14.第一章 直角三角形的边角关系学情调研-【真题圈】-2025学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）山西专版

真题圈数学 同步调研卷（下） 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,BD=8,tan Z ABD=子，则线段AB的长 九年级3B 为() A.万 B.2W7 C.5 D.10 14.第一章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) 图州 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 1.(月考·23-24山西省实验)c0s60的值是( 8.(联考·22-23长治潞城区改编)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，若AB=8, A号 B号 c D.5 AD=5,则sin∠DAC等于( 2.(月考·23-24太原三十七中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,AB=13,则∠A的正切值 A月 B c D言 数 为( 9.如图，为了测量某风景区内一座凉亭AB的高度，小亮在凉亭对面的高台CD的底部C和顶部D A号 B品 c D号 处分别测得凉亭顶部A的仰角为45°和30°，已知高台CD为2m,则凉亭AB的高度约为（结果保 留一位小数，V3≈1.73)( 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都缩小到原来的；，则sinA的值( A.4.7m B.4.8m C.8.1m D.8.2m A.缩小到原来的号 B扩大到原来的3倍 10.(月考·21-22山西省实验)如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，将△ADE沿DE翻折，点A C.不变 D.无法确定 落在点F处，m∠CDE=号：设AB=x,△ABF的面积为，则y与x的函数图象大致为( 4.(月考·23-24山西省实验)“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小朋周末在公园草坪上放风筝， 已知风筝拉线长80m且拉线与地面夹角为64°（如图所示，假设拉线是直的，小朋 身高忽略不计)，则风筝离地面的高度可以表示为(） A.80sin64°m B.80 sin 646 m B人64地面 C.80cos64°m D.o 第4题图 5.(月考·23-24太原三十七中)在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6.则下列结论不正确 第Ⅱ卷（非选择题共90分）】 的是( ) 匹0 A.simB=号 B.cos B 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）】 阳图 CamB=号 D.m∠BAD=号 1(南术·2-233装离石区在△M8C中，若补如4-斗传-s小=0，且∠4，∠B都是锐角。 鼠品 6.(联考·21-22运城四校)如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都 则△ABC是 三角形 在格点上，则tan∠BAC的值等于( 12.如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕若点B 4.10 旋转后，点D落在CB的延长线上的点D'处，那么tan∠BAD B.3 2 等于 C.1 D 第6题图 第12题图 45 13.(中考·2021山西改编)太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，如图是该地铁某 17.(8分)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算a15°时，如图，在 站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度1=5：12(1为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶 Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°，所以 梯底端A以0.5m/s的速度用时40s到达扶梯顶端B,则王老师上升的铅直高度BC为m, C步-2+5=25.类比这种方法，计算m25的值。 tan15°=4C=1 30 A B 第13题图 第15题图 第17题图 14.定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对.例如，在△ABC中，AB=AC,∠A的正对 记作d4=整-器若上4为领角，血4=号则d4= 15.(期末·22-23运城)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD,过点D 作DE⊥CD交BC于点E,若anA=等，BE=7,则DE的长为· 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(联考·21-22运城四校)(6分)计算： (1)(1-sin45°)0-tan60°+4.