15.重难题型卷(五)解直角三角形-【真题圈】-2025学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）山西专版

答案与解析 .'AH=EF =33 m,HF=AE 1.5 m ,CF=CD-FD=3.5-3=0.5(m), 3 .CH=HF-CF=1.5-0.5=1(m) ②当点D在x轴的正半轴上时，若OP=OD, .在Rt△BCH中，∠H=90°， 则∠ODP=∠OPD=75° ∠BCH=180°-∠BCD=180°-135°=45° .'∠COD=∠CPD=90°， os∠BCH-8是，m∠BCH=盟 ∴.∠OCP=105°>90°，故不合题意舍去 CH ·BC=CH 当点D在x轴的负半轴上时，OP=OD',如图② co9s=1=√2≈1.4(m), Cos ZBCH coS 45 :∠A0B=30°，∠D'OP=150°. 2 BH=CH·tan∠BCH=1×tan45°=1×1=1(m). ∠CPD'=90°，.∠CPO=105 ∠COP=60°，∴.∠OCP=15°，.∠BCP=75°， .AB=AH-BH=3V3-1≈3×1.73-1≈4.2(m). .∠CPB=180°-75°-30°=75°， 答：BC的长约为1.4m,AB的长约为4.2m .BC=BP'=2√5，∴.OD=OP=4-2N3, 23.【解(1)在矩形OABC中，OA=BC,∠C0D=90° .D(23-4,0). ,点B的横坐标是2V3,纵坐标为2， .OA BC=23,OC AB=2. ③若OP=PD,则∠POD=∠PD0=30°， .∠0CP=150°>90°，故不合题意舍去. :点D为04的中点，0D=304=7×23=V5. 在Rt△C0D中，CD2=0C+0D2=22+(V3)2=7. 缘上成D的坐标254.0或9 :PD⊥PC,.∠CPD=90°，.PC+PD2=CD2=7. (2)∠CDP的大小不会变化. 15.重难题型卷（五）解直角三角形 如图①，过点P作PF⊥OA于点F,FP的延长线交BC于点E, .PE⊥BC,四边形OFEC是矩形，∴.EF=OC=2. LD【解析在u△ABC中，eosA=6, 设PE=a, .AC=AB·cosA=m·cos35°.故选D. 侧F=6=2a,m<C0=能-瓷--9 2.D【解析】四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC .BE=3 PE=3 a, :CE1A0,点E是B的中点，cos∠BC==: ∴.∠ABC=60°，∴.∠EBF=30°，.∠BFE=60°， ∴.CE=BC-BE=2√5-5a=√3(2-a). .tan∠BFE=√5.故选D. PD⊥PC,.∠CPD=90°， 3.8【解析】在Rt△ABC中，：AB=5V2,∠ABC=45°， .∠CPE+∠FPD=180°-∠CPD=180°-90°=90° ∴.AC=AB=5V2,BC=10 :∠CPE+∠PCE=90°，∴.∠FPD=∠ECP 在Rt△BDC中，：am∠DBC=等， .'∠CEP=∠PFD=90°，∴.△CEP∽△PFD, :血∠D8C=专脚畏-8-号 六祭=器m∠cp=%-=2.0-5, 2-a 解得CD=8.故答案为8. .∠CDP=60° 4务【解析在矩形ABCD中，GC=4,CE=3,∠C=90心， .GE=VGC2+CE2=V42+32=5. 根据折叠的性质得AB=AF,GB=GF,GF=GC=4,CE= FE=3,∠AGB=∠AGF,∠EGC=∠EGF,∠GFE=∠C= 90°，∠B=∠AFG=90°， A D'O D ∴.GB=GF=GC=4,∠AFG+∠EFG=180°， ① ② ∴.BC=AD=8,A,F,E三点共线. 第23题答图 设AB的长度为x,则AF=x,AE=3+x,DE=x-3, 6点D的泰2i-40成9) ∴.在Rt△ADE中，由勾股定理得AD+D=AEP, 分析：B(2V3,2),四边形OABC是矩形， 即824(x-3)2=(3+x),解得x=5, .0A=2N5,AB=2. 则DB=子，AE=3+9=2空， m<408=8=9∠a0B=30r 3-3 7 1 当△ODP为等腰三角形时， =方 3 ①如图②，若OD=PD,则∠DOP=∠DP0=30°， .∠0DP=120°，.∠0DC=60°， 故答案为3 :在Rt△CoD中，am∠0DC=8S,即am60°=8S OD' 2解在R△CDE中，mC=器CE=0=12 真题圈数学九年级3B 在△ABc中，mC=怨BC==85。 .BC=6,,∴.CH=2,∴.BF=HF=2 .BE=BC-CE=8V5-12,.BE的长为8√5-12 HE=CE,EGL CH.CG-HG-CH-1. 6号【解析如图所示，连接BC设小正方形边长为1， :cosC=器=cE=月BG=0E-cG-号 :AB=BC=V32+1=10,AC=V42+22=2W5, :AM∥Ec,△AMc△BGC,品=8- .AB2+BC2=AC,,∴.