9 直线AC的表达式是y=-x-6, 由抛物线与y轴的交点可知c+2>2,∴c>0.:abc0,故①正确 :9+7=16(m).∴桥拱最高点到水面的距离是16m 22.【解】(1)把点A的坐标代人二次函数y=a2+2x3,得a=1, .点N的坐标为(-2，-4)， ②：抛物线与x轴只有个交点，4=0， 9.(1)(10+0.1x)(6000-10x)【解析】因为水果的市场价格每 .二次函数的解析式为y■x+2x43 设点D的坐标为(m,-m-6)(6<<0】 ÷b24a(c+2)■0，即-4ac■8a>0.放②错误 天每千克上涨0.1元 (2)①当两=1时，n=6 :直线DM∥直线BC,直线BC的表达 3令x=-1,则y=a-b+c+2=0. 所以x天后这批水果的销售单价为10+0.1x)元 ②：点B到y轴的距离小于3，∴刷<3，-3<m<3 式是y=3x-6, ”-会=-1，db=2a.a-2a*c+2=0.a=c+2 因为平均每天有10kg的水果损坏， y=2+2x+3=(x+1)2+2,2≤<18 :.设直线DM的表达式为y=3x+6 第23题客图③ c+2>2,·a>2.故③正确 所以x天后这批水果的销售量是(6000-10x)kg (3):M是OP的中点，设点P的坐标为(L.P+2+3), 把点D的坐标代人直线DM的表达式得 ④由题图可知ar2+bx+c+2=0的根为x,=马=-1， 故容案为(1040.1x),(6000-10x). 六点M的坐标为经，) b=-4m-6,即y=3x-4m-6 2 ·a㎡+bx+c=-2的根为x=无=-1，故④正确。 (2)【解】由题意得K10+0.1x)(6000-10x)=100000. 把x=-2代入得y=-4m-2, 设号=x,1=2红，设y=+2+ ⑤：-1<-号<-子·之y故的正确.故选C 整理得x2-500x440000■0， 2 即点M的坐标为(-2，-4m-12), 5.C【解析】①：抛物线的对称轴为直线x=-2, 解得x=100,无=400（不合题意，舍去. y=±23=2+2x2+3=2+2+}点M所 .MN=-4m-12-(-4)=4m-8 2 六-名=-2，即6=4如 所以王经理将这批水果存放1侧天后，一次性出售所得的销售 组皮的南线是抛物线，该曲线与)输的交点坐标是(0引 作DE⊥MN于点E,则DE=-2-m 当x=-1时，y>0,a4a4c>0, 总金额为100000元。 88c=3·0A0C=3x6x6=18, (3)【解】设利润为w,由题意得w■(10+0.1x)(6000-10x)- 23.【解】(1)当y=0时，号x+2x-6=0,解得x,=-6,为=2 c-3a>0,即3a-c<0.故①正确 ·当S6Ac=SApa时 ②由题图可知a<0,.b<0. 240x-6000×10=-x2+260x=-(x-1302+16900(x≤110) 点A在点B的左侧， Sam=号·hWN,DE=3(-4m-8)(-2-m)=18. :当x=-4时，y<0,由对称性可知，当x=0时，y<0, 因为a=-1<0,所以抛物线开口向下，则当x=110时，w大 ∴点A的坐标为(-6,0)，点B的坐标为(2,0) 解得m,=1,m2=-5 c<0,∴abce<0,故②正确 =16500.故存效10天后出售这批水果可获得最大利润，最 当x=0时，y=-6,点C的坐标为0，-6) :6<m<0,“m=-5 大利涧为16500元. 直线AC的函数表达式为y■-x6 ③：点（是以（多）（之5在抛物线上，对称销为直 ,点D的坐标为(-5，-1，点M的坐标为(-2,8)， 线x=2“司关于直线x=2对称的点州-子】 0.【解(1当y=0时，-是+}x43=0,解得x=-2,x=4, 直线BC的函数表达式为y=3x-6 DE■3，ME=9, (2)①存在.理由： .A(-2,0,B(4.0).当x=0时，y=3,.C(0,3) .在Rt△DEM中，DM=√DE+ME=V3+9=3可 “0,号-子<-身六g列放③情误 设点D的坐标为(m,-m-6),其中-6<m<0 ④当x=-2时，函数y=ar2+bx+c有最大值，最大值为y (2)抛物线的对称轴1：x■ ■1，分两种情 点B,点C的坐标分别为(2.0)，(0，-6). 4.