8.重难题型卷(三)相似三角形-【真题圈】-2025学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）山西专版

、真题圈数学 5.(期中·23-24长治潞州区)如图，在▣ABCD中，过点A的直 类型4内接矩形模型 刷步调研卷（上） 九年蠖3B 线交BC的延长线于点E,分别交BD,CD于点F,G 8.(月考·23-24太原成成中学)如图，△ABC是一块锐角三角 8.重难题型卷（三）】 (1)若AB=3,BC=4,CE=2,求DG的长. 形余料，边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成矩 相似三角形 (2)在(1)的条件下，若∠BAE=90°，求FG的长 形零件PQMN,使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB, 8 AC上，若PQ=40mm,则AH的长度为 mm. 图州 题型一 相似模型 百期 类型1“A”字模型 1.(期中·22-23山西省实验改编)在△ABC中，∠A=78°，AB 第5题图 =4,AC=6,将△ABC沿选项中的虚线剪开，剪下的阴影三 N DM 角形与原三角形不相似的是( 第8题图 第9题图 第10题图 9.(期中·22-23运城实验中学)如图，在△ABC中，AC=BC 个然送黔 矩形DEFG的顶点D,E在AB上，点F,G分别在BC,AC上， 若CF=4,BF=3,且DE=2EF,则EF的长为 B 10.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问 2.(期末·22-23吕梁离石区)如图，在△ABC中，CD平分 题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何，”其大意是： ∠ACB,交AB于点D,过点D作BC的 如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的 内接正方形CDEF的边长为 平行线交AC于点M,若BC=3,AC =2,则DM=( 类型5一线三等角模型 B 1L.(期中·21-22运城运康中学)如图，在△ABC中，∠C= 第2题图 90°，AC=1,BC=2,过点B作射线 c D 类型3旋转模型 BD⊥AB,P是BC上一动点，连接AP 6.(月考·21-22太原志达中学)如图，已知∠1=∠2，添加下列 类型2“8”字模型 作PQ上AP,交射线BD于点Q,设AP 条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是() 为x,PQ为y,则y与x的函数关系式 3.(模考·2023太原一模)如图，正方形ABCD的边长为6，点 第11题图 F是BC边上一点，连接AF交对角线BD于点E.若DE= A怨=铝 B.∠B=∠D 为 12.阅读理解：如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E 2BE,则EF的长为( C.∠C=∠AED D.4B、BC AD-DE (点E不与A,B重合)，连接ED,EC,可以把四边形ABCD A.2 B.5 G 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点 C.25 D.3 E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三 角形都相似，我们就把，点E叫做四边形ABCD的边AB上的 匹0 “强相似点”。 阳图 解决问题：(1)如图①，∠A=∠B=∠DEC=45°，试判断 第6题图 第7题图 点E是不是四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明 7.如图，将口ABCD绕顶点A顺时针旋转，使点B,C,D分别落 第3题图 第4题图 在E,F,G处，且B,E,D,F在一条直线上，若E恰好是BD 理由， 4.(期中·23-24太原部分校)如图，在矩形ABCD中，E,F分别 的中点，则铝的值为 (2)如图②，在矩形ABCD中，A,B,C,D四点均在正方形网 为BC,CD边的中点，DE分别与AC,AF交于点P,Q.若AB 格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方 =3,AD=4,则PQ的长为 A.1 c D. 4 形的顶点)上，试在图②中画出四边形ABCD的边AB上的 -25 一个“强相似点” 15.如图，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点P 17.(期中·23-24太原部分校)鹏雀楼位于山西省永济市蒲州 (3)如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上 从点A出发，沿着边AB以每秒4cm的速度向点B运动：同 古城西面的黄河东岸，始建于北周时期，是现存最大的仿唐 的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个“强 时点Q从点C出发，沿边CA以每秒3cm的速度向点A运 建筑，某校数学兴趣小组决定测量鹣雀楼的高度，如图（示 相似点”，请直接写出AB和BC的数量关系。 