(2)cos30°-3tan60°-2sin45°·cos45°， 18.(联考·22-23长治鸿城区)(8分)如图，在△ABC中，CD1AB,simA-号，CD=4,AB=5,求 AD的长和tanB的值 精品 金星软停 第18题图 一46 19.(模考·2023晋中榆次区一模)(9分)某学校为了改善办学条件，决定修缮学校体育场看台.看 20.新知应用(10分)阅读材料： 台的侧面如图所示，有五级高度相等的小台阶，已知看台高为2m,现要用不锈钢材料做一个扶 关于三角函数还有如下的公式： 手AB及两根与地面FG垂直且长度都为1m的架杆AD和BC(杆子的底端分别为D,C),且 sin(a士f)=sinacs±cos asinB,tan(atf)=i年ana,tanF tana±tanB 需 ∠DAB=66.5°.图中所有点在同一竖直平面内 (1)求点D与点C的高度差DH 利用这些公式可以将一些非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.例：a即15°= 图州 (2)求所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC). 1⑤ 目测 (参考数据：sim66.5°≈0.9，cos66.5°≈0.4，tan66.5°≈2.3) tan(45°-30°）=+tan45,tan30 tan45°-tan30° 6-53-5-2-65=2-5 1+1x (3+√3)3-√3) 6 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题： (1)求sin15的值 (2)求tan75的值 第19题图 题圈 精品围书 金家纹 21.(期末·21-22运城改编)(11分)如图，在△ABC中，AB=14,AC=10,点D是BC上一点，点 M是BA延长线上一点，已知tan∠CAM-号，∠DAB=45,求AD的长 第21题图 品 47- 22.(中考·2023山西)(11分)2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022一 23.(期末·21-22运城盐湖区)(12分)矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流人选，在推进实 B(2√3,2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC, 施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）.某校“综合与实践”小组的同学把“母 过点P作PD⊥PC,交x轴于点D,连接CD 亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如 (1)当点D运动到OA的中点时，求PC+PD的值 下活动报告.请根据活动报告计算BC和AB的长度（结果精确到0.1m.参考数据：√5≈ (2)在运动过程中，∠CDP的大小是否有变化？若不变，求出∠CDP的大小；若改变，请说明 1.73,2≈1.41). 理由. 课题 母亲河驳岸的调研与计算 (3)当△ODP为等腰三角形时，直接写出点D的坐标 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 功能 驳岸是用来保护河岸、阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 材料 所需材料为石料、混凝土等 地面 相关数据及说明：图中，点A,B,C,D,E在同一竖直 调查 驳岸 平面内，AE和CD均与地面平行，岸墙AB⊥AE于点A 第23题图 内容 剖面图 ∠BCD=135°，∠EDC=60°，ED=6m,AE=1.5m CD =3.5 m 计算结果 交流展示 盗印必究 关学子 拒绝盖国 48一答案与解析 .y=-x+5. :am∠4B0=景品40=3 当x=0时，y=5, 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 .点P的坐标是(0,5) AB=VA02+0B2=V32+4=5. (3)A题：点D的坐标为(2,1)或(4,3)或(-2,9) 故选C B题：能，点Q的坐标为0,8+V5)或0，g5)或0,4利或0，) 8.B【解析】：在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点， 分析：由直线AB的表达式，可知点C(0,8),由点A,C的坐标知 .'BC=2AD=10.AB =8,.AC=BC2-AB2=6, AC=5,设点Q的坐标为(0，m),点M的坐标为(s,t). :nc=畿=器-号 ①当AC为边时，则AC=CQ或AC=AQ, AD=CD,∠C=∠DAC, 即5=(m-8)2或5=1+(m-6)2, sn∠DAC=sinC=号故选B. 解得m=8±√5或m=8(舍去)或m=4. 