16.第二章 二次函数学情调研-【真题圈】-2025学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）山西专版

答案与解析 12.A【解析】由题意得∠A0B=90°-60°=30°， :斜发的玻度：=152器=方 AB=号0A=100m故选A 设DF=xm,则CF=V3xm, 13.【解】如图，过点B作BD⊥AC,垂足为D. .CD=DF2+CF2=2x=20m, .x=10, .BH=DF=10m,CF =10v3 m, .DH=BF=(10V3+30)m 北 :∠ADH=30°， →东 AH=5DH=5×(105+30)=(10+105)m, 3 3 第13题答图 .AB=AH+BH=(20+10√5)m 由题意得，∠BAC=25°+25°=50°， 故选B. ∠BCA=70°-25°=45°. 在Rt△ABD中，AB=4km 17.23【解析】由题意得∠BAC=30°，则BC=)AB=3m, ,∴.BD=AB·sin50°≈4×0.77=3.08(km), AC=AB·cos∠BMC=6×5=3V5(m). AD=AB·c0s50°≈4×0.64=2.56(km). ,楼梯BD的坡度i=0.4, 在Rt△BDc中，CD=BAs≈30s(m）, ∴.BC:CD=0.4, ∴AC=AD+CD≈2.56+3.08≈5.6(km). CD=8器=75m, ∴.小宇家A到劳动基地C的距离AC约为5.6km .DA=DC-AC=7.5-3V3≈2.3(m). 14.【解】设BD=xm,,∠CDB=60°，∠CBD=90°， 故答案为2.3 .CB=BD·tan60°=√5BD=V3xm. 18.【解】(1)在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=9m, :AC=19.5m,DE=42.5m, :BD=AB·tam∠BAD=9x5=3V5(m), 3 .AB=(√3x+19.5)m,BE=(42.5+x)m. .CD=BD-BC=3V5-0.5≈4.7(m) ∠AEB=45°，AB=BE,.√5x+19.5=42.5+x, 答：点C到坡面的铅直高度CD约为4.7m 解得x=孕(5+1以 (2)在Rt△CDE中，∠CDE=60°，CD=(3V3-0.5)m, ÷8C=5x=2(3+5)≈54395(m. cs=0sm∠c08=(35-0)x9-号-9 .AB=19.5+54.395≈74(m). ≈4.1(m). 答：鹳雀楼AB的高度约为74m ,4.1>3.9,.该车能进入该车库停车. 15.【解】如图，延长AB,CD分别与直线OF交于点G和点H, 则AG=60m,GH=AC,∠AGO=∠EHO=90°. 16.第二章学情调研 在Rt△AGO中，∠AOG=70°， ÷0c=8*架218m). 1.C 2.A【解析】当抛物线y=x2-3x+4与x轴相交时，函数值为0. :∠HFE是△OFE的一个外角， 即x2_-3x+4=0. ∴.∠OEF=∠HFE-∠FOE=30, 4=b2-4ac=(-3)24×1×4=9-16=-7<0, ∠F0E=∠OEF=30°，.OF=EF=24m ∴.该方程没有实数根， 在Rt△EFH中，∠HFE=60°， .抛物线y=x2-3x+4与x轴的交点个数为0.故选A :PH=EF,cos60°=24×号=12(m, 3.B【解析】：二次函数表达式为y=2x2-8,2>0, .AC=GH=OG+OF+FH≈21.8+24+12≈58(m). .二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴.楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m ∴.当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而 增大，当x=1时，y=-6,故A,C,D说法错误，B正确. G 0 F H 70y3060 故选B. 4.D 5.C【解析】由题意可得h=-5P+20t+1.5=-5(t-2)2+21.5, D30 H 因为a=-5<0,所以当t=2时，h取得最大值，此时h=21.5. 故选C. 第15题答图 第16题答图 6.B【解析】若对任意的实数m,都有ay。n)≤0，则点(x。,y) 16.B【解析】如图，过点D分别作DF⊥BC于点F,DH⊥AB于 为二次函数y=a心4bx+e口≠0)图象的顶点，故x=名， 点H,∴.DH=BF,BH=DF 即2ax,+b=0.故选B. 真题圈数学九年级3B 7.D【解析】由表格可得，该二次函数图象的对称轴是直线x=0, [x>0 a-b+c=-2, a=-3, 根据题意，得26-2x>0,解得0<x<11. 经过点(-1，-2)，(0,1)，(1，-2)，.{c=1 解得{b=0, 22-2x>0, a+b+c=-2 c=1, .y与x之间的函数关系式为y=4x2-96x+572(0<x<11). .y=-3x2+1,当x=-2时，y=-11, 故答案为y=4x2-96x+572(0<x<11). 