动.当点P到达点B时，停止运动，点Q随之停止运动，设 意图)，该小组成员选取与底端B在同一水平地面上的E,G 运动的时间为xs 两点，分别垂直地面竖立两根高为2m的标杆EF和GH, (1)当x为何值时，PQ∥BC? 两标杆间隔EG约为54m.从标杆EF后退1.5m到点D处（即 (2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不 ED=1.5m,从点D处观察顶端A处，使A,F,D三点共线： 能，说明理由。 从标杆GH后退3m到点C处（即CG=3m,从点C处观 察顶端A处，使A,H,C三点共线，其中点A,B,C,D,E,F, 第12题图 G,H均在同一平面内.请根据上述测量数据，求鹊雀楼AB 第15题图 的高度。 ED G 盗印必穷 第17题图 精品 提学子 题型二动点问题 金皇软何 拒绝盆国 13.如图，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点P 在BD上移动，当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似 时，BP的长为 题型三利用相似测高 16.学科合我国古代学者墨子和他的学生做了世界上第一 个“小孔成像”的实验，闸释了光的直线传播原理，如图①所 示.如图②所示的小孔成像实验可简化为一个数学题：4C 与BD交于点O,AB∥CD.若点O到AB的距离为20cm, 点O到CD的距离为12cm,婚烛火焰倒立的像的高度CD 第13题图 第14题图 是6cm,则蜡烛火焰的高度AB是 cm. 14.(期中·21-22山西省实验)如图，在矩形ABCD中，BC= 20cm,DC=12cm,点E,F分别为边AB,BC上的动点，E 从点A出发以每秒5cm的速度向B运动，F从点B出发以 每秒3cm的速度向C运动，当其中一个点到达终点时，另一 个点随之停止运动，若∠AFD=∠AED,设运动时间为1s, ① 则t的值为 第16题图 -26真题圈数学九年级3B MB=5,:△ACD与△ABC的相似比为侣-号，△BCD与 (3)GF=3GE·BE.理由如下： △ABC的相似比为BC=3 如图，过点F作FO⊥BE于点O. AB-5 ,.∠FOG=∠BFE=90°. 故答案为号， :由(1)得，四边形AEFG为菱 (3)①v2b②√b B F 形，GF=EE 第23题答图 ,分刺成的两个矩形全等且与红 .∠FGO=∠BEF,OG=OE b -]GE. 合a=万6放答案为5a .△FGO∽△BEF ②每个小矩形都是全等的，则其长和宽分别为b和】α， :GR=O9,即GF·EF=OG·BE EB EF 则b:a=a:b,∴a=nb.故答案为Vnb &GP=号GE·BE 21.【解】设运动的时间为ts, CP 2t cm,BQ t cm,CQ =(25-t)cm, 8.重难题型卷（三）相似三角形 当△CPQ∽△CAB时， 1.D【解析】A.阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角 器=器即酷=2若解得1=爱 形相似，故本选项不符合题意； 当△CPQ∽△CBA时 B.阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故 器-器即器=20，懈得1=鹗 本选项不符合题意； CBCA' C.两个三角形的两组对应边成比例且夹角相等，故两三角形相 综上所述，运动的时间为或 似，故本选项不符合题意； 22.(1)【证明】，∠A=40°，∠B=60°， D.两个三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选 ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=80° 项符合题意，故选D. :∠A≠∠B≠∠ACB,,△ABC不是等腰三角形. 2.B【解析：CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠DCB. :CD平分∠ACB, DM∥BC,∴.∠MDC=∠DCB,.∠MDC=∠ACD, ·∠ACD=∠BCD=2∠ACB=40°， ∴.MD=MC. ∴.∠ACD=∠A=40°，.△ACD为等腰三角形 :DM∥BC,.∠ADM=∠B,∠AMD=∠ACB, :∠CBD=∠ABC,∴.△BCD∽△BAC, △0Mn△Bc,2-兴-2=2业 3 2 .CD是△ABC的完美分割线. .DM=名，故选B. (2)【解V6-√2 3.B【解析】在正方形ABCD中，AD∥BC,∴△AED∽△FEB. 分析：：△ACD是以CD为底边的等腰三角形， .'AC=AD. :6=28E“器-%=E :AC=2,AD=2 BF=3 :正方形8CD的边长为6，， :CD是△ABC的完美分割线，∴.△BCD∽△BAC, 在Rt△ABF中，AF=VAB2+BF2=√36+9=√45=3N5, 六骺=82BCc=BA~BD EF EF ,.3V5-EF=2EF, 设BD=x,则AB=AD+BD=2+x, ∴.EF=√5.