∠ABC=90°， ∴.AM=4. ∠BAC=∠ACB=45,sim∠BMC=Y 2 AB AC.AMLBC.:BM=CM=]BC=3, 故答案为 ∴.FM=BM-BF=3-2=1, 2 ∴.AF=√AM2+FM2=V17 故答案为√7. B F M.s E 第6题答图 第7题答图 7号【解析在R△ABC中，∠4CB=90,4C=3,smA=寺， D BC=4,AB=5. 第9题答图 第10题答图 :点D为AB的中点，CD=BD=方AB=多 10.4+25 【解析】如图，过点B作BML AD交AD的延长线于 ∴∠B=∠DCB. 3 点M :smB-%-号sm∠DCB=号 在Rt△BMD中，sin∠MBD=9 BD' 如图，过点E作EF⊥CD于点F ∴.MD=BD·sin∠MBD :点E为BC的中点，BC=4, ÷C=C=2m∠Dc8=器-号-} ∠C=90°，∠BDM=∠ADC,∴.∠MBD=∠CAD. 当sn∠CAD=号时，MD=号BD, 解得EF-号故答案为号， 此时号BD+AD=MD+AD=AM,取得最小值 8.√万【解析)如图，连接BF并延长交AC于点H, D,E分别为AB,BC的中点， 在R△ACD中，sn∠CD-光-号， .DE∥AC,BD=2, 设CD=2k,则AD=3k, ∴.△BDE为等边三角形 ∴.AC=√AD2-CD2=√5k ,F为DE的中点， :4C=25k=2,解得k=号5， .BF⊥DE,BH⊥AC, .AH=2,∠ABH=30°， D=3=3×号5=5，D=2=2x5-45 5 5 第8题答图 BF=BD·cos30°=√5， BD =BC-CD =645 BH=AB·cos30°=2V3,∴FH=V3, 由勾股定理得AF=√AH+FH2=V22+(W3)2=万】 ·号0MD=425 故答案为√万， 故答案为4+25 3 9.√7【解析】如图所示，过点E作EH∥AD交BC于点H,过 1L.【解】如图，连接BD,过点D作DE⊥AB于点E,过点B作 点A和E分别作AM⊥BC和EG⊥BC交BC于点M和G,则 BF⊥CD于点F:∠A=∠C=60°， AM∥EG. .DE=30·sin60°=15V3m,BF=20·sin60°=10W3m, AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ·SIsn=SAAm+SaDc=方AB·DE+2CD·BF :AD∥EH,∴.∠ABC=∠EHC, .∠ACB=∠EHC,.EH=EC =3×50×155+3×50×10wW5 :BD=CE,∴.EH=BD. =6255(m2). :AD∥EH,.∠BDF=∠HEF :∠BFD=∠HFE,∴.△BFD≌△HFE(AAS), 50m :BF=HE 30m 60>C :AD∥EH,△CEHCAB,器-器 A60 20m E 50m :E=20,∴器-器- 30 第11题答图 答案与解析 12.A【解析】由题意得∠A0B=90°-60°=30°， :斜发的玻度：=152器=方 AB=号0A=100m故选A 设DF=xm,则CF=V3xm, 13.【解】如图，过点B作BD⊥AC,垂足为D. .CD=DF2+CF2=2x=20m, .x=10, .BH=DF=10m,CF =10v3 m, .DH=BF=(10V3+30)m 北 :∠ADH=30°， →东 AH=5DH=5×(105+30)=(10+105)m, 3 3 第13题答图 .AB=AH+BH=(20+10√5)m 由题意得，∠BAC=25°+25°=50°， 故选B. ∠BCA=70°-25°=45°. 在Rt△ABD中，AB=4km 17.23【解析】由题意得∠BAC=30°，则BC=)AB=3m, ,∴.BD=AB·sin50°≈4×0.77=3.08(km), AC=AB·cos∠BMC=6×5=3V5(m). AD=AB·c0s50°≈4×0.64=2.56(km). ,楼梯BD的坡度i=0.4, 在Rt△BDc中，CD=BAs≈30s(m）, ∴.BC:CD=0.4, ∴AC=AD+CD≈2.56+3.08≈5.6(km). CD=8器=75m, ∴.小宇家A到劳动基地C的距离AC约为5.6km .DA=DC-AC=7.5-3V3≈2.3(m). 14.【解】设BD=xm,,∠CDB=60°，∠CBD=90°， 故答案为2.3 .CB=BD·tan60°=√5BD=V3xm. 18.【解】(1)在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=9m, :AC=19.5m,DE=42.5m, :BD=AB·tam∠BAD=9x5=3V5(m), 3 .AB=(√3x+19.5)m,BE=(42.5+x)m. .CD=BD-BC=3V5-0.5≈4.7(m) ∠AEB=45°，AB=BE,.