当x=2时，y=-11≠-5.故选D. 15,名<m<子【解析]（方法1）抛物线与y轴的交点在点 8.C【解析】由方程组=ar+x,得m2=-a y=bx-a, (0-)的下方，当x=0时，y=2m-1<-3解得m<号 ,a≠0，∴.x2=-1,该方程无实数根，故二次函数与一次函数 ,抛物线开口向上，与x轴的一个交点的横坐标大于2，另 的图象无交点，排除B项」 一个交点的横坐标小于2，.当x=2时，y=4-2(4m+1) 二次函数y=ax+bx的图象应过原点，排除D项 +2m-1<0,解得m行君<m<子 A.二次函数图象开口向上，说明a>0,对称轴在y轴右侧，则 (方法2)：抛物线与y轴的交点在点(0，)的下方，·当x b<0;b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右上升，则 b>0.两者矛盾，故A项错误 =0时，y=2m-1<-,解得m寻.设抛物线与x轴交点的 C.二次函数图象开口向上，说明a>0,对称轴在y轴右侧，则 坐标分别为(x1,0)和(x2,0),且x>x2,则方程x2-(4m+1)x+2m-1 b<0;b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降且与 =0有两解，分别为x,x2,则x+x2=4m+1,x2=2m-1. y轴交于负半轴，则b<0,a>0.两者相符，故C项正确. 由题意可得x,>2,x2<2,即x-2>0,x2-2<0,故(x,-2)(x2-2) 故选C <0,即x2-2(x+x)+4<0,.(2m-1)-2(4m+1)+4<0,解得 9.B【解析】如图，过点A作AH⊥x轴于点H, m心君<m心故答案为站<m ·四边形ABCO是正方形， B 16.【解】(1)将(1,1)与(2,3)代人y=x2+bx+c,得 ∴.∠AOB=45°， .∠AOH=45°，.AH=OH. 1+b解得6 3=4+2b+c,fc=1, 设A(m,m),则B(0,2m),m=am2+c, .二次函数的表达式为y=x2-x+1. 2m=c, 解得am=-l,m=号， 第9题答图 （2y=41可化为y=-+ ∴.ac的值为-2.故选B 这个函数的顶点坐标为 引，对称轴为直线x=》 10.D【解析】抛物线开口向上，.a>0. 当x>)时，y随x的增大而增大， 易知抛物线与y轴交点的坐标为(0，c),由图象可得c<0,对称 轴为直线x=-品=1，b=-2a<0,1abc>0,2a+b=0, 当x<时，y随x的增大而减小. 17.【解】(1)设B(x,0),C(x,0) 故①错误，④正确。 0C=30B,.x2=-3x ,抛物线与x轴有两个交点，.b2-4ac>0,即b2>4ac,故②正确. :抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为(-1,0)， :学=器-， 2 x比2=2，x1=-1,x2=3, 对称轴为直线x=1,.与x轴的另一交点坐标为(3,0)，即 .B点坐标为(-1,0)，C点坐标为(3,0)， ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3,故③正确 .该函数表达式为y=a(x+1)(x-3). 故选D. 把点A(0,3)的坐标代入得3=-3a,解得a=-1, 11.-1 .函数表达式为y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3。 12.5【解析】因为抛物线C1:y=x2+mx+2与抛物线C2y=x2- 列表： 3x+n关于y轴对称，抛物线C1:y=x2+mx+2与y轴交点的坐 x 1 0 1 2 3 标为0,2)，对称轴为直线x=-受， y 0 0 画出大致函数图象如图所示 所以抛物线C2y=x2-3x+n与y轴交点的坐标为(0,2)，对称 (2)如图，：y=-x2+2x+3=-(x-1)2 轴为直线x=空 +4,.P点坐标为(1,4) 所以n=2,受-多，解得m=3,所以m+n=3+2=5. :A点坐标为(0,3)，B点坐标为 (-1,0),C点坐标为(3,0)， 故答案为5. .直线BP的表达式为y=2x+2, 321 13.x=-1或x=3 直线AC的表达式为y=-x+3, 14.y=4x2-96x+572(0<x<11)【解析】根据题意，得 y=(26-2x)(22-2x)」 3 联立=2x+2解得 整理，得y=4x2-96x+572, y=-x+3, 8 第17题答图 y=3 答案与解析 :G点的坠标为3》 ”抛物线恰好经过点F,-6x-2)242=0.5, 18【解1(1)：抛物线y=号x+c与x轴有两个不同的交点， 解得x=2+2W3,x,=2-25(舍去). .点F的坐标是(2+2√5,0.5). 23.