故选B. .(V2)2=x(x+2),.x=-1±V3. 4专店【解析1如图，延长AB,DE交于点G, x>0,.x=-1+V3,BD=-1+V5 E为BC边的中点， :△8c0△B4c0-2.即25-9， ∴.BE=CE 2 2, .四边形ABCD为矩形， CD=√6-√2. ∴.AD∥BC,AB∥CD,AB=CD 23.【解](1)答案不唯一 =3,AD=BC=4,∠GBE= B △ABC∽△DBA∽△DAC中的任意两个. E ∠DCE=90°， (2)四边形AEFG是菱形， 又∠BEG=∠DEC, 证明如下：由折叠可知AG=GF,EA=EF,∠ABE=∠FBE. ∴.△BEG≌△CED(ASA), :∠BAC=90°，∠BDA=90°， .'BG=CD AB=3,EG= ,.∠ABE+∠AEB=90°，∠FBE+∠BGD=90°. 'G .∠AEB=∠BGD. DE.·E,F分别为BC,CD边的 第4题答图 又∠BGD=∠AGE,.∠AEB=∠AGE, 中点，DF=1.5,CE=2, .AG=AE..AG=GF=EA=EF. ∴.DE=VCD2+CE2=√13=EG,∴.DG=2√13 .四边形AEFG是菱形. CD/AG.FD:AG-QD:QG-1:4. 答案与解析 :.QD-3 DG=3 9.【解析】设EF=x,则DE=2x .AD /CE,.AD:CE PD:PE =2:1, .·四边形DEFG是矩形， PE=号DE=号B, ∴.GF∥AB,DG=EF,GF=DE=2x, ·PQ=DE-DQ-PE=i3-号i-3i3=gi3 0-443=身即 ·△CGF∽△CAB,GE=CF=4= 即希- 故答案为号丽 六AB-受AD+BE=AB-DE=受-2x=2 2 2 5.【解】(1)四边形ABCD是平行四边形， AC=BC,∴.∠A=∠B. .CD=AB=3,AD=BC=4,AD /BE. 「∠A=∠B, ∴.∠DAG=∠CEG,∠ADG=∠ECG 在△ADG和△BEF中，{∠ADG=∠BEF, ∴.△ADG∽△ECG DG=EF. ∴是-即=3286 ·△ADG≌△BEF(AAS),.AD=BE=子x 解得DG=2. (2)∠BAE=90°，.AE=VBE2-AB2=V(2+4)-32=3V3 在匙ABEF中，E8=R,即是=头， 由(1)得△ADG∽△ECG. 解得x=号或x=-号（负值应舍去，“F=号 5 ÷=品即3后G解得46=25， 故答案为号 :'AD∥BE,∴.∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF 10号【解析]设正方形CDBF的边长为x,则CD=DE=x, ÷△DF品-器即24F3AE AF 由Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12可知AC=5, 解得4B=65.FG=AG-AF=25-65_45 AD=5-x,BC=12. 5 5 :正方形CDEF,∴.DE∥BC,∴.∠ADE=∠ACB 6.D【解析】：∠1=∠2，∴.∠1+∠BAE=∠2+∠BAE, 又∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB, ∴.∠BAC=∠DAE. A:怨=铝∴8=号义∠BMc=∠DM,符合相 “瓷-0“言-5号，解得x=9故答案为9 11.y=2x【解析】如图，设AB与PQ交于点M,连接AQ 似三角形的判定定理，能判定△ABC∽△ADE,故本选项不符 :PQ⊥AP,BD⊥AB,.∠APM=∠QBM=90°. 合题意； 又∠AMP=∠QMB,.△APM∽△QBM, B.∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,符合相似三角形的判定定理， 则AM:QM=PM:BM,即AM:PM=QM:BM 又：∠AMQ=∠PMB, D 能判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意； .△AMQ∽△PMB, C.∠BAC=∠DAE,∠C=∠AED,符合相似三角形的判定定理， Q .∠AQM=∠PBM 能判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意； 又，∠APQ=∠C=90°， M D8=8品，∠BAC=∠D1,不符合相似三角形的判定定理， ∴.△APQ∽△ACB, 不能判定△ABC∽△ADE,故本选项符合题意.故选D. .'AP PQ=AC:CB =1:2, 第11题答图 7.C【解析】如图，口ABCD绕点A旋转到口AEFG的位置， 即xy=1:2,.y与x的函数关系式为y=2x 点E恰好是对角线BD的中点， 故答案为y=2x ·L1=∠2，BE=3BD,AB 12.【解】(1)是.理由：∠A=∠DEC=45°， F ∴.∠ADE+∠AED=135°，∠BEC+∠AED=135°， =AE. 、D .∠ADE=∠BEC EF∥AG,.∠2=∠3， 3 又，∠A=∠B,.△ADE△BEC, .