9.A【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E,可得矩形DEBC ②当AC是对角线时，则AM=AQ,且AC的中点为MQ的中点， 设塔高AB=xm,则AE=(x-2)m. (s-1)2+(t-6)2=1+(m-6)2, m=头 在R△ADE中，”∠ADE=30,m∠ADE=能， 则20+0)=s+0, 解得{s=1, ·DE=g=-2=5(x-2)m 26+8)=2m+0, tan 30 3 综上.点Q的坐标为0.8+5)或0.8-5)或0,4)或(0，) 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，则BC=AB=xm. .DE BC,:.3(x-2)=x, 解得x=V3+3≈4.7，即AB≈4.7m故选A 同步调研卷（下） 14.第一章学情调研 0 1.A 2.A【解析】，在Rt△ABC中，AC=5,AB=13,∴.BC= VA82-4C=3-5=12mA=瓷=号放选A 5 7n459 3.C 第9题答图 第10题答图 4.A【解析】如图，过点A作AC⊥BC于点C,在Rt△ABC中， 10.C【解析】如图，设AF与DE交于点H,由翻折可得，AF⊥ snB-合则4C=AB·s血B=80si血64(m,故选A DE,AH=HF,即AF=2AH,易得∠CDE=∠AED=∠HEF :E是AB的中点，AB=x, AB=3AB=,m∠CD6=m∠ABH=铝=号 易得A-答，F=H-答，sm∠EH-号，则△ABF边 64°地面 B D AB上的高为AF·sinEAH=号AR, 第4题答图 第5题答图 5.D【解析】如图，在等腰三角形ABC中，作AD⊥BC交BC于 当x=5时，y=6.故选C. D,AB AC=5,BC=6,..BD CD=3, .AD=VAB2-BD2=V52-32=4, mB=品=专w8=器=m8=品-手 m∠BD=职=子故AB,C正确，D不正确， :∠A,∠B都是锐角，.∠A=60°，∠B=60°， 故选D. .△ABC为等边三角形.故答案为等边 6.B【解析】设小正方形边长为1，由勾股定理可得AC=√2， 12.√2【解析】由题意知，∠ABD=90°，BD=BD'=√AD2+AB2 BC=3√2，AB=2√5 :AC2+BC=(V2)2+(3V2)2=20,AB=(2V5)2=20, =22,am∠BAD=DB=2y巨=V2.故答案为2 AB 2 .AC+BC2=AB2,.∠ACB=90°， 1B.19【解析】由题意，得∠4CB=90,B=05×40=20(m). :an∠BAC=BC=32=3.故选B AC√2 :扶梯AB的坡度1=5：12=瓷设BC=5am,则4C 7.C【解析】：四边形ABCD是菱形， =12am,由勾股定理，得(5a)2+(12a)2=202, .AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,∴.∠AOB=90 27得a-8负值已合去C-僧m放答案为世 13 ,BD=8,∴.OB=4 真题圈数学九年级3B 14.25【解析)如图，过点B作BD1AC,垂足为D. 答：所用不锈钢材料的总长度约为6m. 5 4 :如A=器=号 1 m 66.59 设AB=5x,则BD=4x, ∴.AD=VAB2-BD2=V(5x)2-(4x)2=3x, .'DC=AC-AD 5x-3x=2x, 2m M .BC=VBD2+DC2=V(4x)2+(2x)2 第14题答图 =2V5x, 则d4=器-2经-25 第19题答图 5x 5 20.【解】(1)sin15°=sin(45°-30°） 故答案为2y5 5 =sin45°cos30°-cos45°sin30° 1515【解折∠4C8=90,m4=瓷=号 2 .设AC=3x,则BC=4x,∴.AB=√AC2+BC2=5x :D是AB的中点，CD=BD=AD=AB=3x, -9-9-6:恒 4 .∠DCB=∠DBC tan45°+tan30° 3 又DE⊥CD,∴.∠A=∠DEC, (2)tan75°=tan(45°+30°）=1-tan45,tan300 1-1x③ tanA=tan∠DBC=CD= =2+3 21.【解】如图，分别过点C,D作AB的垂线，垂足分别为E,F, ·CE=VCD+DB=2x :BE=7,4x空x=7,解得x=8 DF∥cs,△DF△cBE8票-器 DB=号×8=15故答案为15 :am∠CMM-呢-号可设CB=4,则46=3x 由勾股定理可得CE+AE2=AC, 16.【解(1)原式=1-√5+2=3-√5 即(4x)2+(3x)2=102,解得x=2, (2)原式=5-3×52×9×5=5-351 2 2 2 ∴.CE=8,AE=6,BE=AE+AB=6+14=20, =-多5-1. “器=器=9=多，即F=昌Df 17.【解】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长 ∠DAB=45°，.AF=DF, CB使BD=AB,连接AD,得∠D=225,m2.5=S AF4BF-DF4BF DF+DF-DE 2 FF=B4.DF=14, 解得DF=4, sin 455=V2 DF=4V2. 则AD=DF B D 第17题答图 18.【解】：CD⊥AB,∴.