【解1)A(-1,0,B(4,0),C(0,4) (2)设抛物线y=7+x+c与x轴的两个交点的横坐标分别为 设直线BC的表达式为y=x+b, x1,x2,且x>x2 将点B,C的坐标代人得4k+b= 解得k b=4, b=4, 两个交点间的距离为2，x-x2=2. y=-x+4. 又：x+x2=-2,x1=0,x2=-2 (2)如图，过点H作HM⊥x轴于点M,交BC于点K,设点H 又：xx2=2c,.c=0. 的坐标为(m,-m2+3m+4),则点K的坐标为(m,-m+4), 19.【解】(1)由题意得，(x-30)(-2x+100)=150, .∴.HK=(-m2+3m+4)-（-m+4)=-m2 yh 整理得x2-80x+1575=0, +4m. 解得x=35或x=45(舍去). SaHc=SC=乞OBR 答：销售单价是35元. =-2m2+8m=-2(m-2)2+8. (2)设网店每周销售该商品所获利润为W元， :-2<0,0≤m≤4， 由题意得，W=(x-30)(-2x+100)=-2x2+60x+100c-3000=-22+ ∴.当m=2时，△HBC面积最大，最 AO M B 160x-3000=-2(x-40)2+200 大值为8. ,-2<0,34≤x≤42， 第23题答图 (3)存在.点Q的坐标为(-6，-2)或(6,2). .当x=40时，W最大，最大值为200， 分析：在平面内存在一点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边 ∴.将该商品销售单价定为40元时，才能使网店每周销售该商 形是以BC为边的矩形. 品所获利润最大，最大利润是200元. 设P(t,-+344),Q(p,9)而B(4,0),C(0,4). 20.【解(1)：点A(1,b)在直线y=2x-3上，.b=-1, ①若PC,BQ为对角线，则PC,BQ的中点重合，且PC=BQ, .点A的坐标为(1，-1)， [t=p+4, 把点A(1,-1)的坐标代入y=ax2,得a=-1, .{-+3t+4+4=9, ∴.a=b=-1. 2+(-+3t+4-4)2=(p-4)2+q2, 2)由=-解得x=5,或x=2, [t=4, t=-2, y=-2, y=-2y=-2. 解得{p=0,(P与B重合，舍去)或{p=6, 点C的坐标为(-√2，-2)，点B的坐标为（√2，-2） 9=4, (9=-2. (3)SA0c=3×22×2=22 .Q(-6,-2) 21.【解】(1)AC ②若PB,CQ为对角线，则PB,CQ的中点重合，且PB=CQ, (2)当4=b2-4ac<0时，有4ac-b2>0, [t+4=p, :>0,顶点纵坐标4ac=B>0, .{-2+3t+4=q+4, _Aa t-4)2+(-2+3t+4)2=p2+(q-4)2, ,顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交 0 [t=0, [t=2, 点（如图）. 解得{p=4,(Q与B重合，舍去)或{p=6, .一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无 第21题答图 q=0, (9=2. 实数根 .Q(6,2) (3)用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一） 22.【解】(1)由题意得点A(2,2)是上边缘抛物线的顶点， 综上所述，点Q的坐标为(-6，-2)或(6,2). .设上边缘抛物线的函数表达式为y=a(x-2)2+2. 该抛物线经过点(0,1.5)， 17.重难题型卷（六）二次函数 15=4a2,解得a=-g 1.D【解析】：a<0,c>0,.二次函数y=ax2+bx+c的图象开口 ·上边缘抛物线的函数表达式为y=-日x-2)242 向下，与y轴交于正半轴.：6>0，-名0，对称轴在)轴右 侧.故选D. 把y=0代人y=-(x-2)242,得-（x-2)242=0, 2.D【解析】，抛物线开口向下，.a<0.,抛物线的对称轴为 解得x=6,x2=-2(舍去). 直线x=1,-名=1，b=-2a0,2a+h=0,2正确 .C点坐标为(6,0)， :抛物线与y轴交点在x轴上方，∴.c>0,.abc<0,①正确. ∴.喷出水的最大射程OC为6m :当x=0时，y>0,抛物线的对称轴为直线x=1, (2)EF=0.5m,.点F的纵坐标为0.5. 22.当x=2时，y=4a+2b+c>0,③正确真题圈数学 -2 同步调研卷（下） -1 0 九年级3B -11 -2 1 -2 -5 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是( 16.第二章学情调研 A.-11 B.-2 C.1 D.-5 (时间：120分钟满分：120分) 8.(月考·22-23大同一中改编)在同一直角坐标系中，二次函数y=ar2+br与一次函数y=bx-a 的图象可能是( 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.