√5x+19.5=42.5+x, 答：点C到坡面的铅直高度CD约为4.7m 解得x=孕(5+1以 (2)在Rt△CDE中，∠CDE=60°，CD=(3V3-0.5)m, ÷8C=5x=2(3+5)≈54395(m. cs=0sm∠c08=(35-0)x9-号-9 .AB=19.5+54.395≈74(m). ≈4.1(m). 答：鹳雀楼AB的高度约为74m ,4.1>3.9,.该车能进入该车库停车. 15.【解】如图，延长AB,CD分别与直线OF交于点G和点H, 则AG=60m,GH=AC,∠AGO=∠EHO=90°. 16.第二章学情调研 在Rt△AGO中，∠AOG=70°， ÷0c=8*架218m). 1.C 2.A【解析】当抛物线y=x2-3x+4与x轴相交时，函数值为0. :∠HFE是△OFE的一个外角， 即x2_-3x+4=0. ∴.∠OEF=∠HFE-∠FOE=30, 4=b2-4ac=(-3)24×1×4=9-16=-7<0, ∠F0E=∠OEF=30°，.OF=EF=24m ∴.该方程没有实数根， 在Rt△EFH中，∠HFE=60°， .抛物线y=x2-3x+4与x轴的交点个数为0.故选A :PH=EF,cos60°=24×号=12(m, 3.B【解析】：二次函数表达式为y=2x2-8,2>0, .AC=GH=OG+OF+FH≈21.8+24+12≈58(m). .二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴.楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m ∴.当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而 增大，当x=1时，y=-6,故A,C,D说法错误，B正确. G 0 F H 70y3060 故选B. 4.D 5.C【解析】由题意可得h=-5P+20t+1.5=-5(t-2)2+21.5, D30 H 因为a=-5<0,所以当t=2时，h取得最大值，此时h=21.5. 故选C. 第15题答图 第16题答图 6.B【解析】若对任意的实数m,都有ay。n)≤0，则点(x。,y) 16.B【解析】如图，过点D分别作DF⊥BC于点F,DH⊥AB于 为二次函数y=a心4bx+e口≠0)图象的顶点，故x=名， 点H,∴.DH=BF,BH=DF 即2ax,+b=0.故选B.、真题网数学 5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是BC边上一点，过点E 11.教材习题改编阿雄有一块如图所示的四边形空地，求此空地 刷步调研卷（下） 九年3B 作ED⊥AC,垂足为D,AB=8,DE=6,∠C=30°，求BE的长 的面积 15.重难题型卷（五）】 50m 解直角三角形 30 609 人60 20m 50m 图州 题型一 直接解直角三角形 第11题图 1.(期末·22-23山西现代双语学校)如图，在Rt△ABC中，斜 第5题图 边AB的长为m,∠A=35°，则直角边AC的长是() 题型二构造直角三角形 A.m·sin359 B.m c0s35 6.(月考·20-21太原五中)如图，将∠BAC放置在5×5的正方 题型三三角函数的实际应用 m D.m·c0s35 形网格中，A,B,C在格点上，则sim∠BAC的值为 sin 35 类型1方向角 12.(月考·22-23长治实验中学)如图，小明在一条东西走向公 路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相 距200m,则图书馆A到公路的距离AB为() A.100m 北 第6题图 第7题图 第1题图 第2题图 B.100W2m 2.(月考·23-24山西省实验)如图，BD是菱形ABCD的对角线 7.如图，在i△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,sinA=号：若 C.100W3m 0 CE⊥AB于点E,且点E是AB的中点，CE交对角线BD于点 E为边BC的中点，则点E到Rt△ABC的中线CD的距离 D.2005m 3 第12题图 F,则tan∠BFE的值是( 为 13.(月考·23-24山西省实验)周末，小红和小宇相约一起去郊 A. 8.(月考·22-23长治实验中学)如图，在边长为4的等边三角 B.2 形ABC中，D,E分别为AB,BC的中点，连接DE,F为DE 外劳动基地参加劳动.如图，已知小红家B在小宇家A的北 c D.5 偏西25方向上，AB=4km.两人到达劳动基地C处后，发 的中点，连接AF,则AF的长为 现小宇家A在劳动基地C的南偏西25方向上，小红家B在 3.对直角三角形纸片ABC和BCD按如图所示方式摆放，其 劳动基地C的南偏西70°方向上，求小宇家A到劳动基地C 中∠BAC=∠BDC=90°，点A,D在BC的同侧，∠ABC= 的距离AC.