∠CDA=90° :m=是=无=号4C=5 M-E A 第21题答图 .AD=V52-42=3,BD=5-3=2, 22.【解】如图，过点E作EF⊥CD于点F,延长AB,DC交于点H, ÷m8=品-分2 ,∴.∠EFD=90° 不不一地面 19.【解】(1)设每级小台阶的高度为xm, :在Rt△EFD中，∠EDF= 水面AE 由题图可知5x=2,解得x-子，“DH=红=号m 60°，ED=6m, 答：点D与点C的高度差DH为m sin∠EDF=EF」 ED' FD (2)如图，过点B作BM⊥4AH于点M,易知四边形BCHM是矩 COs ZEDF=品， 形，BC=M=1m,由(1)可知H=4+1=号m, ∴.EF=ED·sin∠EDF 第22题答图 ÷AM=AH-M=弩m =6xn0=6x号9-35(m. 在R△ABM中，cos665=岩AB=os0≈4m, FD=ED·cos∠EDF=6xcos60°=6×2=3(m). ∴.AD+AB+BC≈1+4+1=6(m). 28由题意得，∠H=0,四边形4H是矩形 答案与解析 .'AH=EF =33 m,HF=AE 1.5 m ,CF=CD-FD=3.5-3=0.5(m), 3 .CH=HF-CF=1.5-0.5=1(m) ②当点D在x轴的正半轴上时，若OP=OD, .在Rt△BCH中，∠H=90°， 则∠ODP=∠OPD=75° ∠BCH=180°-∠BCD=180°-135°=45° .'∠COD=∠CPD=90°， os∠BCH-8是，m∠BCH=盟 ∴.∠OCP=105°>90°，故不合题意舍去 CH ·BC=CH 当点D在x轴的负半轴上时，OP=OD',如图② co9s=1=√2≈1.4(m), Cos ZBCH coS 45 :∠A0B=30°，∠D'OP=150°. 2 BH=CH·tan∠BCH=1×tan45°=1×1=1(m). ∠CPD'=90°，.∠CPO=105 ∠COP=60°，∴.∠OCP=15°，.∠BCP=75°， .AB=AH-BH=3V3-1≈3×1.73-1≈4.2(m). .∠CPB=180°-75°-30°=75°， 答：BC的长约为1.4m,AB的长约为4.2m .BC=BP'=2√5，∴.OD=OP=4-2N3, 23.【解(1)在矩形OABC中，OA=BC,∠C0D=90° .D(23-4,0). ,点B的横坐标是2V3,纵坐标为2， .OA BC=23,OC AB=2. ③若OP=PD,则∠POD=∠PD0=30°， .∠0CP=150°>90°，故不合题意舍去. :点D为04的中点，0D=304=7×23=V5. 在Rt△C0D中，CD2=0C+0D2=22+(V3)2=7. 缘上成D的坐标254.0或9 :PD⊥PC,.∠CPD=90°，.PC+PD2=CD2=7. (2)∠CDP的大小不会变化. 15.重难题型卷（五）解直角三角形 如图①，过点P作PF⊥OA于点F,FP的延长线交BC于点E, .PE⊥BC,四边形OFEC是矩形，∴.EF=OC=2. LD【解析在u△ABC中，eosA=6, 设PE=a, .AC=AB·cosA=m·cos35°.故选D. 侧F=6=2a,m<C0=能-瓷--9 2.D【解析】四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC .BE=3 PE=3 a, :CE1A0,点E是B的中点，cos∠BC==: ∴.∠ABC=60°，∴.∠EBF=30°，.∠BFE=60°， ∴.CE=BC-BE=2√5-5a=√3(2-a). .tan∠BFE=√5.故选D. PD⊥PC,.∠CPD=90°， 3.8【解析】在Rt△ABC中，：AB=5V2,∠ABC=45°， .∠CPE+∠FPD=180°-∠CPD=180°-90°=90° ∴.AC=AB=5V2,BC=10 :∠CPE+∠PCE=90°，∴.∠FPD=∠ECP 在Rt△BDC中，：am∠DBC=等， .'∠CEP=∠PFD=90°，∴.△CEP∽△PFD, :血∠D8C=专脚畏-8-号 六祭=器m∠cp=%-=2.0-5, 2-a 解得CD=8.故答案为8. .∠CDP=60° 4务【解析在矩形ABCD中，GC=4,CE=3,∠C=90心， .GE=VGC2+CE2=V42+32=5. 根据折叠的性质得AB=AF,GB=GF,GF=GC=4,CE= FE=3,∠AGB=∠AGF,∠EGC=∠EGF,∠GFE=∠C= 90°，∠B=∠AFG=90°， A D'O D ∴.GB=GF=GC=4,∠AFG+∠EFG=180°， ① ② ∴.BC=AD=8,A,F,E三点共线. 第23题答图 设AB的长度为x,则AF=x,AE=3+x,DE=x-3, 6点D的泰2i-40成9) ∴.在Rt△ADE中，由勾股定理得AD+D=AEP, 分析：B(2V3,2),四边形OABC是矩形， 即824(x-3)2=(3+x),解得x=5, .0A=2N5,AB=2. 则DB=子，AE=3+9=2空， m<408=8=9∠a0B=30r 3-3 7 1 当△ODP为等腰三角形时， =方 3 ①如图②，若OD=PD,则∠DOP=∠DP0=30°， .∠0DP=120°，.∠0DC=60°， 故答案为3 :在Rt△CoD中，am∠0DC=8S,即am60°=8S OD' 2解在R△CDE中，mC=器CE=0=12