重难题型卷（二）二次函数 2×一8 4a-2b+c,.4a-2b+c≥af+bi+e,即4a-2b≥a+bN,故④正确 .BD=(m-2)+(m+6),BC■22+6=40 况讨论： DC m+m =2m L.C【解析】根据题意，：抛物线y■(m+1)+x的开口向上， 故选C D当∠CAM=90时， :DE∥BC,∴当DE=BC时 m+1>0,.m>-1.故选C. 6.D【解析】设AB=m(m为常数)，在△AMP中，∠A=45 2,B【解析】A项，由于无法确定a的符号，所以不能判定抛物线 AM⊥PM,.△AMP为等腰直角三角形，∴AM=PM ∠CAO+∠DAM=90, 以D,C,B,E为顶点的四边形是平行四边形 四边形PMBN是矩形，PW=BM,.+y=P4PW= 又∠CAO+∠AC0=90】 如图①，当BD=BC时，口BDEC是菱形 的开口方向，故原说法不正确，不符合题意.B项，令ax2+2a-3 AM4BM■AB■m,即y■-+m,y与x成一次函数关系 ∴∠DAM=∠OCA 六(m-2)+(m+6)2=40.解得m,=-4,m,=0(舍去)， =0,由根与系致的关系知m+n=-延=-2，故原说法正确， 又，AD=C0=3,∠ADM= 第10题答图 点D的坐标为(4，-2)，∴点E的坐标为(-6.-8)， 符合题意，C项，无法判定点B在x轴上的位置，故原说法不正 5=5a-5w=m-y=m2-x(-4m）=之 ∠COA=90. 如图②，当CD■BC时，口CBED是菱形， 确，不符合题意D项，由地物线的对称轴为直线x=一=- +号m2,,S与x成二次函数关系.故选D .△ADM≌△COA,.DM=A0=2,M(1,-2) .2m2=40.解得m,=-2V5,m=2N5(舍去)， 知，当a>0且x>-1时，函数y随x的增大而增大：当<0且 7.【解】设AB=xm,矩形ABCD的面积为ym,则BC=AD= ②当∠ACM=90时，设M的坐标是(1，m,已知点A和点 C的坐标分别为(-2,0)和(0,3，则AM=(-2-1)+m,CM 或x=3,.点M(3,4). 5.第二十三章仿真测试 =2+(m-3)月，AC=(-2)+3 当点M在x轴下方时，过点M作MC⊥x轴于G,如图②， 1.A 在Rt△AMC中，由勾殷定理得AM=CM+AC :四边形ACEM是平行四边形， 2D【解析】根据旋转角的定义可知，本题的旋转角有∠AOC 即(-2-1)3+m2■1+(m-3)3+(-2)+32, .AC■EM,AC∥EM,∠CAO■∠MEG ∠BOD,故选D. 解得网=子，则4的坐标为引 :∠AOC=∠EGM=90°，∴.△AOC≌△EGM(AAS, 3.B4D 综上所述，点M的坐标为1成(1，-2)。 ：MG=OC=4,即点M的纵坐标为-4，在y■-子子+ 5.A【解析】由旋转的性质得AB=AD=5, 4中，令y=4,得x=3+正或x=3=正（此时点M在 :∠B=60,:△ABD是等边三角形. 第12题咨图 第13监答图 1.B【解析】：y=2-2x=(-4x) :BD=AB=5. 13.5【解析】如图所示，取CE的中点G,连接FG =3(-4x4)-2=x-2)2-2, y轴左侧，含去，点+亚4 BC=8,.CD=BC-BD=8-5=3 由旋转的性质可知，CE=BC=4,CD=AC=6. 六AE=2,GE=2AG=4 ∴.平移后的抛物战的圆点坐标为C(2,-2). 综上所述，点M的坐标为(3,4)或3+3匝， 故选A :点G为CE的中点，点F为ED的中点， 如图，过顶点C作CA⊥y轴于点A,根据 6.B 地物线的对称性可知，S4e=S: 第11隧答图 7.C【解析】，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40得到正 .GF=CD=3,GF∥CD ∴.阴影部分的面积为2×2=4 方形ODF,.∠AOF■90P+40rP■13r,04■OF,.∠0M■ 又：CD⊥AC,∴，FG⊥AC 12.【解】(1)把点A(2,0),B(6,0)的坐标分别代人y=a (180-130）÷2=25°，故选C 在Rt△AGF中，依据勾股定理可知AF=√AG+FG=5 43,得知-2b+3=0. 