∠1=∠3. ∴，点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点” 又：∠ABE=∠DBA, (2)如图所示，点E和点F为四边形ABCD的边AB上的“强相 .△BAE∽△BDA,∴.AB:BD 似点”.（画出一个点即可） 第7题答图 =BE:AB,∠AEB=∠DAB, (3)4B=25 BC 3 8=号0，“部-号 分析：，点E是四边形ABCM的边AB FB 2 AE=AB,∴.∠AEB=∠ABD,∠ABD=∠DAB, 上的一个“强相似点”， 第12题答图 ·DB=DA,4g=2 .故选C ∴.△AEM∽△BCE∽△ECM,∴.∠BCE=∠ECM=∠AEM AD2 由折叠可知△ECM≌△DCM,∴.∠ECM=∠DCM,CE= &.【解析】：四边形PQMN为矩形，BC∥PO CD,∠BCE=号∠BCD=30,CE=AB, :AD⊥BC,∴.PQ⊥AD,△APQ∽△ABC, 骆-品：船=0H-9m 在t△BCE中，器=（在直角三角形中，30°角所对的直角 故答案为9 15等于边的-半瓷=后29影=29 真题圈数学九年级3B 13.8.4或2或12【解析】设DP=x,则BP=BD-DP=14-x. 17.【解】设BE=xm,则BD=(x+1.5)m,BC=x+54+3=(x+57)m. ,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,.∠B=∠D=90° :EF⊥BD,AB⊥BD,∠FED=∠ABD=90° 当品-8那时，△ABP△CDP,则9=14，解得x=56, 又，'∠FDE=∠ADB,∴.△FED∽△ABD x .BP=14-5.6=8.4; 、·,FEED,即2三s.同理，得△HGC∽△ABC ABBD' AB 当织=BC时，△ABP∽△PDC,则=14x, 3 3 DP-DC 骗-兽即 AB=x+57···x+1.5一x 整理得x2-14x+24=0,解得x=2,x2=12, 解得x=54..AB=74m. 则BP=14-2=12或BP=14-12=2. 答：鹊雀楼AB的高度为74m .当BP的长为8.4或2或12时，以P,C,D为顶点的三角形 与△ABP相似.故答案为8.4或2或12. 9.第五章学情调研 14.号【解析】如图，：四边形ABCD是矩形。 1.D2.C3.B .'AB DC 12 cm,AD =BC 20 cm 4.D【解析在太阳光下，图形中平行的边投影后仍旧平行，故正 根据题意，知AE=5tcm,BF=3tcm,则CF=(20-3t)cm, 方形纸板在太阳光下的投影可能是平行四边形或特殊的平行 ·%-芳-器=器=“骆-器即二=8 即BF=AB 四边形或线段，不可能是梯形.故选D. 又，∠DAE=∠ABF=90°，.△ADE∽△BAF, 5.C6.C7.D .∠2=∠3 D不 8.B【解析】示意图如图所示，设ED的长为路灯灯泡离地面的 AD∥BC,.∠3=∠4，.∠2=∠4. 距离，由题知点E,A,C在一条直 E :∠AFD=∠AED,即∠1=∠2， 线上，点B,D,C也在一条直线上， .∠1=∠4，.DF=DA=20cm. 连接EC,DB,点A,B分别在直线 在Rt△DCF中，由勾股定理， EC,DC上. 31 得DC2+CF2=DF2,即122+(20-3)2= AB⊥DC,ED⊥DC,.∠ABC 20,解得1-号或1=12. 第14题答图 =∠EDC=90°，∠C=∠C 第8题答图 .△CAB∽△CED :0≤5t≤12且0≤3t≤20， 0≤1≤号，1=号故答案为月 ÷8=8瓷，DC=DB+BC=75+15=9m). 15.【解】(1)由题意得AP=4xcm,CQ=3xcm, 励=号：BD=6m放选B AQ=(30-3x)cm,0≤x≤5. 9.B【解析】如图，由图形中所标的数 当PQ∥BC时，有=49，即然=30-3x 据可知，在俯视图中，AB=2. AB AC' 20=30 △ABC是正三角形，∴.AC=2 解得x=号，：当x=9时，PQ∥BC 3 过点C作CM⊥AB于点M, 2 (2)能.AB=CB,.∠A=∠C ·.MM=BM=)AB=1, 主视图 左视图 分两种情况讨论 M A 7B ①若△0△C0,则器=器即笏=0， ∴.在Rt△AMC中， CM=AC2-MA=3, 解得x=5或x=-10(负值应舍去)，此时AP=20cm 即左视图中a的值为√3. 俯视图 ②若△PQ△C0B,则号-8即祭=026x≠0， 故选B. 第9题答图 解得x=号此时AP一碧cm 10.C【解析】：S主图=+3x=x(x+3),S左需=+2x=x(x+2), 综上，当P-=20cm或4P-9cm时，△M0与△C08相似. 主视图和左视图的宽都为x,∴.俯视图的长为x+3,宽为x+2, .S防视图=(x+3)(x+2)=2+5x+6.故选C. 16.10【解析】如图，过点O作OM⊥AB于点M,MO的延长线 11.球、正方体（答案不唯一）12.中心投影 交CD于点N 13.俯视图【解析】该机器零件的三视图如图所示. :AB∥CD,OM⊥AB,.△OAB∽△OCD,MN⊥CD 由相似三角形的性质得4迟=OM CDON OM=20 cm.ON =12 cm.CD=6cm,B 6 ∴.AB=10cm.故答案为10. 主视图 左视图 M口. 俯视图 第16题答图 16 第13题答图