(联考·21-22运城四校)下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是( 少年利 A.y=ax2+bx+c B.y-g C.y=(a2+1)x2 D.y=ax 9.如图，抛物线y=2+c经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上，则 到2.（月考·23-24山西省实验）抛物线y=x2-3x+4与x轴的交点个数为( ac的值为( A,0 B.1 A.-1 B.-2 C.2 D.3 C.-3 D.-4 第9题图 10.(月考·21-22太原志达中学)如图，已知抛物线y=a2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点坐 3.(期中·23-24大同改编)关于二次函数y=2x2-8,下列叙述正确的是( A.函数的图象开口向下 B.对称轴是y轴 标为(-1,0)，对称轴为直线x=1. C.抛物线过点(1.6) D.当x<0时，y随x的增大而增大 ①abc<0;②b2>4ac;③ar2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3;④2a+b=0 4(月考，23-24太原三十七中)二次函数y=-3x 的图象是由二次函数y=-3x2的图象经 以上说法正确的是( A.①②③ B.①②③④ 过怎样的平移得到的( C.①④ D.②3④ A.向上平移个单位长度 B,向下平移个单位长度 第10题图 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 第Ⅱ卷（非选择题共90分）】 5.(中考·2020山西)竖直向上抛出物体离地面的高度h(m)与运动时间1(s)之间的关系可以近似 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 地用公式h=-5+v,+h,表示，其中h,(m)是物体抛出时离地面的高度，v,(ms)是物体抛出时的 11.若二次函数y=(m-1)x1的图象开口向下，则m的值为 速度，某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面 12若抛物线C,:y=x2+x+2与抛物线C,:y=x2-3x+n关于y轴对称，则m+n= 的最大高度为( ) 13.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标为(-1,0，(3,0)，则一元二次方程x2+br+c=0的根 A.23.5m B.22.5m 为 匹0 C.21.5m D.20.5m 阳图 6.(联考·22-23运城盐湖区)已知点(x,,)是二次函数y=a2+bx+c(a≠0)图象上的一个定点， 14.（月考·23-24山西省实验)相框边的宽窄影响可放入相片的大小.如图，相框长 图 而点(m,n)是该二次函数图象上的一个动点，若对任意的实数m,都有a(y。-n)≤0，则( 26cm,宽22cm,相框边的宽为xcm,相框内的面积是ycm,则y与x之间的函数 最品 A.ax+2b=0 B.2ax+b=0 关系式为 第14题图 C.ax-26 =0 D.2ar。-b=0 15.已知抛物线y=x2-(4m+1x+2m-1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于 7.(期末·22-23山西现代双语学校)某同学在用描点法画二次函数y=x+bx+c的图象时，列出了 2,另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点(0，-)的下方，那么m的取值范围 下面的表格： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 18.(8分)已知抛物线y=2+x+c与x轴有两个不同的交点。 16.(月考·23-24太原三十七中)(6分)已知二次函数y=x+bx+C的图象经过(1,1)与(2,3)两点 (1)求c的取值范围 (1)求这个二次函数的表达式 (2)抛物线y=)+x+c与x轴两交点间的距离为2，求c的值. (2)求这个函数的顶点坐标，并写出它的对称轴、增减性 17.(8分)抛物线y=2-2+c(a≠0)经过点A(0,3),分别与x轴的负、正半轴交于B,C两点， 19.(月考·23-24山西省实验改编)(8分)某网店经营某种礼盒装钥匙扣，每盒进价为30元，出于 且OC=3OB,设顶点为P 营销考虑，要求每盒商品的售价不低于34元且不高于42元，在销售过程中发现该商品每周的销 (1)求出函数表达式，并先列表，再在图中描点画出大致函数图象 售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系：y=-2x+100, (2)连接BP,AC交于点G,求G点的坐标. (1)若该网店每周销售这种商品所获利润为150元，求销售单价是多少元？ (2)将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是 金星牧何 多少？ 短鸱密国 3中2中T02345主 第17题图 -52- 20.(模考·2023忻州实验中学)(10分)抛物线y=a2与直线y=2x-3交于点A(1.b). 21.(中考·2022山西)(10分)阅读与思考 (1)求a,b的值 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 (2)求抛物线y=2与直线y=-2的两个交点B,C的坐标(B点在C点右侧) 用函数观点认识一元二次方程根的情况 (3)求△OBC的面积 我们知道，一元二次方程ar2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ar2+b+c(a≠0)的图象 丹品 称为抛物线)与x轴交点的横坐标，抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点，与 图州 此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根，因此 百期 可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的腹点坐标（会如。]和一元二次方程根的判别式4=4c,分别从0和 4a <0两种情况进行分析： (1)当a>0时，抛物线开口向上 ①当4=b2-4ac>0时，有4ac-b2<0. :0六顶点纵坐标。公0 ∴.顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图①） ∴.一元二次方程a+bx+C=0(a40)有两个不相 等的实数根 ②当4=-4ac=0时，有4ac-=0 题圈 :a>0,顶点纵坐标4c-=0 ∴.顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图②】 ∴.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)有两个相等 的实数根 ③当4=b-4ac<0时， 第21题图 (2)当a<0时，抛物线开口向下 任务：(1)上面小论文中的分析过程主要运用的数学思想是 (从下面选项中选出两个 即可). A.数形结合思想B.统计思想 C.分类讨论思想D.转化思想 (2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中一元二次方程根的情况的分析过程，并 画出相应的示意图。 (3)实际上，除一元二次方程外，初中数学中还有一些知识也可以用函数观点来认识.例如：用函 数观点认识一元一次方程的解.请你再举出一例为 -53 22.(期中·22-23临汾尧都区)(12分)如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶为绿 23.(模考·2023晋中榆次区一摸)(13分)如图，抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于A,B两点（点A 化带浇水，喷水口H离地竖直高度为1.5m如图②，把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面 在点B左侧)，与y轴交于点C,连接AC,BC点E为线段BC上的一点，直线AE与抛物线交于 直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带纵截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE= 点H. 3m,竖直高度EF=0.5m下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最 (1)直接写出A,B,C三点的坐标，并求出直线BC的表达式 高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,喷出的水最远落在地面C处 (2)连接HB,HC,求△HBC面积的最大值. (1)求上边缘抛物线的函数表达式（用顶点式表示），并求喷出水的最大射程OC (3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存的一点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四 (2)灌祗车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知喷出的水恰好经过点F,求点F的坐标， 边形是以BC为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 H水口 上边螺 A 上边缘 G 第23题图 备用图 ① 第22题图 e 关学子 金皇软有 盗印必 绝盆国 一54一