8.C【解析】连接BM,如图， 故答案为5 36a+6励+3=0， 14.75或255°【解析】如图①，当CD在OA的左侧， b=1, 2 在RI△ABM和R△CBM中】 第13题容图 [BM -BM. CD∥A0时，旋转角■45°+30°■75° 六抛物线的解析式为y=一寻红+3 14【解】)当y=0时，)42x6=0,解得无=-6,3=2 AB=CB, 把点D的坐标4，n代人y=-号+3，得n=3,即点D(4,3) .RI△ABM2R1△CBM, :点A在点B的左侧，点A的坐标为(6,0)，点B的坐标 设直线1的函数解析式为y=红+p,把点A(-2,0)和点D(4, ∠2=∠3=90,4=30° B(B) 为(20) 2 第8题答图 3)的坐标分别代人y■女p, 当x=0时，y=6,点C的坐标为(0,6) AM=亏BM 得2+P0解得 直线AC的函数解析式为y=-x-6 在Rt△ABM中，AB+MMP=BMP 4k+p=3 p=l. M 直线BC的函数解析式为y=3x-6. ∴(5)+Af=(2AM)3,解得AM■1， ·直线1的函数解析式为y■之x+1, 第12愿答圈 (2)存在.设点D的坐标为（州，-m-6),其中6<m<0 :Saw=支×MxB=号，正方形的面积为(5)户=3 第14题答图 (2)设点Pm-m+m+3,如图，过点P作PM∥y轴交直 :点B,点C的坐标分别为(2,0)，(0,6)，BD=(m-2)2+ 如图②.当CD在OA的右侧，CD∥OA时. (m+6)3,BC=22462=40,DC=m+m2=2m :引影部分的面积为3-2×9=子厅.故选C 线I于N,交x轴于M,则点N的坐标为mm+刊 ,DE∥BC,∴当DE=BC时，以D,C,B,E为顶点的四边 旋转角=45+180°+30=255°， 9.A【解析】由旋转的性质得AE=CE,DE=EF, 故答案为75或255 六Sam=S=支×PN×g。 形是平行四边形 ∴.四边形ADCF是平行四边形 ①如图①，当BD=BC时，口BDEC是菱形 AC BC.AD BD. 15y=x9【解折】如图，过点C作CF1x轴于点F =号×(+m+3-m-小水42) .(m-2)+(m+6)2=40 ∴CD⊥AB,.平行四边形ADCF为矩形.故选A ,△ABC的顶点A(-1.0).点B与 =-是m4号m6=-(m-1)4头 解得m1=-4,刷=0（舍去） 10.C【解析】如图，连接AC交x轴于点E 点A关于原点对称，点B(1,0), 点D的坐标为(4，-2，.点E的坐标为(6，-8) 由题意，OA=2,∠A0C=60°，∠ABC=90 六AB=2,.BC=AB=2 ABFD ∴当m=1时，△D的面积最大，此时，点P的坐标为 ()该面积的最大值为？ 如图②，当CD=CB时，口CBED是菱形，，2m=40 :网边形AOCB关于x轴对称， ∠CAB=30P,∴.∠ACB=∠CAB 第15题答图 解得m,=-25,m2=2W5(舍去)， ∴，∠A0E=30,∠ABE=45, =30,∠CBF=∠CAB+∠ACB=2∠CAB=60° 13(解】(1)在y=-号号x44中，令x=0,得y=4, ∴.点D的坐标为(-25.25-6)， ∴.AE=EB=1,.OE=5 CFLx轴，∠BCF=30°，.F=BC=1, 令y=0,解得x=-3,3=6,.A(-3,0),B(6,0),C〔0,41 .点E的坐标为(2-2√5,2√5). ∴点B(5+1,0),点B(0,5+1) 在R1△BCF中，由勾股定理.得BC=BF+CF, 设直线BC的解析式为y=c+b,将B(6,0),C(0,4)两点的 综上所述，存在点E,使得以D,C,B,E为顶点的四边形为菱形， 点及(-√51.0，点B(0,-5-) 解得CF=5,C点的坐标为(2，√5) 坐标分别代人，得+6=0解得=一-子 且点E的坐标为(-6，-8)或(2-25,2、5】 观察图象可知，每4次一个循环 :将△ABC绕点C旋转，使点A落在x轴上的点D处，点B b=4 b=4 ,71÷4=17…3. 落在点E处，，AB=CE=2,AC=DC, ·直线BC的解析式为y=-子x4 ∴点B的坐标与点B,的坐标相同， ∠CAB=∠CDA,·∠ECD=∠CDA,即CE∥AD (2)存在以点A,C,E,M为顶点的四边形是平行四边形 ,点B的坐标是(0，-√3-1)，故选C .点E的横坐标为1+1+2=4，纵坐标为√3，即E(4,√3)》 理由如下： 1山.矩形（或菱形或正方形）（答案不唯一） 设直线BE的解析式为y=+b(k≠0)， 当点M在x轴上方时，如图①，：四边形ACE是平行四边形， 12.(1,1)【解析】由题意，建立如图所示的平而直角坐标系。 CM∥AB,&OC=e=4 作AC,BD的垂直平分线交于点E,点E即为旋转中心，且点 k+6=0 在)=一4子4中，令y=4,得x=0(点C的做坐标) E(1,1,故答案为1,1) +6=a解