(结果精确到0.1km;参考数据：sin50°≈0.77， 45,an∠DBC=号：连接AD,若AB=5反，则DC的长 cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，√2≈1.41) 为 第8题图 第9题图 第10题图 9.(模考·2023晋中榆次区二模)如图，△ABC中，AB=AC, BC=6,cosC=号，点D为4B延长线上一点，点E为边4AC 第13题图 阳图 图 第3题图 第4题图 上一点，且BD=CE,连接DE交BC于点F,连接AF若AE 4.(模考·2022山大附中)如图，在矩形ABCD中，点G,E分别 =2CE,则线段AF的长为 在边BC,DC上，连接AG,EG,AE,将△ABG和△ECG分别 10.(模考·2021太原三模)如图，在△ABC中，∠C=90, 沿AG,EG折叠，使点B,C恰好落在AE上的同一点，记为点 AC=2,BC=6,点D是边BC上的动点，则号BD+AD的 F若CE=3,CG=4,则sin∠DAE= 最小值是 49 类型2仰角、俯角 在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的 17.(模考·2022山大附中)某学校准备改善原有户外楼梯AB 14.(模考·2023运城一模)学校某数学课外活动小组周末来到 距离AC的长.（结果精确到1m参考数据：sin70°≈0.94， 的安全性能，如图，已知原楼梯 山西省永济市参观研学，对于中国古代四大名楼中最高的鹬 cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，√3≈1.73) 长为6m,坡角∠BAC的度数为 雀楼进行了参观，并针对其高度做了一些简单的测量，具体 30°.调整后的楼梯BD的坡度iD 操作如下：如图所示，测试小组先在楼前的唐韵广场上的点 =0.4(1为铅直高度与水平宽度 第17题图 D处，测得楼上极目远跳黄河的观景台点C处的仰角∠CDB 的比)，则楼梯底部A向外延伸的长度为m =60°，然后向后退42.5m到点E处，即DE=42.5m,再测 (结果精确到0.1m,参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73) 楼顶点A处的仰角恰好是45°，现已知4C=19.5m,点A, 18.如图是某小区的地下车库，在车库人口CD的上方BC处会 B,C,D,E在同一竖直平面内，且点E,D,B在同一水平直 看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC的高度为0.5m, 线上，试求鹊雀楼AB的高度约为多少米？（参考数据：√万 第15题图 AB的宽度为9m,坡面的坡角为30° ≈1,73，测角仪的高度忽略不计，结果精确到1m) (1)根据图①求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD. (2)图②中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已 知某货车高度为3.9m,请判惭该车能否进入该车库停车？ (√5≈1.73，精确到0.1m) A60 -9m 9m 0.5 ...... 05 B 第14题图 D小 50 ① 精品 第18题图 学子 短绝盗国 类型3坡度、坡角 16.(月考·21-22山西省实验)如图，在一次数学实践活动中， 小明同学要测量一座与地面垂直的 15.(中考·2022山西)随着科技的发展，无人机已广泛应用于 古塔AB的高度，他从古塔底部点B 生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度，某校“综 处前行30m到达斜坡CE的底部点 合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的 C处，然后沿斜坡CE前行20m到 距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机 达最佳测量点D处，在点D处测得 第16题图 在AB,CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度 塔顶A的仰角为30°，已知斜坡CE的坡度=1：√3，且点A, 为60m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD B,C,D,E在同一平面内，则古塔AB的高度是() 上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达 A.(10W5+10)m B.(105+20)m 点F,测得点E处俯角为60°，其中点A,B,C,D,E,F,O均 C.303m D.40m 50-